初中数学4 用尺规作三角形课后复习题

4.4用尺规作三角形同步提升训练

1．用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； ②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP．射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（　　）

A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜m C．m＞0，n＞DE D．m＞0，n＜DE

2．如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

3．按下列语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，下列图形符合题意的是（　　）

A．B．C．D．

4．如图，已知锐角∠AOB，按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧MN，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C、D为圆心，CD长为半径作圆弧，两圆弧交于点P，连接CP、DP；③作射线OP交CD于点Q．下列说法不正确的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．∠CDO＝∠PDB C．CP＝2QC D．CD⊥OP

5．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容

如图，已知∠AOB，

求作：∠AOB的角平分线．

作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交☺于点N；②分别以点⊕为圆心，大于♡的长为半径画弧，两弧在⊗内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．（　　）

A．☺表示OA B．⊕表示M、C C．♡表示ON D．⊗表示∠AOB

6．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）

①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．

②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．

③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．

④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．

A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②

7．下列关于用尺规作图的结论错误的是（　　）

A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 

B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 

C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出 

D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出

8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（　　）

A．以点C为圆心，OD为半径的弧 

B．以点C为圆心，DM为半径的弧 

C．以点E为圆心，OD为半径的弧 

D．以点E为圆心，DM为半径的弧

9．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝26°．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（　　）

A．50° B．52° C．58° D．64°

11．已知锐角∠AOB，如图，

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；

（3）作射线OP交CD于点Q．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是　   　．

①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．

12．为作∠AOB的平分线OM，小齐利用尺规作图，作法如下：

①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点P、Q；

②分别以点P、Q为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点M．

则射线OM为∠AOB的平分线．OM为∠AOB的平分线的原理是　   　．

13．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为　   　．

14．阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：

尺规作图：作∠A′O′B′＝∠AOB．

已知：∠AOB，

求作：∠A′O′B′＝∠AOB．

小米的作法如下：如图：

（1）作射线O′A′；

（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；

（3）以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交O′A′于点C′；

（4）以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于D′；

（5）过点D′作射线O′B′．

所以∠A′O′B′就是所求作的角．

老师说：“小米的做法正确．”

请回答：小米的作图依据是　   　．

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝　   　．

16．在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．

（1）经过点P画CB的平行线PQ．

（2）过点A，画CB的垂线AM．

（3）过点C，画CB的垂线CN．

（4）请直接写出AM、CN的位置关系．

17．如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）

18．尺规作图：

已知：∠AOB．

求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．

（不写作法，保留作图痕迹，画在答题纸的方框中）

写出这样作图的两点依据：①　   　；②　   　．

19．如图，已知∠AOB，点P是OA边上的一点．

（1）在OA的右侧作∠APC＝∠AOB（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线PC与直线OB的位置关系，并说明理由．

20．如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）

21．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

22．已知平面内有∠α，如图（1）．

（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；

（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．

参考答案

1．解：作∠ABC的平分线的步骤如下：

①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；

②分别以D，E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；

③画射线BP．

射线BP即为所求．

∴m＞0，n＞DE，

故选：C．

2．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，

根据作图过程可知：

AD是∠CAB的平分线，

∴∠DAC＝∠DAB＝CAB＝30°，

∵∠C＝90°，

∴∠ADC＝60°．

故选：C．

3．解：∵点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，

∴点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，

∴图形符合题意的是选项B．

故选：B．

4．解：由作法得OP平分∠AOB，

∴∠AOP＝∠BOP，所以A选项的说法正确；

由作法得OC＝OD，PC＝PD，

∴OP垂直平分CD，所以D选项的说法正确；

∴CD＝2CQ，

∵CP＝CD＝PD，

∴CP＝2CQ，所以C选项的说法正确；

∵∠AOB不能确定为60°，

∴不能确定∠CDO等于∠PDB，所以B选项的说法错误．

故选：B．

5．解：作法如下：

①以点O为圆心，适当长为半径画弧，

交OA于点M，交OB于点N；

②分别以点M、N为圆心，

大于MN的长为半径画弧，

两弧在∠AOB内部交于点C；

③画射线OC，OC即为所求．

故选：D．

6．解：根据作一个角等于已知角的过程可知：

④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．

①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．

③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．

②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．

故选：C．

7．解：A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；

所以A选项不符合题意；

B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，

所以B选项符号题意；

C．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；

所以C选项不符合题意；

D．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．

所以D选项不符合题意．

故选：B．

8．解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，

故选：D．

9．解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，

∵∠MON＝60°，

∴∠AOC＝30°，

∵AC＝AO，

∴∠AOC＝∠ACO＝30°．

故选：B．

10．解：由作图可知，AD平分∠BAC，

∵∠C＝90°，∠B＝26°，

∴∠BAC＝64°，

∴∠DAC＝∠BAC＝32°，

∴∠ADC＝90°﹣32°＝58°，

故选：C．

11．解：由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，OP平分∠AOB，

∴OP垂直平分线段CD，

故③④正确，

∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，

∴CQ＝DQ，

∴CP＝2QC，故②正确，

故答案为②③④．

12．解：如图，连接PM，PQ．

∵OP＝OQ，PM＝QM，OM＝OM，

∴△POM≌△QOM（SSS），

∴∠POM＝∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．

故答案为SSS．

13．解：由题意得，

直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴BD＝CD，

∴∠BCD＝∠B＝40°，

∵∠ACD＝30°，

如图1，∴∠ACB＝40°+30°＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；

如图2，∴∠ACB＝40°﹣30°＝10°，

∴∠BAC＝180°﹣10°﹣40°＝130°，

综上所述，∠BAC的度数为70°或130°，

故答案为：70°或130°．

14．解：根据作图过程可知：

在△OCD和△OC′D′中

所以△OCD≌△OC′D′（SSS）

所以∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形对应角相等）．

故答案为：全等三角形对应角相等．

15．解：由题意可得：AD平分∠CAB，

∵∠C＝90°，∠B＝20°，

∴∠CAB＝70°，

∴∠CAD＝∠BAD＝35°，

∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．

故答案为：125°．

16．解：（1）如图，PQ为所作；

（2）如图，AM为所作；

（3）如图，CN为所作；

（4）AM∥CN．

17．解：如图，点P即为所求．

18．解：如图∠A′O′B′即为所求；

作图的依据：①三边对应相等两三角形全等．②全等三角形的对应角相等．

故答案为：三边对应相等两三角形全等．全等三角形的对应角相等．

19．解：（1）如图，∠APC就是所要求作的角；

（2）直线PC与直线OB的位置关系为：PC∥OB，

理由如下：

由（1）作图可得：∠APC＝∠AOB，

∴PC∥OB．

20．解：如图，射线BD即为所求．

21．解：如图，点P即为所求．

22．解：（1）如图2所示，∠AOD即为所求；

（2）∵OE平分∠BOC，

∴∠COE＝∠BOE，

又∵∠AOE＝2∠BOE，

∴∠AOB＝∠BOE，

∴∠AOB＝∠AOC＝60°，

又∵∠AOD＝40°，

∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°