浙江省宁波市江北区2021-2022学年八年级下学期期末学业质量检测数学试卷(含答案)

2021学年第二学期八年级学业质量检测（数学试题）

试 题 卷 Ⅰ

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 二次根式中字母x的取值范围是（    ）

A. x≥1 B. x≤1 C. x＞1 D. x＜1

2. 下列数学符号所呈现的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）

A. ≌ B.  C.  D. ×

3. 下列等式成立的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

4. 一元二次方程的根的情况是（    ）

A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 没有实数根 D. 有无数个实数根

5. 2021年7月24日，宁波小将杨倩取得了东京奥运会气步枪首枚金牌，使得射击运动在各校盛行起来．某班有甲、乙、丙、丁四名学生进行了射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择（   ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 下列配方中，变形正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 关于反比例函数，下列结论不正确的是（  ）

A. 图象位于第一、三象限

B. y随x的增大而减小

C. 图象关于原点成中心对称

D. 若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上

8. 将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（  ）

A.  B.  

C.  D.

9. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有方田一叚，圆田一叚，共积二百五十二步，只云方面圆径适等；问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等；问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则所列方程可以为（   ）

A.  B.  

C.  D.

10. 如图是一个由5张纸片拼成菱形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中周围四张小平行四边形纸片都全等，中间一张纸片的面积为．连结BE，BG，DE，DG，四边形BEDG的面积为，若，则周围小平行四边形的宽与长的比值为（   ）

A.  B.  C.  D.

试 题 卷 Ⅱ

二、填空题（每小题5分，共30分）

11. 一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是___________边形．

12. 若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的中位数是_______．

13. 反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______．

14. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是_____．

15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF=1，BC=6，则△ABC的面积是_______．

16. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17. 计算：

（1）

（2）

18. 解方程：

（1）

（2）

19. 如图是由边长为1的小正方形构成的8×7的网格，点A，B均在格点上．

（1）在图1中画出以AB为边菱形ABCD，且点C和点D均在格点上；

（2）在图2中画出以AB为对角线的矩形AEBF，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．

20. 2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行了第二次太空授课，其中演示了以下四个实验：A．太空“冰雪”实验；B．“液桥”演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验．为了了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取了本年级部分学生进行调查，并绘制了如下两幅统计图（部分信息未给出）：

学生最感兴趣实验的人数条形统计图   

学生最感兴趣实验的人数扇形统计图

（1）本次参与调查的同学共__________人；

（2）请补全条形统计图；

（3）该校八年级共有540名学生，估计全年级对A．太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？

21. 如图1，一次函数与反比例函数交于A，B两点，点A的横坐标为－3．

（1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）当y1<y2时，直接写出x的取值范围；

（3）如图2，在第二象限中存在一点P，使得四边形PAOB是菱形，求菱形PAOB的面积．

22. 如图，将边长为4cm的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，与AB，AC分别交于点G，H（点G不与点B重合）．

（1）求证：四边形AG是平行四边形；

（2）若四边形AG是菱形，求的长．

23. 位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．

（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；

（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？

24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．

概念理解：

下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．

A.平行四边形            B.矩形        C.菱形        D.正方形

性质探究：

如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；

问题解决：

如图2，以锐角△ABC两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；

拓展应用：

如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，

（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．

（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．

答案

1-10 ADCBA  CBADB

11. 四

12. 1.5##

13. ∠B≥90°

14. 5

15. 7

16. (2，4)

17.（1）原式=；

（2）原式=．

18.（1）解：

，

即或，

解得，；

（2）解：

移项得，

提公因式得，

即或，

解得，．

19.（1）如图1，菱形ABCD即为所求

（2）如图2，矩形AEBF即为所求：

20.（1）解：15÷30%=50（人），

故答案为：50；

（2）对“C．水油分离实验”感兴趣的学生有：50×10%=5（人），

对“D．太空抛物实验”感兴趣的学生有：50-5-20-15=10（人），

补全条形统计图如下：

（3）540×=216（人），

答：估计该校八年级540名学生中对A．太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有216人．

21.（1）解：∵点A在一次函数y1=x+2①的图像上，且点A的横坐标为-3，

∴y=-1，

∴A（-3，-1），

∵点A在反比例函数的图像上，

∴k=-3×（-1）=3，

∴反比例函数的表达式为②，

联立①②解得，或，

∴B（1，3）；

（2）由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），

由图像知，当y1＜y2时，

x的取值范围为x＜-3或0＜x＜1；

（3）如图，连接OP，交AB于H，

∵四边形PAOB是菱形，

∴OP⊥AB，AH=BH，

由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），

∴AB=，点H（-1，1），

∴OH=，

∴S菱形PAOB=2S△AOB=2×AB•OH=AB•OH==8．

22.（1）证明：过C点作CDA交AD的延长线于D，如图，

∵把ACD沿着DA方向平移得到，

∴，，

∵CD，

∴，

∴四边形AG是平行四边形．

（2）∵四边形AG是菱形，

∴，

设=xcm，

则cm，

∵，

∴=45°， 

∴是等腰直角三角形，

∴，

即x=，

解得x=，

∴AH=cm．

23.（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，

根据题意，得5000（1+x）2=7200，

解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）．

答：平均增长率为20%；

（2）设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得，

解得，

为了让游客尽可能得到优惠，则．

答：要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低元．

24. 解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：

因为正方形的对角线相等且互相垂直，

故选：D；

性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD；

理由如下：如图1，

∵四边形ABCD是“中方四边形”，

∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，

∴AC⊥BD，AC=BD，

故答案为：AC⊥BD，AC=BD；

问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，

∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，

∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB中位线，

∴MNBG，MN=BG，

RLBG，RL=BG，

RNCE，RN=CE，

MLCE，ML=CE，

∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，

∴四边形MNRL是平行四边形，

∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，

∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，

又∵∠BAC=∠BAC，

∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，

即∠EAC=∠BAG，

在△EAC和△BAG中，

，

∴△EAC≌△BAG（SAS），

∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，

又∵RL=BG，RN=CE，

∴RL=RN，

∴▱MNRL是菱形，

∵∠EAB=90°，

∴∠AEP+∠APE=90°．

又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，

∴∠ABG+∠BPK=90°，

∴∠BKP=90°，

又∵MNBG，MLCE，

∴∠LMN=90°，

∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；

拓展应用：（1）MN=AC，理由如下：

如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，

∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，

∴四边形ENFM是正方形，

∴FM=FN，∠MFN=90°，

∴MN===FM，

∵M，F分别是AB，BC的中点，

∴FM=AC，

∴MN=AC；

（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，

连接BD交AC于O，连接OM、ON，

当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，

∴2（OM+ON） 2MN，

由性质探究②知：AC⊥BD，

又∵M，N分别是AB，CD的中点，

∴AB=2OM，CD=2ON，

∴2（OM+ON）=AB+CD，

∴AB+CD2MN，

由拓展应用（1）知：MN=AC；

又∵AC=2，

∴MN=，

∴AB+CD的最小值为2．