初中数学北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件随堂练习题

这是一份初中数学北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件随堂练习题，共22页。试卷主要包含了嘉淇发现有两个结论等内容，欢迎下载使用。
4.3探索三角形全等的条件同步提升训练
1．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
2．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（　　）分钟后，△CAP与△PQB全等．

A．2 B．3 C．4 D．8
3．嘉淇发现有两个结论：在△A1B1C1与△A2B2C2中，①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．
对于上述的两个结论，下列说法正确的是（　　）
A．①，②都错误 B．①，②都正确
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
4．如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．HL

5．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
6．如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
7．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝35°，则∠DAO的度数是（　　）

A．35° B．85° C．95° D．以上都不对
8．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论正确的是　 　．
A．∠1＝∠2； B．BE＝CF； C．△CAN≌△ABM； D．CD＝DN．

9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是　 　．

10．如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件　 　，可以判断△ABF≌△DCE．

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE＝DC．若AB＝5，AC＝3，则EB＝　 　．

12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，DE⊥AB于点E，DC＝DE，∠A＝32°，则∠BDC的度数为　 　．

13．如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝α，连接AE，BD交于点P．下列结论：
①AE＝DB；
②当α＝60°时，AD＝BE；
③∠APB＝2∠ADC；
④连接PC，则PC平分∠APB．
其中正确的是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）


14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝　 　cm．

15．如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有　 　对．

16．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝　 　．

17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为　 　．

18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝　 　时，△ABC和△APQ全等．

19．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD＝　 　．

20．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是　 　（填序号）

21．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠D＝∠B，∠1＝∠2．
求证：DE＝BC．

22．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．



23．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．



24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点B，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．



25．如图，△ABF中，E是边AF的中点，点C在BF上，作AD∥BF交CE的延长线于点D．
（1）求证：△FEC≌△AED；
（2）若AF⊥CD于点E，DE＝4，CF＝5，求点E到AD的距离．



26．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且DE＝DC，∠EAB＝∠BDE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．

27．如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．

28．已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．
（1）如图1，求证：AC＝DE；
（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．


参考答案
1．解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故选：C．
3．解：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，根据SSS判定△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，不能判定△A1B1C1≌△A2B2C2．
故选：C．
4．解：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS）．
故选：C．
5．解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故选：A．
6．解：如图，

只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，
故选：A．
7．解：在△OAD和△OBC中
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴∠D＝∠C．
∵∠C＝35°，
∴∠D＝35°．
∴∠DAO＝180°﹣∠D﹣∠O＝180°﹣60°﹣35°＝85°，
故选：B．
8．解：如图，
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（AAS），
∴∠FAC＝∠EAB，BE＝CF，AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
故A，B正确；
又∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
故C错误；
∵△ACN≌△ABM（ASA），
∴AN＝AM，
∴MC＝BN，
而∠B＝∠C，∠CDM＝∠BDN，
∴△DMC≌△DMB（AAS），
∴DC＝DB，
∴DC≠DN，
故D错误．
故答案为：A，B；
9．解：连接BE，

∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝8（cm），
故答案为：8cm．
10．解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
又∵AF＝DE，
∴若添加∠AFB＝∠DEC，可以利用“SAS”证明△ABF≌△DCE，
若添加AB＝DC，可以利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，
所以，添加的条件为∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．
故答案为：∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．
11．解：在Rt△ADE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AC＝AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
故答案为2．
12．解：在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴∠CDB＝∠EDB，
∵∠CDE＝∠A+∠AED＝32°+90°＝122°，
∴∠CDB＝∠EDB＝61°，
故答案为：61°．
13．解：∵∠ACD＝∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，∠EAC＝∠BDC，故①正确，
当α＝60°时，△ACD是等边三角形，△CEB是等边三角形，
∴AD＝AC，BE＝BC，
当AC＝BC时，AD＝BE，故②错误；
∵AC＝CD，∠ACD＝α，
∴∠CAD＝∠CDA＝，
∵∠APB＝∠PAD+∠ADP＝∠ADC+∠BDC+∠DAP＝∠ADC+∠EAC+∠DAP＝∠ADC+∠CAD，
∴∠APB＝2∠ADC，故③正确；
如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，

∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，
∴×AE×CG＝×DB×CH，
∴CG＝CH，
又∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，故④正确，
故答案为：①③④．
14．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠E＝∠ADC＝90°
∴∠DAC+∠DCA＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠BCE+∠DCA＝90°
∴∠DAC＝∠BCE
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE
∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）
DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），
故答案为1.5

15．解：在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SSS），
∴∠CAE＝∠DAE，
在△CAB和△DAB中，

∴△CAB≌△DAB（SAS），
∴BC＝BD，
在△BCE和△BDE中，

∴△BCE≌△BDE（SSS）．
∴图中全等三角形有3对．
故答案为：3．
16．解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，
，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，
故答案为：58°．
17．解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，
∵CD＝3，BD＝8，
∴AD＝8，DF＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
18．解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：

在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝B＝8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：

在Rt△ABC和Rt△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP＝AC＝15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8cm或15cm．
19．解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．
故答案为1．
20．解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∴②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，
∴EF≠EC，
∴③错误；
④由③知AD＝AE＝EC，
∴④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案是：①②④．

21．证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△DAE和△BAC中，
，
∴△DAE≌△BAC（ASA），
∴DE＝BC．
22．（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
23．解：（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠E＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．
24．证明：如图，连接AC，

在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（AAS），
∴CB＝CD．
25．证明：（1）∵AD∥CF，
∴∠D＝∠FCE，
∵E是AF的中点，
∴AE＝EF，
在△FEC和△AED中，
，
∴△FEC≌△AED（AAS）；
（2）如图，过点E作EH⊥AD于H．

∵△ADE≌△FCE，
∴CF＝AD＝5，
∴AE＝＝＝3，
∵S△ADE＝×AD×HE＝×AE×DE，
∴5×DH＝3×4，
∴DH＝，
∴点E到AD的距离．
26．证明：（1）如图，

∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE＝∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠C＝∠E，
∵∠EAB＝∠BDE，∠AOE＝∠BOD，
∴∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠E＝65°．
27．（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）；
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
28．证明：（1）∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝DE；
（2）由（1）得△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE，
∴AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠E，
在△ABG与△EBH中，
，
∴△ABG≌△EBH（ASA），
∴BG＝BH，
在△DBH与△CBG中，
，
∴△DBH≌△CBG（SAS），
∴∠D＝∠C，
∵DB＝CB，BG＝BH，
∴DG＝CF，
在△DFG与△CFH中，
，
∴△DFG≌△CFH（AAS）．