福建省龙岩市2023届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含解析)

2022~2023学年第一学期期末九年级质量监测数学试题

一、选择题

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

2. 二次函数顶点坐标是（    ）

A.  B.  

C.  D.

3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（     ）

A.  B.  C. 1 D. 2

4. 下列事件中，是随机事件的是（    ）

A. 在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6

B. 在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球

C. 投掷一枚质地均匀骰子，朝上一面的点数小于7

D. 画一个三角形，其内角和是180°

5. 将抛物线通过一次平移可得到抛物线，对这一平移过程描述正确的是（    ）

A. 向上平移5个单位长度 B. 向下平移5个单位长度

C. 向左平移5个单位长度 D. 向右平移5个单位长度

6. 某开发公司，2021年投入的科研资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2023年投入的科研资金达到400亿元．设2022年和2023年投入的科研资金平均增长率为，则下列方程中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（    ）

A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 5米

9. 将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形．例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形．下列图形中：①正方形；②长方形；③正五边形；④六边形．其中是双心多边形的有（    ）

A. ①②④ B. ①③ C. ①④ D. ②③④

10. 已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③平分；④．正确的有（    ）个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题

11. 点关于原点对称的点的坐标为_____________.

12. 动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和是靠窗的座位．某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为______．

13. 用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：

那么该二次函数在x=0时，y=_____．

14. 如图，点是轴正半轴上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若的面积为，反比例函数的图像经过点C，则的值为______．

15. 如图，在半径为4，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点,连接,则阴影部分的面积是_________.

16. 已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是______．

三、解答题

17. 解下列方程：

（1）；

（2）．

18. 已知关于的方程．

（1）取什么值时，方程有两个实数根；

（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．

19. 如图，在平面直角坐标系中，，，若绕点O逆时针旋转90°后，得到（对应点是，B对应点是）．

（1）画出，并直接写出坐标；

（2）求旋转过程中A点运动路径长（结果保留）．

20. 2022年10月16日至10月22日，中国共产党的第二十次全国代表大会在北京召开．在党的二十大召开之际，为激励引领全校青少年传承红色基因，争做党的事业接班人，某校团委组织了“红心永向党喜迎二十大”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀奖”）

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）获奖总人数为______人，______；

（2）学校将从获得一等奖的4名同学（1名男生，3名女生）中随机抽取2名参加全市的比赛，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率．

21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．

（1）求的面积；

（2）若，结合图象，直接写出对应的自变量的取值范围______．

22. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计）

（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．

（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．

23. 阅读下列材料，并回答问题．

[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线．

[问题]

（1）请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．

（2）延长交大圆于，连接，若，，求的长．

24. 将绕点逆时针旋转得到，且点落在的延长线上，连接．

（1）如图1，若，，交于点．①求的度数；②直接写出的值．

（2）如图2，若点分别为，的中点，连接并延长交于点，求证：．

25. 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为坐标原点．

（1）求两点的坐标；

（2）若点是线段上靠近点一个三等分点，点是抛物线的一个动点，过点作轴的垂线，分别交射线于点．①求直线的解析式（用含的式子表示）；②设，的面积分别为，，若，求此时点的横坐标．

答案

1. A

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；

故选：A．

2. B

解：的顶点坐标是，

故选：B

3. C

解：把代入方程得：，即，故C正确．

故选：C．

4. A

解：A、在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6，是随机事件，符合题意；

B、在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意；

C、投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件，不符合题意；

D、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，不符合题意；

故选：A．

5. C

解：将抛物线通过一次平移可得到抛物线，

由到的变化，由函数图像平移法则知，将抛物线向左平移5个单位长度即可得到抛物线，

故选：C．

6. C

解；设2022年和2023年投入的科研资金平均增长率为，

由题意得，，

故选C．

7. B

解：令圆心为，连接，如图所示：

以量角器的直径为斜边画直角三角形，

在上，

量角器上点对应的读数是，

，

，

，

，

故选：B．

8. D

解：过圆作于，如图所示：

弦长为8米，

，

盛水桶在水面以下的最大深度为2米，

设圆的半径为，在中，，，，，则由勾股定理可知，即，整理得，

解得，

这个圆的半径为5米，

故选：D．

9. B

解：①正方形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；

②长方形一定有外接圆，没有内切圆所以不是双心多边形；

③正五边形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；

④六边形不一定是双心多边形，正六边形有外接圆又有内切圆，非正六边形没有内切圆.

故选B.

10. D

解：∵绕点逆时针旋转得到，

∴，，

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和，

∴，故①正确；

当互相重合时，如图1所示：

∵是中点，，，

∴是等腰直角三角形，且，，

∴，

∴四边形是正方形，

∴，故②正确；

∵，

∴四点共圆，如图2所示：

∵，

∴，

∴，

∴平分，故③正确；

过作，交延长线于点，如图3所示：

∵AH平分，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∵四点共圆，

∴，

∵，

∴，

在和，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴最短时，最短；最长时，最长，

当运动到点时，最短，此时，；

当运动到点时，最长，此时，；

∴，故④正确；

综上所述，以上四个结论均正确，

故选：D．

11.

解：点关于原点对称的点的坐标为.

故答案为.

12.

∵有5个座位，靠窗的有2个，

∴座位靠窗的概率是；

故答案为：．

13. 3

解：由上表可知函数图象经过点(1，0)和点(3，0)，

∴对称轴为x=2，

∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，

∵当x=4时，y=3，

∴当x=0时，y=3．

故答案是：3．

14.

解：过作轴于，如图所示：

点是轴正半轴上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，反比例函数的图像经过点C，

为等边三角形，设，

由等腰三角形“三线合一”可知，，

的面积为，

，解得，则，

，

故答案为：．

15.

解：在Rt△ACB中，

∵AC=BC=4，

∴AB=,

∵BC是半圆的直径，

∴∠CDB=90°，

在等腰Rt△ACB中，

∵CD垂直平分AB，CD=BD=，

∴D为半圆的中点，

S阴影部分=S扇形ACB-S△ADC=，

故答案为：．

16.

解：∵，

∴点与对称轴的距离比点与对称轴的距离更远，如果抛线开口向下，那么，这与题意不符，

∴抛线开口向上，如图所示：

设直线的解析式为，则依题意可得，解得，

线段的解析式为，

∵抛物线与线段有两个不相同的交点，

∴依题意可得，可化为一元二次方程为，

∵抛物线与线段有两个不相同的交点，即一元二次方程为有两个不同的实数根，

，即，解不等式组得，

又要使抛物线与线段有两个不相同的交点，则必须满足：当和时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，但时，抛物线上对应的点必在线段上方，

只需满足即可，解得，

综上所述：当时，抛物线与线段有两个不相同的交点，

故答案为：．

17. （1）

解： ，

，

∴，；

（2）

整理得：．

∵，

∴，

∴，．

18. （1）

解：，

∵方程有两个实数根，

∴

解得：，

∴当时，方程有两个实数根；

（2）

解：∵方程的两个实数根分别为，

∴，，

∵，

∴，

∴，

解得：．

19. （1）

解：如图所示：

即为所求，的坐标为；

（2）

解：∵绕点逆时针旋转90°，点的运动路径为，如图所示：

∴，

，

，

∴旋转过程中点的运动路径长，

答：旋转过程中点的运动路径长为．

20. （1）

解：在条形统计图中人数为8，在扇形统计图中对应占比为，

获奖总人数为（人），

人数为（人），

，

故答案为：40；30；

（2）

解：依题意，画树状图如下：

按照上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种情况，并且每一个结果出现的可能性相同，恰好选中1名男生和1名女生的有6种情况，

∴恰好选中1名男生和1名女生概率为．

21. （1）

解：∵函数的图象与直线交于点，

∴将点代入有：，

∴，

∴将点代入有：，

∴，

设点B的坐标为，则将点代入，

可得，

解得（舍去）或，

∴

设直线交轴于点，则，

∴；

（2）

解：由（1）可知，点，点B，

∴当时，有

自变量x的取值范围为：或；

故答案为：或．

22. （1）

解：可能．理由如下：

设长为，则 长为，

，解得或，

当时，，不合题意，舍去；

当时，，符合题意；

（2）

解：由（1）知，设长为，则长为，

，解得，

令菜园面积为，则，

即是关于的二次函数，其图像开口向下，对称轴为，

∴当时，面积随的增大而增大，

∴当时，面积的最大值为．

23. （1）

解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示：

以上即为所求作的图形；

理由如下：

∵是小圆的切线，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

又为半径，

∴是小圆的切线；

（2）

解：连接，如图所示：

在中，，，

∴，

∵，为圆的半径，

，

，

∴，

∵为大圆的直径，

∴，

在中，．

24. （1）

解：①∵绕点逆时针旋转得，

∴，，，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴；

②．

理由如下：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）

证明：连接，如图所示：

∵，为的中点，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，是的中点，

∴，

∴，

∴四点共圆，

∴，

∴，

∴，

∴．

25. （1）

解：令，则，

，

，即，

∴，，

∵点在点的左侧，

∴，；

（2）

解：①令，则，

∴，

∵点D是线段OC中靠近点O的一个三等分点，

∴，

设直线的解析式为，则，解得，

∴直线的解析式为；

②设直线的解析式为，则，解得，

∴直线的解析式为，

设点到直线的距离为，则，，

∵，

∴，即，

设点，则，，，

，

（）当点在射线的下方时，如图1所示：

，

∴，化简得，解得或，其中不合题意，舍去；

（ii）当点在射线的上方时，如图2所示：

∵，

∴点只能在射线的上方，

，

∴，化简得，解得或，其中不合题意，舍去；

综上所述，点的横坐标为或．