浙江省宁波市江北区2021-2022学年八年级下学期期末学业质量检测数学试卷(含解析)

这是一份浙江省宁波市江北区2021-2022学年八年级下学期期末学业质量检测数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021学年第二学期八年级学业质量检测
数学试题
试 题 卷 Ⅰ
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A. x≥1 B. x≤1 C. x＞1 D. x＜1
2. 下列数学符号所呈现的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. ≌ B. C. D. ×
3. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有无数个实数根
5. 2021年7月24日，宁波小将杨倩取得了东京奥运会气步枪首枚金牌，使得射击运动在各校盛行起来．某班有甲、乙、丙、丁四名学生进行了射击测试，每人10次射击成绩的平均数`x（单位：环）及方差s2（单位：环2）如下表所示：

甲
乙
丙
丁
`x
6
5.5
6
6
s2
1.4
1.8
2.6
1.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择（ ）
A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 下列配方中，变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 关于反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限
B. y随x的增大而减小
C. 图象关于原点成中心对称
D. 若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
8. 将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ）

A. B.
C. D.
9. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有方田一叚，圆田一叚，共积二百五十二步，只云方面圆径适等；问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等；问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则所列方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图是一个由5张纸片拼成的菱形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中周围四张小平行四边形纸片都全等，中间一张纸片的面积为．连结BE，BG，DE，DG，四边形BEDG的面积为，若，则周围小平行四边形的宽与长的比值为（ ）

A. B. C. D.
试 题 卷 Ⅱ
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是___________边形．
12. 若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的中位数是_______．
13. 反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______．
14. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是_____．

15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF=1，BC=6，则△ABC的面积是_______．

16. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17 计算：
（1）
（2）
18. 解方程：
（1）
（2）
19. 如图是由边长为1的小正方形构成的8×7的网格，点A，B均在格点上．

（1）在图1中画出以AB为边菱形ABCD，且点C和点D均在格点上；
（2）在图2中画出以AB为对角线的矩形AEBF，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．
20. 2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行了第二次太空授课，其中演示了以下四个实验：A．太空“冰雪”实验；B．“液桥”演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验．为了了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取了本年级部分学生进行调查，并绘制了如下两幅统计图（部分信息未给出）：
学生最感兴趣实验的人数条形统计图

学生最感兴趣实验的人数扇形统计图

（1）本次参与调查的同学共__________人；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校八年级共有540名学生，估计全年级对A．太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？
21. 如图1，一次函数与反比例函数交于A，B两点，点A的横坐标为－3．

（1）求出反比例函数表达式及点B的坐标；
（2）当y1 （3）如图2，在第二象限中存在一点P，使得四边形PAOB是菱形，求菱形PAOB的面积．
22. 如图，将边长为4cm的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，与AB，AC分别交于点G，H（点G不与点B重合）．

（1）求证：四边形AG是平行四边形；
（2）若四边形AG是菱形，求的长．
23. 位于宁波市江北区保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．

答案

1. A
解：∵有意义，
∴，
解得，
故选A．
2. D
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意．
故选D．
3. C
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
4. B
解：对一元二次方程，
，
∴有两个相等实数根，
故选：B．
5. A
解：甲、丙、丁的平均数相等且大于乙的平均数，
甲的方差最小，
∴要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择甲．
故选A．
6. C
∵
∴A不合题意；
∵
∴B不合题意；
∵
∴
∴C符合题意；
∵
∴D不合题意；
故选：C．
7. B
解：关于反比例函数，图象位于第一、三象限，图象关于原点成中心对称，
若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，则选项A，C，D都正确，不合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
8. A
根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.
故选A．
9. D
解：设正方形田的边长为x，则圆的半径等于，则所列方程可以为，
，
故选D．
10. B
解：如图，过点D作DP⊥BC，交BC的延长线于P，交MG的延长线于Q，

设小平行四边形的宽是x，长是y，DQ=h，PQ=h1，
∵周围四张小平行四边形纸片都全等，
∵EH=GH=FG=EF=y-x，
∴四边形EFGH是菱形，
∵S2＝S1，
∴，即，
∴，
∴．
故选：B．
11. 四
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4，
∴这个多边形为四边形．
故答案为：四．
12. 1.5##
解：∵一组数据1，2，x，4的众数是1，
∴x=1，
把这些数由小到大排列为：1，1，2，4，
则这组数据的中位数为1.5；
故答案为：1.5．
13. ∠B≥90°
解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．”时，
第一步应假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°．
14. 5
解：连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC==4，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故答案为：5．
15. 7
解：∵DE是△ABC的中位线，BC=6，
∴DE=BC=3，DEBC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠BCG，
∵BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠BCG，
∴∠DFB=∠DBF，∠EGC=∠ECG，
∴BD=DF，CE=EG，
∵DE=3，GF=1，
∴BD+CE=DF+EG=4，
∵DE是△ABC的中位线，
∴AB+AC=8，
在Rt△ABC中， =36，
∴2AB•AC==64-36=28，
∴S△ABC=AB•AC=7，
故答案为：7．
16. (2，4)
解：连接OE，

∵反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，
∴，
，
设D(m，n)
∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，
∴mn=，n=，
∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，
∴B(2m，2n)
∴A=2n，AB=2m，
∴，
∴AE=，
∴BE，E(，)，
∴OA=，
∵OD=BD，EDOB，
∴OE=BE=，
在RtAOE中，，
∴
整理得
∵m0，
∴m=4，
∴E(2，4)，
故答案为：(2，4)．
17. （1）
原式=；
（2）
原式=．
18. （1）
解：

，
即或，
解得，；
（2）
解：
移项得，
提公因式得，
即或，
解得，．
19. （1）
如图1，菱形ABCD即为所求

（2）
如图2，矩形AEBF即为所求：

20. （1）
解：15÷30%=50（人），
故答案：50；
（2）
对“C．水油分离实验”感兴趣的学生有：50×10%=5（人），
对“D．太空抛物实验”感兴趣的学生有：50-5-20-15=10（人），
补全条形统计图如下：

（3）
540×=216（人），
答：估计该校八年级540名学生中对A．太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有216人．
21. （1）
解：∵点A在一次函数y1=x+2①的图像上，且点A的横坐标为-3，
∴y=-1，
∴A（-3，-1），
∵点A在反比例函数的图像上，
∴k=-3×（-1）=3，
∴反比例函数的表达式为②，
联立①②解得，或，
∴B（1，3）；
（2）
由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
由图像知，当y1＜y2时，
x的取值范围为x＜-3或0＜x＜1；
（3）
如图，连接OP，交AB于H，

∵四边形PAOB是菱形，
∴OP⊥AB，AH=BH，
由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
∴AB=，点H（-1，1），
∴OH=，
∴S菱形PAOB=2S△AOB=2×AB•OH=AB•OH==8．
22. （1）
证：过C点作CDA交AD的延长线于D，如图，

∵把ACD沿着DA方向平移得到，
∴，，
∵CD，
∴，
∴四边形AG是平行四边形．
（2）
∵四边形AG是菱形，
∴，
设=xcm，
则cm，
∵，
∴=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即x=，
解得x=，
∴AH=cm．
23. （1）
解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2=7200，
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）
设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得，

解得，
为了让游客尽可能得到优惠，则．
答：要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低元．
24. 解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故选：D；
性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD；
理由如下：如图1，

∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，
∴AC⊥BD，AC=BD，
故答案为：AC⊥BD，AC=BD；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，

∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MNBG，MN=BG，
RLBG，RL=BG，
RNCE，RN=CE，
MLCE，ML=CE，
∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=BG，RN=CE，
∴RL=RN，
∴▱MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MNBG，MLCE，
∴∠LMN=90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：（1）MN=AC，理由如下：
如图3，分别作AD、BC中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN===FM，

∵M，F分别是AB，BC的中点，
∴FM=AC，
∴MN=AC；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
连接BD交AC于O，连接OM、ON，

当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，
∴2（OM+ON） 2MN，
由性质探究②知：AC⊥BD，
又∵M，N分别是AB，CD中点，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2（OM+ON）=AB+CD，
∴AB+CD2MN，
由拓展应用（1）知：MN=AC；
又∵AC=2，
∴MN=，
∴AB+CD的最小值为2．