安徽省A10联盟2022-2023学年高三数学下学期二模试题（Word版附解析）

1号卷·A10联盟2023届高三4月期中考

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟．请在答题卷上作答。

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．若集合，则的元素个数为（    ）

A．2         B．3       C．4         D．5

2．的虚部为（    ）

A．        B．     C．        D．

3．设，则“”是“为奇函数”的（    ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

4．积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人的5位同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为（    ）

A．12       B．14       C．15       D．16

5．如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（    ）

A．      B．      C．    D．

6．在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之和为（    ）

A．0        B．       C．        D．

7．已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A．      B．      C．    D．

8．设，则（    ）

A．        B．        C．       D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一

B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个

C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元

D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元

10．若圆与圆的公共弦AB的长为，则下列结论正确的有（    ）

A．                       B．直线AB的方程为

C．AB中点的轨迹方程为     D．四边形的面积为

11．已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（    ）

A．圆锥的侧面积为                    B．面积的最大值为

C．直线SB与平面SAC所成角的最大值为    D．若B是的中点，则的最小值为

12．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线l与C交于P，Q两点，且，，若过点P，Q分别作C的两条切线交于点A，则（    ）

A．     B．     C．     D．以PQ为直径的圆过点A

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中的系数为________．

14．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________．

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在C的左支上，交C的右支于点B，，，则C的焦距为___________，的面积为___________．

16．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_________．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分10分）

已知首项为3的数列的前n项和为，且．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

在中，．

（1）若，头判断的形状；

（2）求的最大值．

19．（本小题满分12分）

近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．

（1）已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；

（2）三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且，求P的值及X的分布列．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O．

（1）求证：平面ABCD；

（2）求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右顶点分别为，短轴长为，点C上的点P满足直线的斜率之积为．

（1）求C的方程；

（2）若过点且不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点，记直线交于点Q．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论在上的单调性；

（2）若，且，求证：．

1号卷·A10联盟2023届高三4月期中考

数学参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．C由题意得，，故，即共有4个元素，故选C．

2．B  ，故其虚部为，故选B．

3．A若为奇函数，则

，，

解得，“”是“为奇函数”的充分不必要条件，故选A．

4．D若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种；若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种，故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种．故选D．

5．C  ，则①；同理，，

则②；两式相加，，即，故选C．

6．B由题意得，．令，作出所表示的平面区域如图中实线所示，则，而表示点到原点的距离的平方，结合图形可知的最小值为2，最大值为4，故的最小值与最大值之和为，故选B．

7．D由题意得，，令，解得．，，函数在上恰有4个不同的零点，，解得．故选D．

8．B由（当且仅当取等号）知，．令，则，令，易得在上单调递增，∴当时，，，在上单调递增，，即，，，故选B．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．ABD  由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；平均数为

（元），故C错误；中位数为（元），故D正确．故选ABD．

10．AB  两圆方程相减可得直线AB的方程为，因为圆的圆心为，半径为2，且公共弦AB的长为，则到直线的距离为1，所以，解得，所以直线AB的方程为，故A，B正确；由圆的性质可知直线垂直平分线段AB，所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点的坐标为，则，即，故C错误；易得四边形为菱形，且，，则四边形的面积为，故D错误．故选AB．

11．AC圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，故A正确；

，，，，

设，则，故B不正确；当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，由知，此时B到平面SAC距离为，又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为，故C正确；当B是弧AC的中点时，，此时为等腰三角形，为等腰直角三角形，将、沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，取AB的中点D，连接SC、SD，则，，

，

，，

当且仅当S，F，C三点共线时等号成立，故D错误．故选AC．

12．ACD  由题意得，抛物线．设，则，

且，故，故直线l的方程为，与抛物线C的方程联立整理得，，故，由，得切线，切线，联立切线方程可得，，故，而，故，故A正确；，故B错误；因为，所以，故C正确；因为，所以，故D正确故选ACD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．945

令，则，解得，故展开式的通项公式为

，令，解得，故展开式中的系数为．

14．196

被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则，令，解得，则数列的最大项为，所以该数列最大项和最小项之和为．

15．（3分）     （2分）

取AB的中点M，则，，，，

．设，由双曲线的定义得，

，．在中，，

，．在中，，解得，

则双曲线C的焦距为．，的面积为．

16．

设，则．当时，恒成立，则函数在上单调递增，，不合题意，舍去；当时，由得．当时，，当时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

，令，易得在上单调递减，

，则的解集为，即实数a的取值范围是．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分10分）

（1）由题意得，，即，         1分

故，即，              3分

又，故数列是以为首项，为公比的等比数列．             4分

（2）由（1）知，，即．                6分

数列的前n项和为，                     7分

数列的前n项和为，              8分

故．                 10分

注：也可以写成奇偶的形式

18．（本小题满分12分）

（1）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

由及正弦定理知，，          1分

，        3分

，

．                  4分

，

，是直角三角形．                                 6分

（2）由（1）知，，

，且，                 8分

，

当且仅当，即时取等号，

的最大值为．                          12分

19．（本小题满分12分）

（1）设“第一天选择‘抖音’平台”， “第一天选择‘快手’平台”， “第二天选择‘抖音’平台”，                                                            1分

则，        2分

则．          4分

（2）由题意得，X的取值为0，1，2，3，

且，                6分

，        7分

，

，                            8分

所以，解得．                  10分

故X的分布列为

注：本题也可先利用，解得，再求分布列．

20．（本小题满分12分）

（1）如图，连接OE，OF，

因为三棱锥和均是棱长为2的正四面体，

所以，

所以，所以，所以．                              2分

因为，

所以，所以，所以，              4分

又平面ABCD，所以平面ABCD．       5分

（2）易得四边形ABCD是菱形，则，所以OQ，AC，BD两两垂直，所以以O为原点建立空间直角坐标系如图，

则，

故．           6分

设平面AQD的法向量为，则，

令，则，故．             8分

设平面BCF的法向量为，则，

令，则，故，                   10分

所以，                       11分

所以平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值为．                 12分

21．（本小题满分12分）

（1）设，

则，           2分

故①；又②，                                3分

联立①②，解得，故C的方程为．                  4分

（2）结论：点Q在定直线上．                             5分

由（1）得，，设，

设直线l为，联立，

整理得，，，            6分

直线的方程为，直线的方程为，           7分

联立两条直线方程，解得①，                  8分

将代入①，得②              9分

由得，，

代入②，得．

点Q在定直线上．                                               12分

22．（本小题满分12分）

（1）．

若，则，故函数在上单调递增；        2分

若，则当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增；             3分

若，则，故函数在上单调递减；

综上所述，若，在上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增；若，在上单调递减．                    5分

（2）令，则，即，

令，则，

易得在上单调递减，上单调递增，

又，则．                        6分

要证明，只要证明，又，即证明，

因为，即证．

令，

则，

所以在上单调递减，所以，则，

则．                               9分

因为，所以，

又，所以．

令，

易得在上单调递增，在上单调递减，故．

综上，．                             12分

以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．