山东省济南市章丘区2023年中考（一模）数学试题(含解析)

这是一份山东省济南市章丘区2023年中考（一模）数学试题(含解析)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济南市章丘区2023年中考（一模）数学试题

一、单选题
1．的倒数是(    )
A． B． C． D．
2．国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将数字101000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若，则等于（    ）

A． B． C． D．
4．化简的结果是　　
A． B． C． D．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
7．函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点A逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
9．如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
10．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．因式分解： =__________．
12．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．

13．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．

14．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米．

15．如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．

16．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为__________________．


三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN．求证：∠DMN＝∠DNM．

20．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．

(1)真空管上端B到水平线AD的距离．
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
21．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．

(1)求证：∠DCE＝∠ABC；
(2)若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
23．我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．
频数分布统计表
类别
频数
频率
A
60
n
B
m
0.4
C
90
0.3
D
30
0.1


(1)接受问卷调查的学生共有________人；______，_____
(2)补全条形统计图：
(3)为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．

(1)求，的值．
(2)当的面积为3时，求点的坐标．
(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
25．在中，，，点D在BC上，且满足，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且，，连接AF．

(1)如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF的数量关系；
(2)如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由；
(3)如图3，连接DF，若，求线段DF长度的最小值．
26．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为：（其中为整数）．确定n的值，要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n为非负整数；当原数绝对值<1时，n为负整数．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．掌握科学记数法的表示形式（其中为整数）是解题关键．
3．A
【分析】先根据求出的度数，再由余角的性质得出的度数，根据即可得出结论．
【详解】：∵， ，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．掌握平行线的性质是解题的关键．
4．D
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】原式＝===，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．C
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，中心对称，是针对两个图形而言，是指两个图形的(位置)关系；如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
【详解】解：A选项，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C选项，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的识别，理解轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，图形结合分析找出对称轴，对称中心是解题的关键．
6．A
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、多项式乘多项式、单项式乘单项式的法则分别进行计算，由此即可得出答案．
【详解】解：A、，此项正确，符合题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项错误，不符合题意；
D、，此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、多项式乘多项式、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．C
【分析】分别讨论和时，一次函数和反比例函数的性质及图像特征，即可得到答案．
【详解】解：若，则，一次函数单调递减且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递减，过二、三、四象限；反比例函数图像在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．
若，则，一次函数单调递增且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递增，过一、三、四象限；反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质；熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．B
【分析】根据旋转性质，作出点C′，再根据图写出坐标即可．
【详解】解：如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，

∴C′(-2,3)，
故选：B．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质，根据旋转性质作出图形．
9．B
【分析】如图，过点P作于T，过点C作于R，利用面积法求出，再证明，即可求出长度的最小值．
【详解】解：如图，过点P作于T，过点C作于R，
在中，，，，
，
，
，
，
由作图可知，平分，  
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：B．

【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．C
【分析】解二次函数与直线的方程，由得，方程的根为，从而求出，所以函数解析式为，根据函数解析式求得顶点坐标与纵轴的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】解：令，即，
由题意，，即，
又方程的根为，
解得，
故函数是


∴函数图象开口向下，顶点为，
与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过，
由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当时，函数的最小值为，最大值为，
∴，
故选：C．
．
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题的关键．
11．（x+4）（x-4）
【分析】

【详解】x2-16=(x+4)(x-4)，
故答案为：(x+4)(x-4)
12．140°．
【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【详解】解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为140°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
13．
【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
【详解】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3，
∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，与几何有关的就是几何概率．计算方法是面积比或体积比等．
14．
【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可．
【详解】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：（千米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式．
15．##
【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，


，
故答案为：．

【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三角形是解题的关键．
16．
【分析】根据勾股定理求出BD，根据折叠的性质得到AE＝EM，CF＝NF，证明△EDM∽△BDA，根据相似三角形的性质求出DE，同理出去DF，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴，
设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，
∴
解得，x＝5，即DE＝5，
同理，△DNF∽△DCB，
∴，
设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，
∴，
解得，y＝，即DF＝，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
17．
【分析】根据，，，进行运算，即可．
【详解】



．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是掌握，，．
18．，4，5，6，7
【分析】首先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出所有整数解即可．
【详解】解：
由①得：，
解得：
由②得：，
解得：，
所以，不等式组的解集为：，
所以，它的所有整数解为4，5，6，7．
【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键
19．证明见解析
【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，利用SAS证明得到DM=DN，则∠DMN=∠DNM．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，
在和中，

∴，
∴DM=DN，
∴∠DMN=∠DNM．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．
20．(1)1.8米
(2)0.9米

【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．
（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC＝DF＝AD−AF计算即可．
【详解】（1）如图，过B作BF⊥AD于F．

在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝，
∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD−CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD−AF＝3.25−2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，培养学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，掌握三角函数是解题的关键．
21．(1)A，B两种学习用品的单价分别为20元和30元
(2)80

【分析】（1）设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元，由题意得，然后解分式方程解即可；
（2）设最多购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件，由题意得，，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元
由题意得
去分母得，
移项合并得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解
∴元
∴A、B两种学习用品的单价分别为20元和30元．
（2）解：设最多购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件
由题意得，
解得
∴最多购买B型学习用品80件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．
22．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）如图，连接OC，由切线的性质可知∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90°，由直径所对的圆周角为90°可知，即∠ECB+∠DCE＝90°，可得∠DCE＝∠OCB，由OC＝OB，可知∠ABC＝∠OCB，进而结论得证；
（2）证明△AOD∽△ACB，则即，解得AD＝9，根据求出的值即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OC

∵CE与⊙O相切
∴OC⊥CE
∴∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90°
∵AB为直径
∴，即∠ECB+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠ABC＝∠OCB
∴∠DCE＝∠ABC．
（2）解：∵OA＝3
∴AB＝2OA＝6
∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A
∴△AOD∽△ACB
∴即
解得AD＝9
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为90°，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．(1)300； 120；0.2
(2)见详解
(3)甲、乙两名同学同时被抽中的概率为

【分析】（1）由C类别的频数除以C类别的频率即可求得总人数，继而解得A、B类别的频率和频数；
（2）由频数分布统计表的数据解答；
（3）画树状图表示所有等可能的结果，再求出甲、乙两名同学同时被抽中的情况，然后利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵C组频数为90，频率为0.3，
∴接受问卷调查的学生共有为90÷0.3=300人，
∴，
故答案为：300； 120；0.2；
（2）解：∵m=120，
∴ 补画条形图如图，

（3）画树状图如下，

共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被抽中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学同时被抽中的概率为：．
【点睛】本题考查频数分布表、频率、频数、补全条形统计图、画树状图求概率等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
24．(1)，
(2)
(3)或，

【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将代入可求得，再把点的坐标代入，即可求得；
（2）用含的代数式表示的长，根据铅锤定理，解得，进而求得点的坐标；
（3）分情况讨论，当是边，点在轴正半轴上和点在轴的负半轴上；当是对角线，点在轴负半轴上和点在轴正半轴上，证明，进而得出，从而求得的值．
【详解】（1）解：直线过点，
，
，
直线过点，
，
，
过点，
；
（2）解：，，，，
，
，、、分别表示、、三点的横坐标，
，
解得，经检验是原方程的解，
；
（3）解：如图1，

，，
，
当是边，点在轴正半轴上，
作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
，
如图2，

当点在轴的负半轴上时，
由上知：，
，
，
当是对角线时，

当是对角线时，点在轴负半轴上时，
可得：，，
，
，
，
如图4，

，，
，
，（舍去），
当时，，
，
综上所述：或，．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，根据线段之间的和差关系列方程求解．
25．(1)
(2)成立，见解析
(3)

【分析】（1）由直角三角形的性质可得AC=BC，由旋转的的性质可得BD=DE=BC，BE=BC，由直角三角形的性质可求CF=CE=CB，即可求解；
（2）通过证明△CBE∽△CAF，由相似三角形的性质可得，则可得出结论；
（3）在CA上截取CG，使，连接GF，证明，求得，即点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为，再证明即可进一步得出结论．
【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴AC=BC，
∵BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，
∴BD=DE=BC，BE=CB，
∴CE=CB，
∵∠CFE=90°，∠ECF=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE=CB，
∴AF=AC-CF=CB，
∴BE=2AF；
故答案为：BE=2AF；
（2）结论仍然成立，；
证明：理由如下：
在中，，，
∴，，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在CA上截取CG，使，连接GF，

∴，
∵由（2）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，D，G分别是BC，AC三等分点，，
∴，，，
∴，即点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，
∴当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段DF长度的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
26．(1)
(2)
(3)存在，或

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求；
（3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）将，代入，
，
解得，
；
（2）令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
（3）如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，

∵
∴
∴点Q和点C关于对称轴对称
∵，
∴抛物线的对称轴为
∵
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E

∵
∴
∴设
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴设直线的解析式为
将，代入得，
∴解得
∴
∴联立直线和抛物线得，
∴解得
∴将代入得，
∴点Q的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．