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中考数学二轮复习核心专题06 二次函数及其运用（教师版）
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这是一份中考数学二轮复习核心专题06 二次函数及其运用（教师版），共25页。
专题06 二次函数及其运用复习考点攻略
考点一 二次函数相关概念
1. 二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2. 二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0
【例1】若y=（a–1）x2–ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠1
C．a≠1且a≠0 D．无法确定
【答案】【答案】B
【解析】根据二次函数的定义，a–1≠0，即a≠1．故选B．
考点二 二次函数的图像和性质
1．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
【例2】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，故选：C．
【例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），
即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．
【例4】若二次函数的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3–m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵经过A（m，n）、C（3–m，n），∴二次函数的对称轴x=，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|>0，∴y1>y3>y2；故选A．
考点三 二次函数图像的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是
A．y=–x2–5 B．y=–x2+1
C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2
【答案】C
【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．
考点四 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
【例6】抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．
【例7】如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是
A．x<2 B．x>–3
C．–31
【答案】C
【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）
A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝ D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；故选：D．
【例9】如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线的解析式为，又该抛物线过点，代入得：学=科网
，解得，故该抛物线的解析式为．
（2）假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．
由（1）知，该抛物线的解析式是y=x2-4x+3，即y=（x-1）（x-3），
∴该抛物线与x轴的交点坐标分别是A（1，0），B（3，0）．
∵C（0，3），
∴易求直线BC的解析式为：y=-x+3．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
又∵点D是对称轴上的一点，∴D（2，1）．
如图，连接DF．
∵EF∥y轴，
∴只有∠EFD=∠COB=90°．
∵以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，
∴∠DEF=∠FDE=45°，
∴只有△EFD∽△COB．
设E（x，-x+3），则F（x，1），
∴1=x2-4x+3，
解得x=2±，
当x=2+时，y=-x+3=1-；
当x=2-时，y=-x+3=1+；
∴E1（2-，1+）、E2（2+，1-）．
∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x2-4x+3=x-1，解得 x1=1，x2=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E3（1，2），E4（4，-1）．
∴综上，点E的坐标为（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1. 函数y=是二次函数，则m的值是（ ）
A．±1 B．1
C．–1 D．以上都不对
【答案】B
【解析】∵函数y=是二次函数，∴m2+1=2且m+1≠0，解得m=1．故选B．
2.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a>0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．故选：B．
3.在函数中，当随的增大而减小时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为直线，
∵，∴时，随的增大而减小.故选D.
4.把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1
【答案】B
【解析】∵把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y=12（x–1）2–3，故选B．
5.如图，一次函数 (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D. 当 (n为实数)时，
【答案】 D
【解析】
解：A、∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴左侧，
∴x=-<0, ∴b>0；
∵图象与y轴的交点在y轴上方，
∴c>0， ∴abc>0, 不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
即 ,不符合题意；
C、设图象的顶点为（1，k）,
∴k<0，则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k,
∴c=a+k,
∴c-a=k<0,不符合题意；
D、∵当x≥0, y≥c, 又∵n2≥0, ，
∴x=-n2-2,
由对称的性质可知这时的y≥c. 故答案为：D.
6.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（ ）s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
【答案】A
【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y=600﹣150=450时，即60t﹣t2=450，
解得：t=10，t=30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10，故选A．
7.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-），
∴-=m（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故选：B．
8.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故选D.
9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，观察图象可知≤a≤3，故选：A．
10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，故选：B．
第二部分 填空题
二、 填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11.已知抛物线．设点，在抛物线上，若，则m的取值范围 ．
【答案】当a＞0时，；当a＜0时，或．
【解析】∵抛物线的对称轴为，∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，则m＜-1或m＞3.
12.将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为
【答案】
【解析】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加
【答案】2 m
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB均为AB的一半，即OA=OB=2 m，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（–2，0）代入得a=–0.5，∴抛物线解析式为y=–0.5x2+2，当水面下降2.5 m，通过观察图上的抛物线可得当y=–2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=–1与抛物线相交时两点之间的距离，把y=–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x2+2，解得：x=±3，2×3–4=2，所以水面下降2.5 m，水面宽度增加2 m．
14. 若A（–3.5，y1）、B（–1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=–x2–4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．
【答案】y2>y1>y3
【解析】对称轴为直线x=–=–=–2，∵a=–1<0，∴当x<–2时，y随x的增大而增大，当x>–2时，y随x的增大而减小，∵–2–（–3.5）=–2+3.5=1.5，–1–（–2）=–1+2=1，
1–（–2）=1+2=3，∴y2>y1>y3．故答案为：y2>y1>y3．
15. 如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是__________．
【答案】或
【解析】∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．故答案为：或．
16.如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【解析】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
第三部分 解答题
三、解答题（本题有6小题，共56分）
17.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求：
（1）铅球在行进中的最大高度；
（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？
【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为；（2）该男生把铅球推出的水平距离是．
【解析】（1），
∵，
∴y的最大值为3，
∴铅球在行进中的最大高度为．
（2）令得：
解方程得，，（负值舍去）．
∴该男生把铅球推出的水平距离是．
18. 已知：二次函数与一次函数．
（1）两个函数图象相交吗？若相交，有几个交点？
（2）将直线向下平移个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1），
解得，或，
即两个函数图象相交，有两个交点；
（2）将直线向下平移个单位，得直线，
令，
得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
△，解得，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).
（1） 求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】（1）1
∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1，
∴点A坐标为(2，1)，
∵抛物线的对称轴为直线x-2，且点C与点B关于对称轴对称，
∴点C(3，0)，
∴当y>0时，x的取值范围是1
∴点D移到点A时，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，所以抛物线的解析式为y=-(x-4)2+5
20. 如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 ；（2）（3）（，）
【解析】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，
设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣ [3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m，
∵0，故S有最大值，
当m＝时，S的最大值为：；
（3）当S取得最大值时，此时，m＝，
则y＝﹣m2+2m+3＝，
故点M′的坐标为：（，）．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上.
（1）当m=5时，求n的值.
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围.
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.
【答案】 （1）（2）1≤x≤5 ，（3）0≤m＜1或1＜m＜2 .
【解析】 （1）解：当m＝5时，y＝ ，
当x＝1时， n＝ .
（2）解：当n＝2时，将C(1，2)代入函数表达式y＝ ，
得2＝ ，解得m1＝3， m2＝－1(舍去).
∴此时抛物线的对称轴为直线x=3，
根据抛物线的轴对称性，当y＝2时，有x1＝1 ，x2＝5.
∴x的取值范围为1≤x≤5.
（3）解：∵点A与点C不重合， ∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，∴抛物线的顶点在直线y＝4上.
当x＝0时，y＝ ， ∴点B的坐标为(0， ).
抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动.
当点B与点O重合时， ＝0， 解得 m1＝ ，m2＝ .
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点.
∴点B的点坐标为（0，4），∴ ＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上.
∴ B点在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2 .
22.如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，
【解析】解：（1）把代入中，
得 解得∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得 ∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴．
∵，∴此函数有最大值．又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）∴MC= ∴整理得，
∵，∴，解得，，
∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；
(ii)若，如图，则有整理得，
∵，∴，解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
专题06 二次函数及其运用复习考点攻略
考点一 二次函数相关概念
1. 二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2. 二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0
【例1】若y=（a–1）x2–ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠1
C．a≠1且a≠0 D．无法确定
【答案】【答案】B
【解析】根据二次函数的定义，a–1≠0，即a≠1．故选B．
考点二 二次函数的图像和性质
1．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
【例2】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，故选：C．
【例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），
即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．
【例4】若二次函数的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3–m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵经过A（m，n）、C（3–m，n），∴二次函数的对称轴x=，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|>0，∴y1>y3>y2；故选A．
考点三 二次函数图像的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是
A．y=–x2–5 B．y=–x2+1
C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2
【答案】C
【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．
考点四 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
【例6】抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．
【例7】如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是
A．x<2 B．x>–3
C．–3
【答案】C
【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）
A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝ D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；故选：D．
【例9】如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线的解析式为，又该抛物线过点，代入得：学=科网
，解得，故该抛物线的解析式为．
（2）假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．
由（1）知，该抛物线的解析式是y=x2-4x+3，即y=（x-1）（x-3），
∴该抛物线与x轴的交点坐标分别是A（1，0），B（3，0）．
∵C（0，3），
∴易求直线BC的解析式为：y=-x+3．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
又∵点D是对称轴上的一点，∴D（2，1）．
如图，连接DF．
∵EF∥y轴，
∴只有∠EFD=∠COB=90°．
∵以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，
∴∠DEF=∠FDE=45°，
∴只有△EFD∽△COB．
设E（x，-x+3），则F（x，1），
∴1=x2-4x+3，
解得x=2±，
当x=2+时，y=-x+3=1-；
当x=2-时，y=-x+3=1+；
∴E1（2-，1+）、E2（2+，1-）．
∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x2-4x+3=x-1，解得 x1=1，x2=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E3（1，2），E4（4，-1）．
∴综上，点E的坐标为（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1. 函数y=是二次函数，则m的值是（ ）
A．±1 B．1
C．–1 D．以上都不对
【答案】B
【解析】∵函数y=是二次函数，∴m2+1=2且m+1≠0，解得m=1．故选B．
2.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a>0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．故选：B．
3.在函数中，当随的增大而减小时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为直线，
∵，∴时，随的增大而减小.故选D.
4.把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1
【答案】B
【解析】∵把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y=12（x–1）2–3，故选B．
5.如图，一次函数 (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D. 当 (n为实数)时，
【答案】 D
【解析】
解：A、∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴左侧，
∴x=-<0, ∴b>0；
∵图象与y轴的交点在y轴上方，
∴c>0， ∴abc>0, 不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
即 ,不符合题意；
C、设图象的顶点为（1，k）,
∴k<0，则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k,
∴c=a+k,
∴c-a=k<0,不符合题意；
D、∵当x≥0, y≥c, 又∵n2≥0, ，
∴x=-n2-2,
由对称的性质可知这时的y≥c. 故答案为：D.
6.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（ ）s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
【答案】A
【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y=600﹣150=450时，即60t﹣t2=450，
解得：t=10，t=30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10，故选A．
7.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-），
∴-=m（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故选：B．
8.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故选D.
9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，观察图象可知≤a≤3，故选：A．
10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，故选：B．
第二部分 填空题
二、 填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11.已知抛物线．设点，在抛物线上，若，则m的取值范围 ．
【答案】当a＞0时，；当a＜0时，或．
【解析】∵抛物线的对称轴为，∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，则m＜-1或m＞3.
12.将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为
【答案】
【解析】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加
【答案】2 m
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB均为AB的一半，即OA=OB=2 m，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（–2，0）代入得a=–0.5，∴抛物线解析式为y=–0.5x2+2，当水面下降2.5 m，通过观察图上的抛物线可得当y=–2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=–1与抛物线相交时两点之间的距离，把y=–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x2+2，解得：x=±3，2×3–4=2，所以水面下降2.5 m，水面宽度增加2 m．
14. 若A（–3.5，y1）、B（–1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=–x2–4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．
【答案】y2>y1>y3
【解析】对称轴为直线x=–=–=–2，∵a=–1<0，∴当x<–2时，y随x的增大而增大，当x>–2时，y随x的增大而减小，∵–2–（–3.5）=–2+3.5=1.5，–1–（–2）=–1+2=1，
1–（–2）=1+2=3，∴y2>y1>y3．故答案为：y2>y1>y3．
15. 如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是__________．
【答案】或
【解析】∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．故答案为：或．
16.如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【解析】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
第三部分 解答题
三、解答题（本题有6小题，共56分）
17.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求：
（1）铅球在行进中的最大高度；
（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？
【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为；（2）该男生把铅球推出的水平距离是．
【解析】（1），
∵，
∴y的最大值为3，
∴铅球在行进中的最大高度为．
（2）令得：
解方程得，，（负值舍去）．
∴该男生把铅球推出的水平距离是．
18. 已知：二次函数与一次函数．
（1）两个函数图象相交吗？若相交，有几个交点？
（2）将直线向下平移个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1），
解得，或，
即两个函数图象相交，有两个交点；
（2）将直线向下平移个单位，得直线，
令，
得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
△，解得，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).
（1） 求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】（1）1
∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1，
∴点A坐标为(2，1)，
∵抛物线的对称轴为直线x-2，且点C与点B关于对称轴对称，
∴点C(3，0)，
∴当y>0时，x的取值范围是1
∴点D移到点A时，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，所以抛物线的解析式为y=-(x-4)2+5
20. 如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 ；（2）（3）（，）
【解析】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，
设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣ [3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m，
∵0，故S有最大值，
当m＝时，S的最大值为：；
（3）当S取得最大值时，此时，m＝，
则y＝﹣m2+2m+3＝，
故点M′的坐标为：（，）．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上.
（1）当m=5时，求n的值.
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围.
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.
【答案】 （1）（2）1≤x≤5 ，（3）0≤m＜1或1＜m＜2 .
【解析】 （1）解：当m＝5时，y＝ ，
当x＝1时， n＝ .
（2）解：当n＝2时，将C(1，2)代入函数表达式y＝ ，
得2＝ ，解得m1＝3， m2＝－1(舍去).
∴此时抛物线的对称轴为直线x=3，
根据抛物线的轴对称性，当y＝2时，有x1＝1 ，x2＝5.
∴x的取值范围为1≤x≤5.
（3）解：∵点A与点C不重合， ∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，∴抛物线的顶点在直线y＝4上.
当x＝0时，y＝ ， ∴点B的坐标为(0， ).
抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动.
当点B与点O重合时， ＝0， 解得 m1＝ ，m2＝ .
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点.
∴点B的点坐标为（0，4），∴ ＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上.
∴ B点在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2 .
22.如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，
【解析】解：（1）把代入中，
得 解得∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得 ∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴．
∵，∴此函数有最大值．又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）∴MC= ∴整理得，
∵，∴，解得，，
∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；
(ii)若，如图，则有整理得，
∵，∴，解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
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