初中教案数学(青岛)(9上)

这是一份数学九年级上册本册综合教学设计及反思，共99页。教案主要包含了教师指导等内容，欢迎下载使用。

第1章 图形的相似
课题
1.1 相似多边形
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解相似形及相似多边形的定义,了解相似多边形有关的概念,会求相似多边形的相似比;
(2)会利用定义判断两个多边形是否是相似多边形;
(3)掌握相似多边形的性质,能利用性质求线段的长度或角的度数.
2.过程与方法
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
3.情感、态度与价值观
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
教学
重难点
重点:相似多边形的性质.
难点:利用相似多边形性质求线段或角.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
请观察下列几幅图片,你能发现什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗?




探索
新知
合作
探究
自学指导
1. 自学教材P4~5,回答下列问题:
____________________叫做相似形. 
2.两个边数相同的多边形,如果一个多边形的 与另一个多边形的各个角对应相等, 对应 ,那么这两个多边形叫做相似多边形. 
如果四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,用符号表示为_____________. 
3.思考:全等形与相似形有什么关系?举例说明.
合作探究
【例1】 观察下列图形,其中相似形有( )




(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对



续表
探索新知
合作探究
【例2】 如图所示,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求未知边x的长度和∠α的大小.



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)判断相似多边形时,忽略“各角对应相等”或“各边对应成比例”,误认为只要各边对应成比例的
多边形就是相似多边形.
(2)用相似符号表示两个多边形相似时,没有把对应顶点的字母按照次序写在对应位置上.
2.归纳小结:
(1)判定:在判定两个多边形相似时,两个多边形的边数要相同.
(2)性质:在利用相似多边形的性质时,一定要找准边的对应关系.
3.方法规律:
所有的正n边形在边数相同的情况下都相似.如:所有的正三角形都相似;所有的正方形都相似等.

当堂训练
1.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,AB=12,CD=15,A1B1=9,则边C1D1的长是( )
(A)10 (B)12 (C) (D)
2.△ABC与△A'B'C'的各角度数与各边长度如图,这两个三角形相似吗?若相似,相似比是多少?说明理由.

板书设计
相似多边形
1.相似形的概念
2.相似多边形的概念:
边数相同;各角对应相等;各边对应成比例
3.相似多边形的性质
教学反思




课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.
(2)使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.
2.过程与方法
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
3.情感、态度与价值观
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
难点:平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
如图,在△ABC中,D为边AB上任一点,作DE∥BC,交边AC于E,用刻度尺和量角器量一量,判断△ADE与△ABC是否相似.


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P8~11实验与探究部分,回答下列问题:
(1)平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的 成比例. 
(2)平行线分线段成比例定理推论:平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边 . 
(3)思考:因为m3∥m4∥m5,所以 . 
你最多能写出多少个比例式?
合作探究
【例1】
如图,l3∥l4∥l5,与l1,l2两条直线相交,点A是l1,l2,l3的交点,你能分别得到哪些对应线段的比相等?
=,=,=.
【例2】
如图,△ABC中,DE∥BC.
(1)有哪些边成比例?(2)有哪些角相等?
(3)你能得到什么结论?事实九还可以怎么说.



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导1.易错点:
(1)判定四条线段对应成比例时对应不正确.
(2)从较复杂的几何图形中分离出“基本事实9的推论”的基本图形时出错,无法从“A型”或“型”,得到相应的比例式.
2.归纳小结:
(1)题中线段比较多,一定要分清一条线段是哪条直线被哪几条平行线所截而成.
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例.
3.方法规律:(平行线分线段成比例的技巧)
三线截两线,线段共六段;横可比纵可比,就是不能交叉比.

当堂训练

1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则等于( )
(A) (B) (C) (D)1
2.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=4,AE=3.则AC的长为( )
(A)5 (B)3+2 (C)4+ (D)7

第1题图 第2题图
3.如图,直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,直线l4,l5交于点O,且l1∥l2∥l3,已知EF∶DF=5∶8,AC=24.
(1)求的值;
(2)求AB的长.

板书设计
平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
2.平行线分线段成比例定理的推论
教学反思



课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法.
(2)能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
2.过程与方法
经历两个三角形相似的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
教学
重难点
重点:三角形相似的判定定理1.
难点:三角形相似的判定定理1的运用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A'B'C',使得∠A和∠A'都等于给定的∠α,∠B和∠B'都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形,∠C与∠C'相等吗?对应边的比,,相等吗?这样的两个三角形相似吗?和同学们交流.

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P12~13实验与探究,回答下列问题:
两角相等及其中某一边分别相等,由于相似三角形对应边的长可以不相等,如果把其中一边相等的条件去掉,仅保留两角分别相等的条件,能判定这两个三角形相似吗?
2.相似三角形的判定定理1:
分别相等的两个三角形相似. 
3.如图,结合图形用数学符号语言表示:
因为∠A=∠A',∠B=∠B',
所以△ABC∽ . 
合作探究
【例1】 如图,若∠BEF=∠CDF,则△FEB∽ ,△ABD∽ . 

【例2】 已知:如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F,若AB=4,AD=5,
AE=6,求DF的长.



要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)用符号语言表示两个三角形相似时,没有把对应顶点的字母按照次序写在对应位置上.
(2)不能根据“同角或等角的余角相等”找出相等的角.
2.归纳小结:
常见的相似模型(平行线型和相交线型)


3.方法规律:
进行相似三角形中有关边的计算时,要充分利用对应边成比例构造比例式求解.

当堂训练

1.下列各组图形一定相似的是( )
(A)有一个角相等的等腰三角形 (B)有一个角相等的直角三角形
(C)有一个角是100°的等腰三角形 (D)有一个角是对顶角的两个三角形
2.如图,若∠ACD=∠B,则△ ∽△ ,对应边的比例式为 ,∠ADC= . 

3.如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=3,CE=2,求△ABC的边长.


板书设计
相似三角形的判定定理1
1.三角形相似的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似
2.应用判定定理解决简单的问题
教学反思




课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第3课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义,能分清条件和结论,并能用文字、图形和符号语言表示.
(2)会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似,并解决简单问题.
2.过程与方法
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力,感受两个三角形全等的判定方法SAS与三角形相似定理的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.
3.情感、态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生合理的推理能力.
教学
重难点
重点:两个三角形相似的判定方法2及其应用.
难点:探究两个三角形相似的判定方法2的过程.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1.两个三角形全等有哪些判定方法?
(SSS,SAS,ASA,AAS定理)
2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法?
(三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似)

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P14~15,观察与思考,回答下列问题:
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C',使∠A=∠A',和都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B'C'的长,它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B',∠C与∠C'是否相等?改变∠A或k值的大小,再试一试,是否具有同样的结论?
2.相似三角形的判定定理2:
两边 ,且 相等的两个三角形相似. 
3.如图,结合图形用数学符号语言表示:
因为∠A=∠A', , 
所以△ABC∽ . 
合作探究
【例1】 如图所示,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点.在下列条件中:①AED=∠B;②=;③=.能够判断△ADE与△ACB相似的是 . 

【例2】 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,AD=3,BD=4,DE=3,AC=5,若
∠B=∠AED,求BC的长.

续表
探索新知
合作探究

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)利用判定定理2证明三角形相似时把相等的角错认为非成比例的两条边的夹角.
(2)寻找对应边成比例时没有考虑到边的长度.
2.归纳小结:
(1)添加条件证明相似时,先明确已知的条件,再根据判定定理寻找需要的条件.
(2)用相似三角形的判定定理2证明两个三角形相似的两个步骤:一是证明两组边对应成比例,二是证明两组边的夹角相等.
3.方法规律:
利用相似三角形的判定进行边角计算时,应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形,然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解.

当堂训练
1.在△ABC中,BC=5 cm,CA=45 cm,AB=46 cm,另一个与它相似的三角形的最短边是15,则最长边是( )
(A)138 cm (B) cm (C)135 cm (D)不确定
2.一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形 相似.(选填“一定”或“不一定”) 
3.如图,在△ABC和△ACD中,∠A是公共角,找出使△ABC与△ADC相似的有关边的比例式.

4.如图,在△ABC中,已知AB=AC,D,E,B,C在同一条直线上,且AB2=BD·CE,求证:△ABD∽△ECA.

板书设计
相似三角形的判定定理2
1.三角形相似的判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2.应用判定定理解决简单的问题
教学反思






课题
1.2怎样判定三角形相似
课时
第4课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法.
(2)会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.
2.过程与方法
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力,感受两个三角形全等的判定方法SSS与三角形相似定理的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.
3.情感、态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生合理的推理能力.
教学
重难点
重点:两个三角形相似的判定方法3及其应用.
难点:探究两个三角形相似的判定方法3的过程.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
同桌两人分别画一个△ABC,△A1B1C1使AB=3 cm,AC=4cm,BC=5cm;A1B1=1.5cm,
A1C1=2 cm,B1C1=2.5 cm,然后比较,看是否相似?

探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P16~17,观察与思考,回答下列问题:
1.相似三角形的判定定理3:
成比例的两个三角形相似. 
2.如图,结合图形用数学符号语言表示:
因为= = , 
所以△ABC∽ . 
合作探究
【例1】 如图所示,已知==.找出图中相等的角,并说明你的理由.


【例2】如图,方格网的小方格是边长为1的正方形,△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,为什么?


要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)当一个三角形的边长变化时,确定两个三角形的对应边时考虑不够全面,有所遗漏.
(2)利用三边成比例判断两个三角形相似时,没有把边长进行排序就去求比值.
2.归纳小结:
利用三边对应成比例判定三角形相似定理解决问题时,一定要注意边与边的对应关系,若题目中没有明确指出对应边,一定要分类讨论.
3.方法规律:
相似三角形判定方法的选择
(1)三边成比例:当给出的边比较多或者有边的比例关系时,选用三边成比例判定.
(2)两角相等:当出现平行线、对顶角、公共角或者给出几个角的大小时,选用两组角对应相等判定.
(3)两边成比例且夹角相等:当已知条件中只有一组角相等时,通过证明夹角的两边成比例判定.

当堂训练
1.已知△ABC的三边分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的最短边长为4 cm,当△DEF其他两边的长是下列哪一组时,这两个三角形相似( )
(A)2 cm,3 cm (B)4 cm,5 cm (C)5 cm,6 cm (D)6 cm,7 cm
2.在△ABC和△A1B1C1中,下列四个命题:
①若AB=A1B1,AC=A1C1,∠A=∠A1,则△ABC≌△A1B1C1;
②若AB=A1B1,AC=A1C1,∠B=∠B1,则△ABC≌△A1B1C1;
③若∠A=∠A1,∠C=∠C1,则△ABC∽△A1B1C1;
④若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1,则△ABC∽△A1B1C1.
其中真命题的个数为( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
3.已知一个等腰三角形的三边长分别为6,6,4,另一个三角形的一边为2,且与它相似,则另外两边长为 . 
4.已知,如图,==,那么△ABD与△BCE相似吗?为什么?

板书设计
相似三角形的判定定理3
1.三角形相似的判定定理3
三边对应成比例的两个三角形相似
2.应用判定定理解决简单的问题
教学反思



课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第5课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)能够运用相似三角形的判定定理来解决有关问题.
(2)通过相似三角形的判定定理归纳过程,提高学生的数学应用能力.
2.过程与方法
通过测量活动,使学生初步学会数学建模的方法,提高综合运用知识的能力.
3.情感、态度与价值观
在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:运用相似三角形的判定定理来解决有关问题.
难点:发现和构造相似三角形.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被誉为“世界古代七大奇观之一”.在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗?

探索新知
合作探究
自学指导
1.结合情境导入,自学教材P18~19,我们可以得出测量物体高度的方法主要有以下两种:
(1)利用影子示意图 (2)利用平面镜

通过影子示意图或平面镜构造相似三角形,利用相似三角形的对应边成比例来测量物体的高度.
合作探究
【例1】 同一时刻物体的高度与它的影长成正比.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?

【例2】 小明为了测量一大楼的高度,在地面上放一平面镜,镜子与楼的距离AE=27 m,他与镜子的距离是2.1 m时,刚好能从镜子中看到楼顶B,已知他的眼睛到地面的高度CD为1.4 m,结果他很快计算出大楼的高度AB,你知道是多少吗?试加以说明.

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)无法根据已知条件构造相似三角形.
(2)利用平面镜反射测量高度时,写错对应边.
2.归纳小结:
测量物体高度的基本步骤
(1)画出示意图,利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形.
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长,以及另外一组对应边的长度.
(3)利用相似三角形的性质列出比例式,求出未知量.
3.方法规律:
解答测量问题时,首先要把实际问题转化为数学问题,然后利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解.

当堂训练
1.小明身高1.5米,在操场的影长为2米,同时测得教学大楼在操场的影长为60米,则教学大楼的高度应为( )
(A)45米 (B)40米 (C)90米 (D)80米
2.为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底B 10米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2米,观察者CD=1.6米,则树AB的高度约为 米.

3.为测量湖两岸A,B间的距离,小强选择一点C,测得BC=290 m,延长BC到D,使CD=10 m,过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E,测得DE=30 m,求湖两岸的距离AB.


板书设计
相似三角形的应用
1.利用影子示意图测量物体的高度
2.利用平面镜反射测量物体的高度
教学反思





课题
1.3 相似三角形的性质
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系和相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,来解决简单的问题.
2.过程与方法
在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想.
3.情感、态度与价值观
经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.
教学
重难点
重点:相似三角形的性质的探究及应用.
难点:利用相似三角形的性质解决简单的问题.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结论.例如,在图中,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,相似比为k,其中AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P22~24,观察与思考,回答下列问题:
(1)相似三角形的性质:
相似三角形对应线段的比等于 ,面积比等于 ; 
(2)用符号语言表示相似三角形的性质:
因为△ABC∽△A'B'C',=k,
所以= . 
合作探究
【例1】 已知:如图,DE∥BC,AB=30 m,BD=18 m,△ABC的周长为80 m,面积为100 m2,求△ADE的周长和面积?





续表
探索新知
合作探究
【例2】 如图,在△ABC中,DEFG为矩形,DG=2DE,且顶点在△ABC各边上,BC=42cm,高28 cm,求矩形边长.



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)把相似三角形的周长比误认为等于相似比的平方.
(2)相似三角形的面积比误认为等于相似比.
2.归纳小结:
求面积比的两种类型
(1)利用相似:若两三角形相似,先证两三角形相似,再求出两三角形的相似比,则面积比为相似比的平方.
(2)利用同高或同底:若两三角形有共同的高(或高相等),则两三角形的面积比等于它们的底的比;若两三角形有共同的底(或底相等),则两三角形的面积比等于它们的高的比.
3.方法规律:
相似三角形的性质主要用来求解线段的长度和角的度数;计算三角形的周长及面积;证明线段的比例关系、角相等;计算线段的比及线段的平方比.

当堂训练
1.如果两个等腰直角三角形的斜边之比为1∶2,则它们的面积之比为( )
(A)1∶1 (B)1∶ (C)1∶2 (D)1∶4
2.在△ABC中,DE∥BC,AD∶BD=1∶2,则下列结论中正确的是( )
(A)= (B)= (C)= (D)=
3.如果两个相似三角形的面积比为8,周长比为k,那么= . 
4.在△ABC中,AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm,若△A'B'C'∽△ABC,且△A'B'C'的周长为81 cm,求△A'B'C'各边的长.



板书设计
相似三角形的性质
1.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比
相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比
2.相似三角形的面积的比等于相似比的平方
教学反思



课题
1.4 图形的位似
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.
(2)掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
2.过程与方法
经历位似图形的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生动手操作的能力,体验学习的乐趣.
教学
重难点
重点:位似图形的有关概念、性质与作图.
难点:利用位似将一个图形放大或缩小.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
下图各组是经过放大或缩小得到的多边形,它们相似吗?如果相似,观察这种相似什么特征?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P26~28实验与探究,回答下列问题:
(1)对应边互相 (或 )且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形,这个点叫做 . 
(2)观察下列位似图形的位似中心,你发现了什么?


合作探究
【例1】 如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A'B'C',已知OB=3OB',则△A'B'C'与△ABC的面积比为( )
(A)1∶3 (B)1∶4
(C)1∶5 (D)1∶9
【例2】 以O为位似中心把△ABC缩小为原来的一半.

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)判断位似图形时忽略对应点的连线交于一点.
(2)确定位似图形的位似中心时没有找准对应顶点.
(3)在位似变换中,不理解任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比.
2.归纳小结:
(1)位似图形是针对两个图形而言的.
(2)位似图形一定是相似图形,而相似图形未必是位似图形,两者的区别在于:位似图形有位似中心,而相似图形不一定有位似中心.
3.方法规律:
画位似图形的一般步骤为:(1)确定位似中心;(2)分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;(3)根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;(4)顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.

当堂训练
1.下列四图中的两个三角形是位似三角形的是( )

(A)图(3)、图(4) (B)图(2)、图(3)、图(4)
(C)图(2)、图(3) (D)图(1)、图(2)
2.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为 . 

3.如图,以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍.




板书设计
位似
1.位似图形的概念
2.位似图形的性质及画法
教学反思



课题
1.4 图形的位似
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
掌握平面直角坐标系下的位似图形的点的坐标的变化特点,能够利用这个特点画出平面直角坐标系下的位似图形.
2.过程与方法
经历探索坐标系中位似图形的顶点坐标之间的关系的过程,进一步发展学生探究交流能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生科学严谨的治学态度.
教学
重难点
重点:用图形的坐标变化来表示图形的位似变换.
难点:平面直角坐标系下位似图形的点的坐标变化特点的归纳.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
观察如图所示的坐标系.试着发现坐标系中几个图形间的联系,然后自己作出一个类似的图形.


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P28~30实验与探究,回答下列问题:
(1)如果一个多边形有一个顶点在坐标原点,有一条边在x轴上,那么将这个多边形的顶点分别扩大(或缩小)相同的倍数,所得到的图形与原图形是 , 是它们的位似中心. 
(2)思考:以坐标原点为位似中心的两个位似图形,它们对应点的坐标有什么关系?
合作探究
【例1】 如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为( )
(A)(3,3) (B)(4,3) (C)(3,1) (D)(4,1)
【例2】 如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得△A'B'C'.在图中第一象限内画出符合要求的△A'B'C'.(不要求写画法)

续表
探索新知
合作探究
要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)混淆图形变换中的坐标变化规律.
(2)以原点为位似中心作图时忽略两种情况中的一种.
2.归纳小结:
(1)平移变换.左右平移:纵坐标不变,横坐标减去或加上平移的长度;
上下平移:横坐标不变,纵坐标加上或减去平移的长度.
(2)以原点为位似中心的位似变换.其中一个图形上的各点横纵坐标是另一个图形上对应点的横纵坐标的k(或-k)倍.
3.方法规律:
关于原点位似作图的两个步骤:一是描点:根据原图形关键点的坐标与相似比确定所作图形对应的坐标描点.二是连线:按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

当堂训练
1.如图,△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,AB=4,则A1B1的长为( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8





2.在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为2∶1,将△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是 . 
3.如图,原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心,它们的相似比是1∶2,试在图中画出
△A'B'C'.

板书设计
位似的坐标变化
位似变换的坐标特征:
关于原点位似的两个图形,若相似比是k,则原图形上的点(x,y)经过位似变化,得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky)
教学反思




第1章 章末复习
主题
图形的相似
课型
新授课
上课时间

教学内容
1.1 相似多边形;1.2 怎样判定三角形相似:第1课时 平行线分线段成比例;第2课时 相似三角形的判定定理1;第3课时 相似三角形的判定定理2;第4课时 相似三角形的判定定理3;
第5课时 相似三角形的应用;1.3 相似三角形的性质;1.4 图形的位似:第1课时 位似;
第2课时 位似的坐标变化.
教材分析
本章是在学习了全等三角形、图形的轴对称、平行四边形等基础上安排的.相似形的内容是进一步学习锐角三角比、解直角三角形、投影等内容的基础,相似的性质在现实生活和生产实际中用处广泛.
教学
重难点
重点:
1.相似多边形的定义.
2.相似三角形的判定和性质.
难点:
1.平行线分线段成比例定理及推论的探索.
2.相似三角形判定定理的证明及应用.
知识点
回顾
知识点1:平行线分线段成比例定理及推论
1.如图,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( A )
(A)5∶8 (B)3∶8 (C)3∶5 (D)2∶5
2.如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知=,则= . 

第1题图 第2题图 第3题图
知识点2:相似三角形的性质和判定
3.如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点P,设△PCD的面积为m,△PEB的面积为,则下列结论中正确的是( B )
(A)m=5 (B)m=4 (C)m=3 (D)m=10
4.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P从B向D运动,问当P离B多远时,△PAB与△PCD是相似三角形?试求出所有符合条件的P点的位置.
解:设BP=x,因为BD=20,则PD=BD-BP=20-x,
分两种情况考虑:
假设△PAB∽△PCD,有=,
又AB=6,CD=16,所以=,即6(20-x)=16x,解得x=.
假设△PAB∽△CPD,有=,所以=,即x(20-x)=96,
续表
知识点
回顾
整理得(x-12)(x-8)=0,
解得x1=12,x2=8,
综上,当P离B的距离为或8或12时,△PAB与△PCD是相似三角形.
知识点3:位似及其性质
5.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为( A )
(A)(3,2) (B)(3,1) (C)(2,2) (D)(4,2)
6.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O位似,BO=3,B'O=6.
(1)若AC=5,求A'C'的长;
(2)若△ABC的面积为7,求△A'B'C'的面积.
解:(1)因为△ABC与△A'B'C'是位似图形,
相似比===,
所以△ABC∽△A'B'C'且相似比为,所以=,即=,所以A'C'=10.
(2)因为=2=,
所以S△A'B'C'=4×7=28.
知识点4:相似的应用
7.小明身高1.5米,在操场的影长为2米,同时测得旗杆的高度为4.5米,则旗杆的影长应为( C )
(A)4米 (B)5米 (C)6米 (D)8米
8.如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,他发现教学楼后面有一水塔DC,可过了一会儿抬头一看:“怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们之间的距离为30 m,小张身高为1.6 m.小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有多少米?

解:如图,设小张与教学楼的距离至少应有x m,才能看到水塔.
连接FD,由题意知,点A在FD上,过E作EG∥FD交AB于H,交DC于G,则四边形FEHA,AHGD都是平行四边形.
因为AB∥CD,所以△EBH∽△ECG,
所以BH∶CG=EB∶EC,
即(20-1.6)∶(30-1.6)=x∶(x+30),解得x=55.2.
经检验x=55.2是所列方程的根.答:小张与教学楼的距离至少应有55.2 m.
第2章 解直角三角形
课题
2.1 锐角三角比
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值固定(即正弦值不变)这一事实;
(2)了解锐角三角比的概念,能够正确应用sin A,cos A,tan A表示直角三角形中两边的比.
2.过程与方法
经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实,发展学生的形象思维,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.
3.情感、态度与价值观
通过学习培养学生的合作意识,提高学生学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:锐角三角比的概念.
难点:引导学生比较、分析并得出:对任意锐角,它的对边与斜边的比值是固定值的事实.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
前面我们学过在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么这个角的对边与斜边的比值都等于,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比是否是固定的?

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P38~40,回答下列问题:
(1)一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比 (填“变化”或“不变”); 
(2)锐角三角比的概念:
如图,sin A= , 
cos A= , 
tan A= . 
3.思考:互余两角的正弦与余弦有怎样的关系?
合作探究
【例1】 如图,sin A等于( )
(A)2 (B) (C) (D)

【例2】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,求∠A的正弦、余弦、正切的值.


要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)把sin A误认为sin 与A的乘积;
(2)混淆三角比的三种表示方式:sin A、sin 56°、sin∠DEF,不清楚什么时候省“∠”.
2.归纳小结:
(1)直接求锐角三角比:结合勾股定理,求出要求的角的对边、邻边或斜边,直接利用定义计算结果.
(2)间接求锐角三角比:在直角三角形中,寻找与所求角相等的角,求寻找到的角的三角比.
3.方法规律:
求锐角三角比一定要在直角三角形中求值,当图形中没有直角三角形时,要通过作高,构造直角三角形解答.

当堂训练
1.如果∠α是锐角,且tan α=2,那么sin α的值是( )
(A) (B) (C) (D)

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos A等于( )
(A) (B) (C) (D)
3.在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sin A=,则边AC的长是( )
(A) (B)3 (C) (D)
4.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求sin C的值.



板书设计
锐角三角比
1.锐角三角比的概念
2.已知直角三角形的两边求锐角三角比
教学反思





课题
2.2 30°,45°,60°角的三角比
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)经历探索30°,45°,60°角的三角比的过程,知道求出这些特殊角的三角比的值的方法,熟记这些特殊角的三角比的值;
(2)会根据30°,45°,60°角的一个三角比的值,直接求得相应的锐角,会计算含有特殊角三角比的式子的值.
2.过程与方法
通过探索30°,45°,60°角的三角比逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.情感、态度与价值观
积极参与数学活动,体验数学活动中获得成功的乐趣,从而充满探索与创造的信心,形成实事求是的态度及独立思考的习惯.
教学
重难点
重点:熟记特殊角的三角函数值.
难点:熟练应用特殊角的三角函数值.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
两个三角尺中有几个不同的锐角?各是多少度?设每个三角尺较短的边长为1,分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

探索新知
合作探究
自学指导
(1)自学教材P41~43实验与探究部分,填写下面的表格:

sin α
cos α
tan α
30°



45°



60°




(2)思考:从上面填写的表格中,你发现了哪些规律?
合作探究
【例1】 求下列各式的值:
(1)2sin 30°+3tan 30°; (2)cos 45°+tan 60°·cos 30°.




【例2】 在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则∠B等于 ( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
【例3】 已知△ABC中的∠A与∠B满足(1-tan A)2+sin B-=0,试判断△ABC的形状.


要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)混淆特殊角的正弦、余弦和正切的值;
(2)由锐角三角比的值确定锐角度数时,混淆30°和60°的角,计算过程中出现符号错误.
2.归纳小结:
(1)正弦、正切的值随着角的增大而增大;余弦的值随着角的增大而减小;
(2)同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和等于1;
(3)由三角比求锐角的一般步骤:
先求边长:计算所求角的对边、邻边或斜边;再求三角比:计算所求角的三角比的值;最后求锐角:根据三角比的值确定锐角的度数.
3.方法规律:
(1)口诀记忆法:1,2,3;3,2,1;3,9,27;弦比2,切比3,分子根号别忘添;
(2)特点记忆法:30°,45°,60°的正弦值记为,,,余弦值相反,正切值记为,,.

当堂训练
1.下列等式成立的是 ( )
(A)sin 45°+cos 45°=1 (B)2tan 30°=tan 60°
(C)2sin 60°=tan 45° (D)sin230°=cos 60°
2.若0°<∠A<90°,且4cos2A-2=0,则∠A的度数为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
3.∠A是锐角,若cos A=,则∠A的余角度数为 . 
4.求下列各式的值:
(1)sin 45°+;
(2)sin 60°+tan 60°-2cos230°.




板书设计
30°,45°,60°角的三角比
1.特殊角的三角函数值
2.应用特殊角的三角函数值解决问题
教学反思





课题
2.3 用计算器求锐角三角比
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解计算器求锐角三角比的功能;
(2)会使用计算器由已知锐角求它的三角比的值;由已知三角比的值求它所对应的锐角.
2.过程与方法
通过计算器的使用强化使用现代化辅助计算手段的能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生运用现代化仪器的思想,树立热爱科学的世界观.
教学
重难点
重点:用计算器求任意角的三角比,能根据锐角三角比的值求所对应的锐角.
难点:会用计算器进行锐角三角比的四则运算.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
通过上面几节课的学习我们知道,当锐角∠A是30°、45°或60°等特殊角时,可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值;如果锐角∠A不是这些特殊角,怎样得到它的三角函数值呢?

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P45~48,回答下列问题:
(1)打开科学计算器,启动开机键后,如果显示屏的上方没有显示D,应按 键; 
(2)打开科学计算器,启动开机键后,如果显示屏的上方显示D,表明计算器已经进入运算状态; 
(3)求任意锐角三角比的值时,首先应按 ,再输入 ,按 键后,即可求出相应的三角比的值(或近似值); 
2.思考:当角度在0°~90°间变化时,正弦值随着角度的增大而 ;余弦值随着角度的增大而 ;正切值随着角度的增大而 . 
合作探究
【例1】 使用计算器求下列三角比.(精确到0.000 1)
sin 24°; cos 5°41'20″; tan 72°24'.



【例2】 已知锐角α的三角函数值,使用计算器求锐角α.(精确到1')
(1) sin α=0.247 6; (2)cos α=0.417 4; (3)tan α=0.189 0.


【例3】 利用计算器求下列各式的值.
(1)sin 20°tan 35°; (2)sin 30°26'+cos 45°30'8″.



要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
教师指导
续表
探索新知
合作探究
1.易错点:
(1)混淆科学计算器面板上各键的功能;
(2)输入角的步骤错误:先“度”后“分”最后“秒”,缺少“度”或“分”的应用“0”补位.
2.归纳小结:
常见的相似模型(平行线型和相交线型)
(1)求三角比时,若锐角是以度为单位的,则直接输入锐角的度数,若以度、分、秒为单位的还需按DMS键;
(2)利用计算器求锐角三角比的值或进行有关计算时,既要注意按键顺序,又要注意结果的精确度.
3.方法规律:
用计算器求锐角的度数:以2ndF键开始,中间加三角比名称键和三角比的值,最后以“=”键结束;角的单位转化为度、分、秒时,还要按“DMS”键.

当堂训练
1.若cos A=0.861 6,则利用科学计算器求∠A的度数(精确到°)的按键顺序正确的是( )
(A)cos 0 . 8 6 1 6 =
(B)cos 2nd F 0 . 8 6 1 6 =
(C)2nd F cos 0 . 8 6 1 6 =
(D)cos 0 . 8 6 1 6 2nd F =
2.用计算器计算:3sin 38°-≈ .(结果保留三个有效数字) 
3.不求下列三角函数值,比较大小:
sin 20° sin 20°15'; cos 51° cos 50°10'; 
tan 27°15' tan 27°12';  sin 21° cos 68°. 
4.利用计算器求下列各式的值
(1)tan 15°cos 28°-tan 43°;
(2)cos 32°+tan 50°+sin 40°;
(3)cos 68°12'+sin 42°-tan 35°38'.
板书设计
用计算器求锐角三角比
1.已知角度,用计算器求函数值
2.已知三角函数值,用计算器求锐角的度数
教学反思





课题
2.4 解直角三角形
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形.
2.过程与方法
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学
重难点
重点:直角三角形的解法.
难点:三角比在解直角三角形中的灵活运用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为点C.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数.


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P49~52,回答下列问题:
(1)在Rt△ABC中,共有六个量,三条边a,b,c,三个角∠A,∠B,∠C,其中∠C是已知的,其他的五个量都是未知的.
已知∠A,∠B,能求出其他的三个量a,b,c吗?
已知两条边的长,能求出其他的三个量吗?
已知一角和一边,能求出其他的三个量吗?
(2)直角△ABC中各个量之间的关系:
角之间的关系:∠A+∠B= ; 
边之间的关系:a2+b2= ; 
角和边之间的关系:sin A= ,cos A= , tan A= . 
合作探究
【例1】 在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)已知c=15,∠B=60°,求a;(2)已知∠A=30°,a=24,求b,c.


【例2】 如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=3,D是BC的中点,tan C=.
求:(1)BC的长; (2)sin∠ADB.


要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)解直角三角形时,混淆两个元素之间的关系,尤其是三角比与边之间的关系;
(2)计算结果不符合题目要求的精确度;
(3)解决非直角三角形时,不能正确作出辅助线构造直角三角形.
2.归纳小结:
(1)有斜边求对边乘以正弦,有斜边求邻边乘以余弦;
(2)无斜边求对边乘以正切,无斜边求邻边乘以余切;
(3)在进行解直角三角形的计算中可以用乘法计算的,就不要用除法进行计算,能利用原始数据进行计算的,就不要用计算中求出的数据.
3.方法规律:
在一般三角形中,需通过作高的方法构造直角三角形,再运用直角三角形的边角关系求解.

当堂训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,则∠A等于( )
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
2.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )
(A)2 (B)2 (C)+1 (D)+1

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,AB=m,那么边AC的长为 . 

4.在△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=,a=,解这个三角形.





板书设计
解直角三角形
1.解直角三角形的基本类型及其解法
2.解直角三角形的综合
教学反思






课题
2.5 解直角三角形的应用
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解仰角、俯角的含义,准确运用这些概念来解决一些实际问题;
(2)培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.
2.过程与方法
增强学生创新意识,培养学生学习能力;体验数学在实际生活中的应用.
3.情感、态度与价值观
在探究学习过程中,注重培养学生的合作交流意识,体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:理解仰角和俯角的概念.
难点:能解决与直角三角形有关的实际问题.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
如图,为了测量旗杆的高度BC,小明站在离旗杆10米的A处,用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°,然后他很快就算出旗杆BC的高度了.则旗杆的高度是多少?(精确到0.1米)

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P53~55,回答下列问题:
(1)仰角:测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的角叫做仰角; 
(2)俯角:视线在水平线 的角叫做俯角(如图所示). 

2.如图所示的两个图形,已知BC=a,∠B=α,∠ACD=β,求AD的长.设AD为x,利用含a,α,β的式子如何表示图1中AD的长度?利用含a,α,β的式子如何表示图2中AD的长度?

合作探究
【例题】 如图,两建筑物的水平距离为32.6 m,从点A测得点D的俯角α为35°12',测得点C的俯角β为43°24',求这两个建筑物的高.(精确到0.1 m)

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)混淆仰角和俯角的定义,它们是视线与水平线的夹角,可巧记为“上仰下俯”;
(2)解题过程中不能把仰角和俯角转化到直角三角形中去.
2.归纳小结:
解决仰角、俯角问题的步骤
(1)根据仰角、俯角的概念,依据题意画出图形;
(2)结合图形,把实际问题转化为解直角三角形的问题;
(3)根据问题中已知元素解相关直角三角形;
(4)结合实际问题,给出答案.
3.方法规律:
解直角三角形的实际问题要注意两个转化:一是把实际问题转化为数学问题;二是将数学问题转化为解直角三角形的问题.

当堂训练
1.聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一,也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标,如图,点O是摩天轮的圆心,长为110米的AB是其垂直地面的直径,小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°,测得圆心O的仰角为21°,则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为( )(tan 33°≈0.65,tan 21°≈0.38)
(A)169米 (B)204米 (C)240米 (D)407米

2.星期天,身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园,用他们所学的知识测算一座塔的高度.如图,小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°,小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°,他们又测出A,B两点的距离为41.5 m,假设他们的眼睛离头顶都是10 cm,求塔高(结果保留根号).

板书设计
仰角、俯角问题
1.仰角和俯角的概念
2.利用仰角和俯角求高度
教学反思





课题
2.5 解直角三角形的应用
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)明确方位角的概念,并能将之灵活应用于实际生活;
(2)能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题.
2.过程与方法
经历探索坐标系中位似图形的顶点坐标之间的关系的过程,进一步发展学生探究交流能力.
3.情感、态度与价值观
在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用.
教学
重难点
重点:用锐角三角比的有关知识解决方位角问题.
难点:学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
一艘渔船位于钓鱼岛P的南偏东70°的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于钓鱼岛P的北偏东40°的N处,你能算出此时N点距离钓鱼岛的距离吗?

探索新知
合作探究
自学指导
方向角:
如图方向角:OA: ,OB: ,OC: ,OD: ,
东南、西南可以表示哪个方向? 






思考:以坐标原点为位似中心的两个位似图形,它们对应点的坐标有什么关系?
合作探究
【例题】 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?



要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)不理解方向角的概念,方向角是指目标方向与正北方向或正南方向所成的锐角;
(2)不能根据题意正确画出图形,将实际问题转化为数学问题.
2.归纳小结:
在解决有关方位角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方位角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.
3.方法规律:
解决航海问题时应注意构造直角三角形,利用勾股定理或锐角三角比不能直接求得结果时,常通过设未知数构造方程求解.

当堂训练
1.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地,再从B地向正南方向走200 m到C地,此时王英同学离A地( )
(A)50 m (B)100 m (C)150 m (D)100 m
2.如图,已知一条东西走向的河流,在河流对岸有一点A,小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上,小明沿河岸向东走80 m 后到达点C,测得点A在点C的北偏西60°方向上,则点A到河岸BC的距离为 . 

3.如图,一艘轮船向正东方向航行,上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向,距离灯塔120海里的M处,上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处,求这艘轮船在这段时间内航行的平均速度.


板书设计
方位角问题
1.方位角的概念
2.利用方位角解决航海问题
教学反思





课题
2.5 解直角三角形的应用
课时
第3课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
巩固直角三角形中锐角的三角函数,学会解关于坡角和坡度的问题.
2.过程与方法
逐步培养学生分析问题解决问题的能力,进一步渗透数形结合的数学思想和方法.
3.情感、态度与价值观
培养学生用数学的意识;渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点.
教学
重难点
重点:用锐角三角比的有关知识解决坡角和坡度角问题.
难点:能够应用解直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的问题.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
如图,滑雪场有一坡角为20°的滑雪道,滑雪道的长AC为100米,你能求出滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长吗?


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P58~59,回答下列问题:
(1)坡度:斜坡起止点的 与它们的 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i= ,坡度通常写成1∶m的形式. 
(2)坡角: 与 的夹角,记作α. 
(3)关系:i= = ,坡度越大,坡角α就 . 




合作探究
【例题】 如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).






要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)坡度不是一个度数,而是一个比值,错把坡度与坡角相混淆;
(2)坡比等于坡角的正切值,不要错认为坡角的正弦值.
2.归纳小结:
(1)坡度是坡角的正切值,坡度越大,坡角也越大,坡面就越陡,反之坡度越小,坡角也越小,坡面就越缓;
(2)与坡度有关的问题常与水坝有关,即梯形问题,常用的方法一般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直角三角形和矩形来求解.
3.方法规律:
解决坡度问题必须先熟记坡度的概念,即坡度i=tan α,然后根据具体情况代入计算.当给出的条件是坡面长度和坡度时,根据定义,构建方程来求解.应用时要注意与三角函数的结合.

当堂训练
1.如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为α,那么滑梯长l为( )
(A) (B) (C) (D)h·sin α

2.一段斜坡路的坡度为1.5∶1,若一辆车子的最大爬坡度数为60°,则这辆车 (填“能”或“不能”)在这段斜坡上行驶. 
3.利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分),已知渠道内坡度为1∶1.5,渠道底面宽BC为0.5米.
求:(1)横断面(等腰梯形)ABCD的面积;
(2) 修一条长为100米的渠道要挖去的土方数.






板书设计
坡度、坡角问题
1.坡角、坡度的概念
2.利用坡角、坡度解决实际问题
教学反思




第2章 章末复习
主题
解直角三角形
课型
新授课
上课时间

教学内容
2.1 锐角三角比;2.2 30°,45°,60°角的三角比;2.3 用计算器求锐角三角比;2.4 解直角三角形;2.5 解直角三角形的应用:第1课时 仰角、俯角问题;第2课时 方位角问题;第3课时 坡度、坡角问题.
教材分析
本章是学习了平面图形从初步认识、数的开方、勾股定理、相似三角形及二次根式的基础上安排的.锐角三角比揭示了直角三角形中,边、角这两个不同元素之间的内在联系.生产和生活中遇到的测量和计算距离、高度、角度等实际问题,往往归结为直角三角形中的边角关系,因此解直角三角形被广泛的应用.
教学
重难点
重点:
1.锐角三角比的相关概念.
2.30°,45°,60°角的三角比及解直角三角形的基本类型和基本方法.
难点:
1.正确理解三角比的概念和灵活选择解直角三角形的方法.
2.用解直角三角形的知识解决生活中的实际问题.
知识点
回顾
知识点1:锐角三角比的定义
1.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=5,AC=6,则cos A的值是( B )
(A) (B) (C) (D)
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,求cos A,sin B,tan B的值.

解:因为sin A==,
所以设AB=13x,BC=12x,
由勾股定理得AC===5x,
所以cos A==,
sin B=cos A=,tan B==.
知识点2:解直角三角形
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且CD=2,DE=1,则BC的长为( B )
(A)2 (B) (C)2 (D)4
续表
知识点
回顾
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,c=10,解这个直角三角形.

解:因为∠B=45°,∠C=90°,c=10,
所以∠A=45°,a=b=c·sin 45°=10×=5.
知识点3:解直角三角形的应用
5.如图,在两建筑物之间有一旗杆EG,高15 m,从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点,求矮建筑物的高CD.
解:过点D作DF⊥AF于点F,因为点G是BC的中点,EG∥AB,
所以EG是△ABC的中位线,
所以AB=2EG=30 m.
在Rt△ABC中,因为∠CAB=30°,
所以BC=ABtan∠BAC=30×=10 m.
在Rt△AFD中,
因为FD=BC=10 m,
所以AF=FD·tan β=10×=10 m,
所以CD=AB-AF=30-10=20 m.
即矮建筑物的高为20 m.
6.如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α=60°.汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE(结果保留根号).

解:如图,作AF⊥BC于点F.
在Rt△ABF中,∠ABF=α=60°,
所以AF=AB·sin 60°=20×=10(m).
在Rt△AEF中,β=45°,
所以AF=EF.
所以AE===10(m).即改造后的坡长AE为10 m.
第3章 对圆的进一步认识
课题
3.1 圆的对称性
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;
(2)能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.过程与方法
进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观
通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
教学
重难点
重点:垂径定理及其推论的应用.
难点:垂径定理的证明.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P68实验探究,回答下列问题:
(1)圆是轴对称图形, 是它的对称轴. 
(2)垂直于弦的直径 弦并且平分弦所对的 . 
符号语言:
因为AB是☉O的直径,
又因为AB⊥CD,
所以CE=DE,=,=.
2.思考:如果直径AB平分CD,能否推出AB⊥CD,=,=.
合作探究
【例1】 如图,☉O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为点E,若OE=3,求AB的长.

【例2】 如图,底面半径为5 cm的圆柱形油桶横放在水平地面上,向桶内加油后,量得长方形油面的宽度为8 cm,求油的深度(指油的最深处即油面到水平地面的距离).



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)对“垂径”理解有误,它既可以是直径,也可以是半径或过圆心的直线,本质是过圆心;
(2)忽略“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”中“非直径弦”的条件.
2.归纳小结:
(1)圆心到弦之间的距离就是这条弦的弦心距.
(2)在同圆或等圆中,弦越长,则该弦心距越短,反之也成立.
(3)通常利用弦心距、弦的一半和半径构造的直角三角形,利用勾股定理求有关线段的长.
3.方法规律:
对于一个圆和一条直线,若具备:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.

当堂训练
1.如图所示,☉O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON等于( )
(A)5 (B)7 (C)9 (D)11
2.如图,圆弧形桥拱的跨度AB=16 m,拱高CD=4 m,则圆弧形桥拱所在圆的半径为( )
(A)6 m (B)8 m (C)10 m (D)12 m

第1题图 第2题图
3.在半径为5的☉O中,弦AB=6,CD=8,且AB∥CD.则AB,CD之间的距离为 . 
4.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,求BD的长.




板书设计
垂径定理
1.垂径定理的性质及推论
2.垂径定理的应用
教学反思








课题
3.1 圆的对称性
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)圆的旋转不变性;
(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理,会求弧的度数.
2.过程与方法
通过动手操作、观察、归纳,经历探索新知的过程,培养学生实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观
通过引导学生动手操作,对图形的观察发现,激发学生的学习兴趣.
教学
重难点
重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”,每人每日摄取量如图.你能求出各扇形的圆心角和各条弧的度数吗?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P70~73,回答下列问题:
(1)圆的对称性:圆是 图形,圆心是它的 ; 
(2) 的角叫做圆心角.在同圆或等圆中,如果 、 、 中有 组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 
(3)n°的圆心角所对的弧是 °的弧,反之, °的弧所对的圆心角是n°的角.圆心角的度数与它所对弧的度数 . 
2.判断对错:
相等的圆心角所对的弧一定相等.若两条弧的度数相等,则这两条弧也相等.( )
合作探究
【例1】 如图,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是弧AB的中点,判断四边形OACB的形状并证明你的结论.



【例2】 如图,已知AB和CD是☉O的两条直径,弦CE∥AB,弧EC的度数为40°.
求∠BOC的度数.

续表
探索新知
合作探究
要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)运用“圆心角、弧、弦之间相等关系”时忽略了“在同圆或等圆中”这一必要条件;
(2)求弧的度数省略度数,例如的度数为40°写成=40°;
(3)把圆心角的度数与它所对的弧的度数相等误写为圆心角等于它所对的弧.
2.归纳小结:同一圆中证明两弦相等的“四种方法”:
若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角形全等;若两弦位于同一个三角形中,根据等角对等边证明两弦相等;证明两弦所对的弧相等;证明两弦所对的圆心角相等.
3.方法规律:
在证明弧的相等关系时,通常转化为证明它所对的圆心角相等,有时也可转化为证明弦与弦之间的相等关系.

当堂训练
1.如果两个圆心角相等,那么( )
(A)这两个圆心角所对的弦相等; (B)这两个圆心角所对的弧相等
(C)这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; (D)以上说法都不对
2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与关系是( )
(A)=2 (B)>2 (C)<2 (D)不能确定
3.圆上有两点A,B,劣弧的度数为120°,那么,优弧所对的圆心角的度数为( )
(A)80° (B)120° (C)180° D.240°
4.如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在☉O上.
(1)求证=;
(2)若C,D分别为OA,OB中点,则==成立吗?



板书设计
弧、弦、圆心角之间的关系
1.弧、弦、圆心角之间的关系
2.圆心角的度数与所对弧的关系
教学反思








课题
3.2 确定圆的条件
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
(2)了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
2.过程与方法
通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略.
3.情感、态度与价值观
形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.
教学
重难点
重点:三角形的外接圆、三角形的外心.
难点:过不在同一条直线上的三个点作圆.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块?


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P76~78,回答下列问题:
1.确定圆的条件:
(1)确定一个圆需要确定 和 . 
(2)经过一点A可作 个圆;经过两点A,B可作 个圆,这些圆的圆心都在线段AB的 . 
(3) 的三个点确定一个圆. 
2.三角形的外接圆、三角形的外心:
(1)三角形的外接圆:经过三角形 的圆. 
(2)三角形的外心:即三角形 的圆心,外心是三角形 的交点. 
3.反证法证明问题的三个步骤:
(1)否定结论:假设命题的 . 
(2)推出矛盾:从 出发,根据已知条件,经过 ,得出一个与命题的 或已知的 、基本事实、 等相矛盾的结果. 
(3)肯定结论:由 判定 ,从而肯定命题的结论正确. 
合作探究
【例1】 如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求其外接圆的半径.


【例2】 用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角.


要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)忽略不在同一直线上的三个点确定一个圆的前提条件“不在同一直线上的三点”;
(2)误认为外心是三条角平分线的交点.
2.归纳小结:
(1)锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.
(2)三角形的外心是三边的垂直平分线的交点;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的外心的位置因三角形的形状的不同而不同.
3.方法规律:
用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题不成立.
(2)在假设的基础上经过推理,得出一个错误的结论,或得到一个与已知条件相矛盾的结论.
(3)从而得出假设错误,原命题正确.

当堂训练
1.△ABC中,点O是它的外心,BC=24 cm,O到BC的距离是5 cm,则△ABC的外接圆的半径等于( )
(A)5 cm (B)13 cm (C)12 cm (D)8 cm
2.如图,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这四点中的任意3个点,能画圆的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

3.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设 . 
4.小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留痕迹);
(2)若在△ABC中,AB=8 m,AC=6 m,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.





板书设计
确定圆的条件
1.确定圆的条件
2.反证法
教学反思





课题
3.3 圆周角
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)能说出圆心角、圆周角的概念;
(2)明确圆心角、圆周角的关系,直径所对圆周角的特征,并能灵活应用解决有关问题.
2.过程与方法
通过操作、探究,发现圆心角与弦的对等关系,圆心角与圆周角的关系,体验探索过程.
3.情感、态度与价值观
体会从“特殊到一般”的数学思想方法,及在解决问题中体会与他人合作交流的重要性,养成合作学习的习惯.
教学
重难点
重点:圆周角定理及推论1.
难点:探究圆心角和圆心角相关性质的过程.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
比赛中如图所示,甲队员在圆心O处,乙队员在圆上C处,丙队员带球突破防守到圆上C处,依然把球传给了甲,你知道为什么吗?你能用数学知识解释一下吗?


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P81~84,回答下列问题:
1.顶点在 ,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦,像这样的角叫做圆周角. 
2.圆周角定理: 角等于它所对弧上的 角的一半. 
3.推论1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的 . 
4.判断对错:
(1)顶点在圆周上的角叫做圆周角.( )
(2)圆周角的度数是圆心角的一半.( )
合作探究
【例1】 下列图形中的角是圆周角的是( )

【例2】 AB,AC为☉O中的两条弦,延长CA到点D,使AD=AB,若∠ADB=35°,求∠BOC的度数.





要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)混淆圆周角的概念,圆周角的顶点既要在圆周上;角的两边又要为圆的弦;
(2)忽略一条弦所对的圆周角有两个,易造成漏解.
2.归纳小结:
圆周角与圆心角的区别和联系
区别:顶点位置不同.圆心角的顶点在圆心,圆周角的顶点在圆上.
联系:圆心角由于顶点在圆心,角的两边必与圆相交,所以圆心角与圆周角的共同点是两边都与圆相交.
3.方法规律:
在同圆或等圆中,求圆周角的大小或证圆周角相等,要考虑圆周角所对的弧、弦之间的关系,找出是否存在某一个圆心角和这个圆周角是同一条弧所对,这些量可以相互转化.


当堂训练
1.下列说法正确的是( )
(A)顶点在圆上的角是圆周角
(B)两边都和圆相交的角是圆周角
(C)顶点在圆上,且一边和圆相交的角是圆周角
(D)一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
2.如图,图中圆周角的个数是( )
(A)8 (B)9 (C)12 (D)14
3.如图,在☉O中,圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的大小为( )
(A)156° (B)78° (C)39° (D)12°
4.如图,A,B,C是半径为6的☉O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC= . 

第2题图 第3题图 第4题图


板书设计
圆周角定理及推论1
1.圆周角定理
2.圆周角定理的推论1
教学反思








课题
3.3 圆周角
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念;掌握圆内接四边形的概念及其性质定理;
(2)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明.
2.过程与方法
通过圆的特殊内接四边形到一般内接四边形的性质的探究,培养学生观察、分析、概括的能力.
3.情感、态度与价值观
激发学生的探究的热情,渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
教学
重难点
重点:圆周角定理的推论.
难点:圆内接四边形的有关概念及性质.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
如图是一个圆形笑脸,给你一个三角板,你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗?


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P84~88,回答下列问题:
1.推论2:同弧或等弧上的圆周角 ;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧 . 
2.推论3:直径所对的圆周角是 ; 的圆周角所对的弦是直径. 
3.圆内接多边形:所有顶点 的多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. 
4.推论4:圆内接四边形的对角 . 
5.判断正误
(1)90°角所对的弦是直径.( )
(2)直径所对的角等于90°.( )
(3)一个圆只有一个内接四边形.( )
合作探究
【例1】如图,C,D是以线段AB为直径的☉O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB等于( )
(A)10° (B)20° (C)30° (D)40°
【例2】 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,DP∥AC,交BA的延长线于点P,求证:AD·DC=PA·BC.

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)使用推论2时,忽略“在同圆或等圆中”这一限制条件;
(2)遇到90°的圆周角时,不会确定该角所对的弦构造直角三角形.
2.归纳小结:
圆内接四边形的角的“三种关系”
(1)对角互补,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
(2)四个角的和是360°,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
(3)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.
3.方法规律:
(1)在同圆或等圆中,要证弧相等,考虑证明这两条弧所对的圆周角相等.
(2)当有直径时,常利用直径所对的圆周角为直角解决问题.

当堂训练
1.如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8 cm,ON=6 cm,则该圆玻璃镜的半径是( )
(A) cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm
2.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,=,∠AOB=60°,则∠BDC的度数是( )
(A)60° (B)45° (C)35° (D)30°

第1题图 第2题图
3.如图,ABCD是圆O的内接四边形,BC是圆O的直径,∠ACB=20°,D为弧的中点,求∠DAC的度数.


板书设计
圆周角定理的推论2,3,4
1.圆周角定理推论2,3,4
2.圆内接四边形的概念及性质
教学反思







课题
3.4 直线与圆的位置关系
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解直线和圆的位置关系的有关概念.
(2)能利用圆的半径与圆心到直线l距离的大小关系判断直线和圆的位置关系.
2.过程与方法
经历判断直线与圆的位置关系的探究过程,比较点与圆的位置关系的判定方法.
3.情感、态度与价值观
让学生在探索知识的过程中体会“数学美”,提高其数学素养.
教学
重难点
重点:直线与圆的位置关系.
难点:圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系和对应位置关系联系的探索.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
在太阳升起的过程中,太阳和地平线有几种位置关系?如果我们把太阳看作一个圆,把地平线看作一条直线,太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种位置关系?由此你能得出直线和圆的位置关系么?

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P91~92实验与探究,回答下列问题:
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数


0
公共点名称
交点

无
直线名称
割线

无
2.直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离d和半径r的关系:
(1)直线l和☉O相离⇔d r; 
(2)直线l和☉O相切⇔d r; 
(3)直线l和☉O相交⇔d r. 
合作探究
【例1】 已知☉O的半径为10 cm,如果一条直线和圆心O的距离为14 cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)相离或相交
【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=60°,BO=x,☉O的半径为8,求当x在什么范围内取值时,AB所在的直线与☉O相交,相切,相离?

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)不能正确区分相切和相交的特征,误认为直线和圆有公共点时就是相交;
(2)求圆心到直线的距离时出错,圆心到直线的距离指的是圆心到这条直线的垂线段的长度.

续表
探索新知
合作探究
2.归纳小结:
判断直线和圆的位置关系的步骤:
(1)求值:根据题意求出圆心到直线的距离d和半径r;
(2)比较d和r的数量关系;
(3)根据数量关系判断直线和圆的位置关系.
3.方法规律:
判定直线与圆的位置关系的两种方法:根据定义,由直线与圆的公共点的个数来判断;根据性质,由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.

当堂训练
1.圆的最大弦长为12 cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么( )
(A)0≤d<6 cm (B)6 cm12 cm
2.如图,在平面直角坐标系中,☉A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交☉A于M,N两点.若点M的坐标是(-4,-2),则点N的坐标为( )
(A)(-1,-2) (B)(1,2) (C)(-1.5,-2) (D)(1.5,-2)

3.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,☉O是以AB为直径的圆,则直线DC与☉O的位置关系是 . 

4.在△ABC中,∠A=45°,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么?
(1)r=2; (2)r=2 ; (3)r=3.





板书设计
直线与圆的位置关系
1.判断直线与圆的位置关系
2.直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离d和半径r的关系
教学反思







课题
3.4 直线与圆的位置关系
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解切线的判定定理,并能初步运用它解决简单的问题;
(2)知道判定切线的常用的三种方法,初步掌握方法的选择.
2.过程与方法
以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据,探究切线的判定定理和性质定理,领会知识的延续性,层次性.
3.情感、态度与价值观
通过判定定理的学习,培养学生观察、分析和归纳问题的能力,并激发学生学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:切线的判定定理的理解和应用.
难点:理解切线判定定理中的两个条件:一是经过半径的外端;二是直线垂直于这条半径.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P93~94观察与思考,回答下列问题:
如图,OA是☉O的半径,∠OAB=90°,则直线AB与☉O的位置关系是 . 
定理:过半径的 并且 半径的直线是圆的切线.
2.判断对错:
(1)过半径的外端的直线是圆的切线.( )
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.( )
(3)与圆有公共点的直线是圆的切线.( )
合作探究
【例题】如图,已知☉O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.求证:DE是☉O的切线.






要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)分不清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“过半径的外端”和“垂直于半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线;
(2)直线与圆的公共点没有确定时证明圆的切线方法错误,要作垂直,证明该垂线段是半径,而不是连接.
2.归纳小结:
判断圆的切线的“三种方法”
(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
(2)圆心到直线的距离等于半径,这条直线是圆的切线.
(3)经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.方法规律:
证明一条直线是圆的切线的常用方法
(1)当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”.
(2)当直线和圆公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”.

当堂训练
1.如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是( )
(A)DE=DO (B)AB=AC (C)CD=DB (D)AC∥OD
2.如图,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为 . 
3.如图,AB为☉O的直径,圆周角∠ABC=40°,当∠BCD= 时,CD为☉O的切线. 

第1题图 第2题图 第3题图
4.如图,O为正方形ABCD的对角线AC上一点,以O为圆心,OA的长为半径的☉O与BC相切于点M.求证:CD与☉O相切.

板书设计
切线的判定
1.切线的判定定理
2.切线判定常用的辅助线作法
教学反思



课题
3.4 直线与圆的位置关系
课时
第3课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)经历探索切线的性质的过程,培养学生的探索能力;
(2)会利用切线的判定和性质解决相关的问题.
2.过程与方法
掌握切线的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题.
3.情感、态度与价值观
感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.
教学
重难点
重点:会利用切线的性质解决相关的问题.
难点:切线性质的证明
教学活动设计
二次设计
课堂导入
约在6 000年前,美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘,你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P94~96,回答下列问题:
如图,直线AB与☉O相切,切点为C,则∠OCA=∠OCB= .切线的性质定理:圆的切线 经过切点的半径. 



2.思考:经过切点且垂直于切线的直线是否一定经过圆心?
合作探究
【例1】 如图,已知直线BC切☉O于点C,PD为☉O的直径,BP的延长线与CD的延长线交于点A,∠A=28°,∠B=26°,则∠PDC等于( )
(A)34° (B)36° (C)38° (D)40°



【例2】 如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是☉O的切线,切点为C.过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC.求证:∠PBC=∠CBD.




要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.


续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)利用切线的性质求圆周角时忽略分类讨论造成漏解;
(2)混淆切线的判定和性质.
2.归纳小结:
(1)切线和圆只有一个公共点.
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.
(3)圆的切线垂直于过切点的半径.
(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于圆的切线的直线必过切点.
3.方法规律:
已知圆的切线,利用圆的切线性质解题时,一般先要作出过切点的半径,再分析题中的关系,合理解答问题.

当堂训练
1.如图,AB与☉O切于点B,AO=6 cm,AB=4 cm,则☉O的半径为( )
(A)4 cm (B)2 cm (C)2 cm (D)m
2.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC等于( )
(A)130° (B)100° (C)50° (D)65°
3.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM= cm时,☉M与OA相切. 

第1题图 第2题图 第3题图
4.如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,求∠C的度数.



板书设计
切线的性质
1.切线的性质定理
2.圆的切线的性质与判定的综合运用
教学反思






课题
3.4 直线与圆的位置关系
课时
第4课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
理解并掌握切线长定理并能用来证明线段相等或解决与周长有关的问题.
2.过程与方法
经历探索切线长定理的过程,体会轴对称性质的应用.
3.情感、态度与价值观
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
教学
重难点
重点:切线长定理及其应用.
难点:利用切线长定理解决相关问题.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
已知☉O切线PA,PB,A,B为切点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?

探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P96~98,观察与思考,回答下列问题:
1.切线长:经过圆外一点可以画圆的两条切线, 与其中一个 之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 
2.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点.
因为PA,PB为☉O的切线,A,B为切点.
所以∠PBO=∠PAO= ,OB OA. 
又PO=PO,所以Rt△PBO≌ . 
所以 =PB. 
切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长 . 
3.判断对错:
(1)经过一点一定有两条切线.( )
(2)切线的长度就是切线长.( )
合作探究
【例1】 如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点是A,B.如果OP=4,PA=2,那么∠AOB等于( )
(A)120° (B)100°
(C)80° (D)60°
【例2】 如图,已知四边形ABCD,AD∥BC且∠ADC=90°,以CD为直径的半圆与AD,BC,AB均相切,切点分别为D,C,E,若半圆O的半径为2,AB=5.求四边形ABCD的周长.

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
对切线长定理的基本图形掌握不牢:
图中有两个等腰三角形(△PAB,△OAB);一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB);三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB).
2.归纳小结:
当多条直线与同一圆相切时:(1)注意简化,归纳出现了几对切线长定理的基本图形,从而将复杂问题简单化,进而发现必要的数量关系.
(2)注意联系,如圆心是几个角的角平分线的交点.
3.方法规律:
根据切线长定理可证圆外切四边形的两组对边的和相等.

当堂训练
1.如图所示,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是( )
(A)15° (B)30° (C)60° (D)75°
2.如图,☉O是△ABC的内切圆,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE为☉O的切线,若△ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE的周长是( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)16

第1题图 第2题图
3.如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B两点,PA=PB=4 cm,∠P=40°,C是劣弧上任意一点,过点C作☉O的切线,分别交PA,PB与点D,E,试求:
(1)△PDE的周长;
(2)∠DOE的度数.





板书设计
切线长定理
1.切线长定理
2.利用切线长定理求角或线段
教学反思





课题
3.5 三角形的内切圆
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解三角形内切圆的有关概念,掌握三角形的内心、外心的位置.
(2)掌握画三角形的内切圆的方法,能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题.
2.过程与方法
应用类比的数学思想方法研究内切圆,逐步培养学生的研究问题能力.
3.情感、态度与价值观
通过获得成功的经验和克服困难的经历,增进学生数学学习的信心.
教学
重难点
重点:三角形内切圆的有关概念和画法.
难点:与内切圆有关的计算.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
新农村建设中,张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园,如何确定这个圆?

探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P101~102实验与探究,回答下列问题:
1.在∠AOB内作圆,使其与两边OA,OB都相切,可以作 个,其中每个圆的圆心到∠AOB的两边的距离 ,所以这些圆的圆心都在 上. 
2.三角形的内切圆:与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形,每个三角形可以作 内切圆. 
3.三角形的内心:三角形 叫做三角形的内心,它是三角形的 的交点,它到三角形各边的距离 ,在三角形的 . 
4.判断对错:
(1)三角形内切圆的圆心与三角形的顶点的连线平分三角形该顶点的角.( )
(2)直角三角形的内心在斜边上.( )
合作探究
【例1】 如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE的度数是( )
(A)55° (B)60° (C)65° (D)70°




【例2】 焊工要在一两直角边为30 cm,40 cm的直角三角形铁片中割出一个圆,要使所剩废料最少?请帮他描出该圆,并求出此时圆的半径.


要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.


续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)混淆三角形的内心和外心的性质;
(2)不能利用尺规正确作出三角形的内心.
2.归纳小结:
(1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形.
(2)三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部,三角形的内心到三边的距离相等.
3.方法规律:
已知直角三角形直角边为a,b,斜边为c,直角三角形内切圆半径为r.
(1)切线长定理:根据切线长定理推得,a-r+b-r=c,即r=.
(2)面积法:根据三角形面积等于三角形的周长与三角形内切圆半径乘积的一半,得ab=(a+b+c)r,即r=.

当堂训练
1.等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的( )
(A)2倍 (B)3倍 (C)4倍 (D)5倍
2.如图,已知☉O是△ABC的内切圆,且∠BAC=50°,则∠BOC为 度. 

3.如图,☉O是△ABC的内切圆,若∠ACB=90°,∠BOC=105°,BC=20(+1),求☉O的半径.



板书设计
三角形的内切圆
1.内切圆的概念
2.三角形内心的性质
教学反思






课题
3.6 弧长及扇形面积的计算
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题.
2.过程与方法
经历探索弧长及扇形面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
3.情感、态度与价值观
让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性.
教学
重难点
重点:利用弧长及扇形面积公式进行计算.
难点:探索弧长及扇形面积计算公式.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
如图是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径为100米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π取3.14)?


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P104~P106,回答下列问题:
1.弧长公式:(1)圆的周长为 . 
(2)1°的圆心角所对的弧长是 . 
(3)n°的圆心角所对的弧长是 . 
结论:半径为r,圆心角为n°的弧长公式为l= . 
2.扇形面积公式:(1)圆的面积为 . 
(2)圆心角为1°的扇形面积为 . 
(3)圆心角为n°的扇形面积为 . 
结论:半径为r,圆心角为n°时,扇形面积S= . 
3.扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,则三者之间的关系为 . 
合作探究
【例1】 制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算图中管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1 mm).

【例2】 如图,两个同心圆被两条半径截得的弧AB的长为6π cm,弧CD的长为10π cm,又AC=12 cm,求阴影部分ABDC的面积.

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)混淆弧长公式和扇形面积公式;
(2)计算时对π的处理有误,没有按照要求进行取值.
2.归纳小结:
两种弓形面积的求法:
(1)小于半圆的弧与弦组成的弓形,如图①,用扇形的面积减去三角形的面积.
(2)大于半圆的弧与弦组成的弓形,如图②,用扇形的面积加上三角形的面积.

3.方法规律:
求图形面积的方法一般有两种:规则图形直接使用面积公式计算;不规则图形则进行割补,拼成规则图形再进行计算.

当堂训练
1.如图,半圆的圆心为O,直径AB的长为12,C为半圆上一点,∠CAB=30°,的长是( )
(A)12π (B)6π (C)5π (D)4π

2.扇形的面积是它所在圆的面积的,这个扇形的圆心角的度数是 . 
3.在半径为2的圆中,270°的圆心角所对的弧长等于 . 
4.如图所示,半圆O中,直径AB长为4,C,D为半圆O的三等分点,求阴影部分的面积.





板书设计
弧长及扇形面积的计算
1.弧长公式
2.扇形的面积公式
教学反思






课题
3.7 正多边形与圆
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念,了解正多边形与圆的关系;
(2)探索正多边形的性质,能利用正多边形的性质进行有关的计算.
2.过程与方法
运用合情推理经历正多边形性质的探索过程,进一步发展学生探究交流能力.
3.情感、态度与价值观
通过欣赏正多边形的对称美,开拓学生视野,激发创新意识和科学严谨的治学态度.
教学
重难点
重点:正多边形与圆的关系.
难点:正多边形的有关计算.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
你能从这些图案中找出正多边形来吗?


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P109~P110观察与思考,回答下列问题:
1.(1)正多边形都是 图形,一个正n边形有 条对称轴. 
(2)正多边形的各条对称轴相交于一点,这点到正多边形的各个顶点的距离 ,到各边的距离也 . 
(3)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是 ,圆心是 . 
2.正多边形的有关概念:
(1)中心:正多边形的 . 
(2)半径:正多边形 的半径. 
(3)中心角:正多边形每一边所对的外接圆的 ,正n边形的每个中心角都等于 . 
(4)边心距:正多边形 的半径. 
3.思考:如何画圆的内接正多边形?
合作探究
【例1】 正三角形的边心距、半径和高的比是( )
(A)1∶2∶3 (B)1∶∶ (C)1∶∶3 (D)1∶2∶
【例2】 作出你喜欢的一个圆内接正多边形(尺规作图,并直接写出该正多边形的边长,假设圆的半径为r)边长用含r的代数式表示.



要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)混淆正多边形的边心距和半径;
(2)对正多边形的对称性理解有误,误认为所有的正多边形都是中心对称图形.
2.归纳小结:
(1)中心角:每一个中心角度数为:;内角:每个内角度数为:;外角:每个外角的度数为:.
(2)正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系:2+r2=R2.
3.方法规律:
画正多边形方法:
(1)尺规作图法:特殊的正多边形,可以直接利用尺规作出图形.如正三角形,正方形,正六边形,正十二边形等.
(2)等分圆周法:用量角器将圆周n等分,再顺次连接各分点即可.

当堂训练
1.若一个正多边形的中心角为40°,则这个多边形的边数是( )
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
2.如图,☉O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为( )
(A)- (B)-π (C)2- (D)-
3.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是 度,半径是 ,边心距是 ,它的每一个内角是 . 
4.正n边形的一个外角度数与它的 角的度数相等. 
5.如图,已知等边△ABC内接于☉O,BD为内接正十二边形的一边,CD=5 cm,求☉O的半径R.

板书设计
正多边形与圆
1.正多边形的有关概念
2.正多边形的画法
3.正多边形的有关计算
教学反思



第3章 章末复习
主题
对圆的进一步认识
课型
新授课
上课时间

教学内容
3.1 圆的对称性:第1课时 垂径定理;第2课时 弧、弦、圆心角之间的关系;3.2 确定圆的条件;3.3 圆周角:第1课时 圆周角定理及推论1;第2课时 圆周角定理的推论2,3,4;3.4 直线与圆的位置关系:第1课时 直线与圆的位置关系;第2课时 切线的判定;第3课时 切线的性质;第4课时 切线长定理;3.5 三角形的内切圆;3.6 弧长及扇形面积的计算;3.7 正多边形与圆.
教材分析
本章是学习了直线形、图形的轴对称、平移、旋转和相似的性质与判定的基础上展开的,是对圆的有关性质、与圆有关的位置关系、正多边形与圆的系统研究.本章广泛运用合情推理探索思路,发现结论,用演绎推理进行证明和计算,灵活运用了抽象、演绎、归纳分类、转化等思想,具有明显的综合性.
教学
重难点
重点:
1.垂径定理和圆心角、弦、弧的关系定理,圆周角定理.
2.直线与圆的位置关系.
难点:
1.圆内有关元素的相互关系和圆周角定理的证明.
2.切线的性质定理的证明和三角形外心、内心性质的运用.
知识点
回顾
知识点1:圆的有关性质
1.如图,在☉O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC,若AB=2 cm,∠BCD=22°30',则☉O的半径为 2 . 

第1题图 第2题图
2.如图,圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点,DP⊥AC,垂足是P,DH⊥BM,垂足为H,求证:AP=BH.
证明:如图,连接AD,BD.因为∠DAC,∠DBC是所对的圆周角.
所以∠DAC=∠DBC.
因为CD平分∠ACM,DP⊥AC,DH⊥CM,所以DP=DH.
在△ADP和△BDH中,

所以△ADP≌△BDH,所以AP=BH.
知识点2:三角形的内心和外心
3.如图,☉I是△ABC的内切圆,D,E,F为三个切点.若∠DEF=52°,则∠A的度数为( A )
(A)76° (B)68° (C)52° (D)38°


续表
知识点
回顾
4.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切☉O于点A,且PA=PB.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)已知PA=,∠ACB=60°,求☉O的半径.
(1)证明:连接OB,
因为OA=OB,所以∠OAB=∠OBA.
因为PA=PB,所以∠PAB=∠PBA.
所以∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO.
又因为PA是☉O的切线,所以∠PAO=90°.
所以∠PBO=90°.所以OB⊥PB.
又因为OB是☉O的半径,
所以PB是☉O的切线.
(2)解:连接OP,因为PA=PB,
所以点P在线段AB的垂直平分线上.
因为OA=OB,所以点O在线段AB的垂直平分线上.
所以OP为线段AB的垂直平分线,
又因为BC⊥AB,所以PO∥BC.
所以∠AOP=∠ACB=60°.所以∠OPA=30°.
在Rt△APO中,AO2+PA2=PO2,
即AO2+3=(2AO)2.
又因为AO>0,
所以AO=1.所以☉O的半径为1.
知识点3:切线的性质和判定
5.如图,AB为☉O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切☉O于点C,点B是的中点,弦CF交AB于点E.若☉O的半径为2,则CF= 2 . 
6.如图,D为☉O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)过点B作☉O的切线交CD的延长线于点E,BC=6,=.求BE的长.
(1)证明:如图,连接OD,
因为OB=OD,
所以∠OBD=∠BDO.
因为∠CDA=∠CBD,
所以∠CDA=∠BDO.
因为AB是☉O的直径,所以∠ADB=90°.
所以∠ADO+∠BDO=90°.
所以∠ADO+∠CDA=90°,
即∠CDO=90°.所以OD⊥CD.
因为OD是☉O的半径,所以CD是☉O的切线.


续表
知识点
回顾
(2)解:因为∠C=∠C,∠CDA=∠CBD,
所以△CDA∽△CBD.
所以=.
因为=,BC=6,
所以CD=4.
因为CE,BE是☉O的切线,
所以BE=DE,BE⊥BC.
所以BE2+BC2=EC2,
即BE2+62=(4+BE)2.
解得BE=.
知识点4:弧长和扇形面积
7.如图,已知正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A,P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点P运动的路径长为( B )
(A)13π cm (B)14π cm (C)15π cm (D)16π cm
8.设计一个商标图案,如图,在矩形ABCD中,若AB=2BC,且AB=8 cm,以点A为圆心,AD长为半径作半圆,则商标图案(阴影部分)的面积等于( A )
(A)(4π+8) cm2 (B)(4π+16) cm2 (C)(3π+8) cm2 (D)(3π+16) cm2
知识点5:正多边形和圆
9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为 8 . 

第7题图 第8题图 第9题图
10.如图,正六边形ABCDEF中,AB=2,点P是ED的中点,连接AP,求AP的长.

解:连接AE,由正六边形的性质知,AE⊥DE,
所以△APE为直角三角形,
又AE==,
所以AP===.


第4章 一元二次方程
课题
4.1 一元二次方程
课时
1课时
上课时间

教学内容
1.知识与技能
(1)通过实际问题情境抽象出一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式.
(2)经历运用“观察—体验”的方法估计一元二次方程解的过程.
2.过程与方法
发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.
3.情感、态度与价值观
通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
教学
重难点
重点:一元二次方程的概念及其一般形式.
难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1. 叫方程. 
2. 叫一元一次方程. 

探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P124~P127,回答下列问题:
1.一元二次方程:两边都是 ,只含有 个未知数,并且整理后未知数的最高次数是 的方程. 
2.一元二次方程的一般形式: (a≠0),其中 是二次项, 是二次项系数, 是一次项, 是一次项系数, 是常数项. 
3.求一元二次方程近似值的一般步骤:
(1)根据实际问题确定一元二次方程根的大致范围,并据此合理列表,算出对应的 的值. 
(2)根据表格确定一元二次方程根的范围,当相邻两个数,一个使ax2+bx+c≤0,一个使ax2+bx+c≥0,那么ax2+bx+c=0的根就在这两个数之间.
(3)在上面的取值范围内进一步列表、计算、估计范围,直到符合要求的精确度为止.
合作探究
【例1】方程x2+x-3=0的负数根的范围是( )
(A)-1 【例2】剪一块面积为150 cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5 cm,这块铁皮该怎么剪呢?如果铁皮的宽为x(cm),那么铁皮的长为 cm.根据题意,可得方程是 . 
【例3】将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.






要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.


续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)把一元二次方程化为一般形式时出现计算错误.
(2)忽略二次项系数不为零.
(3)没有进行化简就确定方程为一元二次方程.
2.归纳小结:
(1)确定一元二次方程的二次项、一次项、常数项及系数的方法:一元二次方程中各项系数及常数项,均是相对于一元二次方程的一般形式而言的,所以解答此类问题时,应先将方程化为一般形式.
(2)指出一元二次方程的各项系数时,一定要带上前面的符号.
(3)一元二次方程转化为一般形式后,若没有出现一次项bx,则b=0;若没有出现常数项c,则c=0.
3.方法规律:
用一元二次方程的定义求字母的值的方法:根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程,再排除使二次项系数等于0的字母的值.

当堂训练
1.将x2-3=-3x化为ax2+bx+c=0,a,b,c的值分别为( )
(A)0,-3,-3 (B)1,-3,3
(C)1,3,-3 (D)1,-3,-3
2.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )
(A)m=±2 (B)m=2
(C)m=-2 (D)m≠±2
3.方程2x-4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为 . 
4.把方程mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0)化成一元二次方程的一般形式,再求出它的二次项系数与一次项系数的和.





板书设计
一元一次方程
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程的一般形式
3.估算一元二次方程的解
教学反思









课题
4.2 用配方法解一元二次方程
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
会利用直接开平方法对形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程进行求解.
2.过程与方法
通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯.
3.情感、态度与价值观
通过对计算过程的反思,获得解决新问题的体验,体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想.
教学
重难点
重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
李老师让学生解一元二次方程x2-6x-5=0,同学们都束手无策,学习委员蔡亮考虑了一下,在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……,你能按照他的想法求出这个方程的解吗?

探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P130~132,回答下列问题:
1.定义:二次项系数为1时,可先把常数项移到方程的右边,然后在方程的两边都加上一次项系数的 ,就把方程左边配成了一个完全平方式,从而可以由 求解方程,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 
2.关键:在形如一元二次方程x2+bx=c的两边同时加 的平方,即( )2. 
3.判断对错:
(1)y2-6y再加-9即可组成一个完全平方式.( )
(2)对于x2+10x配方只需再加10即可.( )
合作探究
【例1】 已知x2-8x+15=0,将方程配方正确的是( )
(A)x2-8x+(-4)2=31 (B)x2-8x+(-4)2=1
(C)x2+8x+42=1 (D)x2-4x+4=-11
【例2】 解下列方程:
(1)4x2=9;





(2)(x+3)2-2=0.





要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.


续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)利用直接开平方解方程时漏根.
(2)配方时两边没有同时加上一次项系数一半的平方.
2.归纳小结:
直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,它的理论依据是平方根的定义,它的可解类型有如下几种:
①x2=a(a≥0);②(x+a)2=b(b≥0);③(ax+b)2=c(c≥0);
④(ax+b)2=(cx+d)2(|a|≠|c|).
3.方法规律:
方程(x+m)2=n的根的情况与n的关系:(1)当n>0时,方程有两个不相等的实数根.(2)当n=0时,方程有两个相等的实数根.(3)当n<0时,方程没有实数根.

当堂训练
1.用配方法解方程x2-5=2x时,原方程变形为( )
(A)(x+1)2=6 (B)(x-1)2=6
(C)(x+2)2=9 (D)(x-2)2=9
2.方程3x2-1=0的根是( )
(A)x=± (B)x=±3
(C)x=± (D)x=±
3.方程(x-a)2=b(b>0)的根是( )
(A)a± (B)±(a+)
(C)±a+ (D)±a,±b
4.方程x2+10x=1的解是 . 
5.解下列方程:
(1)16x2=81; (2)(x-2)2-4=0.





板书设计
解二次项系数是1的一元二次方程
1.平方根的概念
2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程
教学反思





课题
4.2 用配方法解一元二次方程
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
理解配方法的思路,能熟练运用配方法解一元二次方程.
2.过程与方法
通过配方法解一元二次方程和利用降次把一元二次方程化为一元一次方程的过程,体会转化的数学思想.
3.情感、态度与价值观
通过对计算过程的反思,获得解决新问题的体验,体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法.
教学重难点
重点:用配方法熟练地解数字系数不为1的一元二次方程.
难点:能够熟练地运用配方法解决有关问题.
教学活动设计
二次设计
情境导入
用配方法解方程:x2-4x+1=0.

探索新知
合作探究
自学指导:
1.自学教材P132~133,回答下列问题:
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤:
(1)化:化 为1. 
(2)移项:使方程左边为 ,右边为 . 
(3)配方:方程两边同时加上 ,使原方程变为 的形式. 
(4)开方:若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为 ,就可左右两边开平方得x+m= . 
(5)求解:方程的解为x= . 
2.判断对错:
(1)任意一个一元二次方程都可以用配方法求解.( )
(2)用配方法求解2x2-4x+1=0时,方程两边应同时加3.( )
合作探究:
【例1】 用配方法解一元二次方程2x2+1=3x,方程可变形为( )

(A)x-2= (B)x-2= (C)x-2= (D)x-2=
【例2】 用配方法解方程:
2x2+1=3x.



【例3】 已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求的值.



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
【教师指导】
1.易错点:
(1)利用配方法解二次项系数不为1的方程时,没有把二次项系数化为1就开始配方.
(2)当一次项系数为分数时,把一次项系数一半错写成一次项系数的2倍.
2.归纳小结:
用配方法解方程应注意的“三个方面”
(1)不漏除:二次项系数化为1时,方程中各项都要除以二次项系数.
(2)式恒等:配方时始终要保证等式的成立.
(3)不错号:不要弄错完全平方式中的符号.
3.方法规律:
证明多项式恒大于零或小于零时,通常利用配方法进行化简,然后利用非负数的性质进行判断.

当堂训练
1.用配方法解下列方程,配方正确的是( )
(A)3x2-6x=9可化为(x-1)2=4
(B)x2-4x=0可化为(x+2)2=4
(C)x2+8x+9=0可化为(x+4)2=25
(D)2y2-4y-5=0可化为2(y-1)2=6
2.一元二次方程4x2=1+3x的解是( )
(A)x=-1 (B)x=-
(C)x1=1,x2=- (D)x1=-1,x2=
3.填空.
(1)2x2-4x+2=2(x- )2; 
(2)3x2+6x+ =3(x+1)2; 
(3)-3x2+2x =-3(x- )2. 
4.用配方法解方程:
(1)3x2-6x-1=0; (2)2x2-5x-4=0.





板书设计
解二次项系数不是1的一元二次方程
1.配方法解二次项系数为1的一元二次方程
2.配方法的应用
教学反思




课题
4.3 用公式法解一元二次方程
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解公式法,会用公式法解数字系数的一元二次方程.
(2)能用公式法求一元二次方程根的近似值.
2.过程与方法
经历用配方法探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.
3.情感、态度与价值观
通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,建立学好数学的自信心.
教学
重难点
重点:会用公式法解一元二次方程.
难点:理解一元二次方程求根公式的推导过程.
教学活动设计
二次设计
情境导入
1.配方法解一元二次方程的关键是 ; 
2.一元二次方程6x2-7x+1=0中a= ,b= ,c= ;4x2-3x=52中a= ,b= ,c= . 
3.用配方法解一元二次方程4x2-3x=52.

探索新知
合作探究
自学指导:
自学教材P135~136,回答下列问题:
1.一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x= . 
2.公式法的定义:
用 解一元二次方程的方法. 
3.判断对错:
(1)方程3x2+2x=1中,a,b,c的值分别是a=3,b=2,c=1.( )
(2)方程x2-x-1=0的根是x=.( )
合作探究:
【例1】方程x2+x-3=0的根精确到0.01约为( )
(A)1.30 (B)2.30
(C)1.30或-2.30 (D)1.5
【例2】用公式法解下列方程:
(1)x2-x-2=0; (2)4x2-3x-1=x-2.







要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.


续表
探索新知
合作探究
【教师指导】
1.易错点:
(1)记错求根公式;
(2)利用公式法解方程时没有把一元二次方程化为一般形式.
2.归纳小结:
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a,b,c确定的,只要确定了系数a,b,c的值,代入公式就可求得方程的根.
(2)求根的近似值时,在计算过程中多取一位小数,最后结果按精确度要求四舍五入.
3.方法规律:
用公式法解一元二次方程时,首先应将其变形为一般形式,然后确定公式中a,b,c的值,再求出b2-4ac的值与“0”比较,最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).

当堂训练
1.方程x2+x-1=0的一个根是( )
(A)1- (B) (C)-1+ (D)
2.方程x2+4x=2的正根是 . 
3.一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0中,b2-4ac= ,若b2-4ac=9,则m= . 
4.用公式法解方程:4x2-5x+1=0.





5.当m为何值时,方程(m+1)+(m-3)x-1=0是一元二次方程,并求出此方程的近似根(精确到0.01).






板书设计
用公式法解一元二次方程
1.求根公式的概念及其推导过程.
2.应用公式法解一元二次方程.
3.用公式法求一元二次方程根的近似值.
教学反思







课题
4.4 用因式分解法解一元二次方程
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解因式分解法解一元二次方程的依据.
(2)能根据一元二次方程的具体特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题策略的多样性.
2.过程与方法
经历探索因式分解法解一元二次方程的过程,发展学生合情合理的推理能力.
3.情感、态度与价值观
学会和他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
教学重难点
重点:应用因式分解法解一元二次方程.
难点:将方程化为一般形式后,对方程左侧二次三项式的因式分解.
教学活动设计
二次设计
情境导入
我们知道ab=0,那么a=0或b=0,类似的解方程(x+1)(x-1)=0时,可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解,你能求出(x+3)(x-5)=0的解吗?

探索新知
合作探究
自学指导:
自学教材P139~140,回答下列问题:
1.因式分解法的定义:
将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于 的形式,再使这两个一次式分别等于 ,从而实现 的方法. 
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
(1)移项,将方程的右边化为 . 
(2)将方程的左边分解为 . 
(3)令每个因式等于 ,得两个 . 
(4)解这两个 ,得方程的两个根. 
3.判断对错:
(1)若ab=0,则a=0或b=0.( )
(2)若a2+b2=0,则a=0且b=0.( )
(3)一元二次方程3x(x-2)=0,则x=2.( )
合作探究:
【例1】 用因式分解法解下列方程:
(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2.



【例2】 用因式分解法解下列方程:
(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2.




要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.


续表
探索新知
合作探究
【教师指导】
1.易错点:
(1)对因式分解的方法掌握不到位.
(2)利用因式分解法解方程时等号右边不为0.
(3)解方程时两边同时约掉了x或含有x的整式,造成漏解或无解.
2.归纳小结:
适用于因式分解法求解的一元二次方程的三个类型
(1)当右边为0时,左边可提公因式.
(2)当右边为0时,左边可运用平方差公式.
(3)当右边为0时,左边为完全平方式.
3.方法规律:
利用提公因式法时先将方程右边化为0,观察是否有公因式,若有公因式,用提公因式法快速分解因式求解;若没有公因式就考虑用公式法分解因式求解.

当堂训练
1.下列方程不适于用因式分解法求解的是( )
(A)x2-(2x-1)2=0 (B)x(x+8)=8
(C)2x(3-x)=x-3 (D)5x2=4x
2.方程x2-2x=0的根是( )
(A)x1=0,x2=-2 (B)x1=0,x2=2
(C)x=0 (D)x=2
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,两直角边a,b分别是方程x2-7x+12=0的两个根,则AB边上的中线长为 . 
4.用因式分解法解下列方程:
(1)x2-9=0;(2)x2-2x=0;(3)5x2+20x+20=0.




5.若a,b,c为△ABC的三边,且a,b,c满足a2-ac-ab+bc=0,试判断△ABC的形状.






板书设计
用因式分解法解一元二次方程
1.因式分解的类型.
2.应用因式分解法解一元二次方程.
教学反思





课题
4.5 一元二次方程根的判别式
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)经历一元二次方程根的判别式的探索过程.
(2)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.
2.过程与方法
通过一元二次方程根的情况的探究过程,体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想,提高观察、分析、归纳的能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生的符号意识以及判断、分析和归纳能力,感悟分类的数学思想.
教学重
难点
重点:用根的判别式判断方程是否有实数根.
难点:用根的判别式解决实际问题.
教学活动设计
二次设计
情境导入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解,大家都才解第一个方程呢,小强突然站起来说出每个方程解的情况,你想知道他是如何判断的吗?

探索新知
合作探究
自学指导:
自学教材P142~144,回答下列问题:
1.一元二次方程根的判别式的定义:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac,通常用“ ”表示. 
2.一元二次方程的根与根的判别式b2-4ac的关系:
(1)当b2-4ac>0时,方程有 的实数根. 
(2)当b2-4ac=0时,方程有 的实数根. 
(3)当b2-4ac<0时,方程 实数根. 
3.判断对错:
(1)方程2x2-3x=1中,b2-4ac=17.( )
(2)方程x2+4x+5=0有两个实数根.( )
合作探究:
【例1】 不解方程,判别下列方程根的情况:
(1)5x2-3x-2=0; (2)25y2+4=20y; (3)2x2+x+1=0.




【例2】 k为何值时,关于x的一元二次方程x2-3x+k=0;
(1)有两个相等实数根;
(2)有两个不相等的实数根;
(3)无实数根.




要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
【教师指导】
1.易错点:
(1)计算根的判别式的值时没有把方程化简为一般形式.
(2)当一元二次方程有解时错认为b2-4ac>0,漏掉等号.
2.归纳小结:
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时,要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.
3.方法规律:
根的判别式的三个作用:不解方程,判断b2-4ac的符号直接判断方程根的情况.已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围(注意一元二次方程的二次项系数不能为0).根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况.

当堂训练
1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( )
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)只有一个实数根 (D)没有实数根
2.下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
(A)4x2-5x+2=0 (B)x2-6x+9=0
(C)5x2-4x-1=0 (D)3x2-4x+1=0
3.若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是( )
(A)-1 (B)1 (C)-4 (D)4
4.不解方程,判定下列一元二次方程根的情况:
(1)9x2+6x+1=0; (2)3(x2-1)-5x=0.





5.已知:关于x的方程2x2+kx-1=0,求证:方程有两个不相等的实数根.





板书设计
一元二次方程根的判别式
1.根的判别式
2.由方程根的情况确定字母的取值范围
教学反思






课题
*4.6一元二次方程根与系数的关系
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解一元二次方程根与系数的关系.
(2)会运用根与系数关系解决有关问题.
2.过程与方法
通过观察,归纳,猜想根与系数的关系,并证明此关系成立,使学生理解其理论依据.
3.情感、态度与价值观
培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.
教学重难点
重点:根与系数的关系及推导应用.
难点:利用根与系数的关系解决有关的问题.
教学活动设计
二次设计
情境导入
一般地,对于关于x的方程x2+px+q=0(p,q为已知常数,p2-4q≥0),试用求根公式求出它的两个解x1,x2,算一算x1+x2,x1·x2的值,你能得出什么结果?

探索新知
合作探究
自学指导:
自学教材P146~147实验与探究,回答下列问题:
1.通过填写表格发现:两根和等于 除以 所得商的相反数;两根积等于 除以 所得的商. 
2.完成下面的推导过程:
方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,方程的两根是x1= ,x2= ,x1+x2= ,x1·x2= . 
结论:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,
x1+x2= ,x1·x2= . 
3.判断对错:
(1)一元二次方程6x2+3x+4=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-.( )
(2)一元二次方程两个根之和是5,则其一次项系数一定是-5.( )
合作探究:
【例1】 已知一元二次方程:x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则x2+x1的值为( )
(A)-3 (B)3 (C)-6 (D)6
【例2】 关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若方程两实根x1,x2满足x1+x2=-x1·x2,求k的值.







要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
【教师指导】
1.易错点:
(1)丢掉负号错认为x1+x2=.
(2)忽略应用根与系数关系的前提条件b2-4ac≥0.
2.归纳小结:
(1)运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时,必须先把方程化为一般形式,正确地确定各项系数.
(2)由根与系数的关系求出字母m的值,但一定要代入判别式验算,字母m的取值必须使判别式大于0,这一点很容易被忽略.
(3)求一元二次方程的另一根及未知字母的方法:已知一次项系数:先利用两根的和求另一个根,再利用两根的积求常数项;已知常数项:先利用两根的积求另一个根,再利用两根的和求一次项系数.
3.方法规律:
解决根与系数的有关问题时经常要运用到以下代数式及变形:
① +=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=; ③(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
④|x1-x2|==.

当堂训练
1.已知m,n是方程2x2-x-2=0的两实数根,则+的值为( )
(A)-1 (B) (C)- (D)1
2.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2等于( )
(A)-4 (B)-1 (C)1 (D)4
3.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根,不解方程求下列各式的值:
(1)x1+x2; (2)x1x2; (3)+; (4)+.

4.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1,x2,且满足x1=3x2,试求出方程的两个实数根及k的值.


板书设计
一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程根与系数的关系
2.利用根与系数的关系求代数式的值
教学反思




课题
4.7一元二次方程的应用
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
会用列一元二次方程的方法解决有关图形面积问题和销售利润问题.
2.过程与方法
通过对实际问题的分析,经历寻找等量关系,列出一元二次方程解决实际问题的过程.
3.情感、态度与价值观
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.
教学重
难点
重点:利用一元二次方程解决实际问题.
难点:根据实际问题,确定等量关系,建立一元二次方程的过程.
教学活动设计
二次设计
情境导入
如图,在长为10 cm,宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,你能求出所截去小正方形的边长吗?

探索新知
合作探究
自学指导:
自学教材P149~150回答下列问题:
1.面积类问题中的数量关系:
如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则阴影的面积可表示为 . 
2.利润问题中的数量关系:
(1)利润=售价- . 
(2)利润率=利润÷ . 
(3)总利润=每件利润× =总收入- . 
3.判断对错:
(1)菱形的面积等于底×这边上的高.( )
(2)10元一件的商品9折卖出,则该件商品的售价是9元.( )
合作探究:
【例1】 如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.(部分参考数据:322=1024,522=2 704,482=2 304)




【例2】 某种商品的进价为10元,当售价为x元时,此时能销售该商品(x+10)个,此时获利是1 500元,则该商品的售价为多少元?




要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
【教师指导】
1.易错点:
(1)不能确定题目中的等量关系.
(2)解决图形面积问题时不能进行有效地转化,造成列方程错误.
2.归纳小结:
(1)理清利润、成本和其他费用之间的关系,用数学语言描述等量关系,再列方程,求出解后进行实际意义的验证.
(2)充分利用题目中的已知条件,挖掘隐含条件,考虑实际问题中取值的意义.
3.方法规律:
求解面积问题的方法:规则图形,套用面积公式列方程;不规则图形,采用割补的办法,使其成为规则图形,根据面积间的和、差关系求解.

当堂训练

1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池且游泳池的宽比长短10 m,设游泳池的长为x m,则可列方程为( )
(A)x(x-10)=375 (B)x(x+10)=375
(C)2x(2x-10)=375 (D)2x(2x+10)=375
2.向阳文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是( )
(A)x(x+1)=210 (B)x(x-1)=210
(C)2x(x-1)=210 (D)x(x-1)=210
3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?



4.现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形,做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子,求小正方形的边长.



板书设计
面积问题与利润问题
1.几何图形面积问题
2.销售利润问题
教学反思




课题
4.7 一元二次方程的应用
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题.
2.过程与方法
通过对实际问题的分析,经历寻找等量关系、列出一元二次方程解决实际问题的过程.
3.情感、态度与价值观
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.
教学
重难点
重点:利用一元二次方程解决实际问题.
难点:根据实际问题,确定等量关系,建立一元二次方程的过程.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
某细菌利用二分裂方式繁殖,每次一个分裂成两个,那么五次繁殖后共有多少个细菌呢?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P150~153,回答下列问题:
增长率问题是在原来的量的基础上增长(或降低)多少个百分比的问题.若设原来的产量为a,年平均增长率为x,则一年后的产量为a(1+x).而两年后的产量又以a(1+x)为基础,因平均增长率为x,可表示为 .同样,若x表示平均降低率,则一年后产量为 ,两年后产量为 . 
2.判断对错:
(1)某商场一月份利润为10万元,平均月增长率为10%,则三月份利润为12万元.( )
(2)增长率不能是负数,且不能大于1.( )
(3)增长率和降低率均不能是负数.( )
合作探究
【例1】 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两次降价的百分数相同,求每次降价的百分数?




【例2】 月季生长速度很快,开花鲜艳诱人,且枝繁叶茂.现有一棵月季,它的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支?




要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)不能确定题目中的等量关系.
(2)不理解连续增长的意义,例如把a(1+x)2误认为a(1+2x).
2.归纳小结:
(1)解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量.如果设基础量为a,变化后的量为b,平均每年的增长率(或降低率)为x,则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2=b,求出所需要的量.
(2)解此类问题一般用直接开平方法求解;增长(降低)率不能是负数,降低率要小于1.
3.方法规律:
在应用题中,未知数的允许值往往有一定的限制,因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外,还必须检验它在实际问题中是否有意义.

当堂训练
1.某机械厂7月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,如果每月的增长率x相同,则( )
(A)50(1+x2)=196
(B)50+50(1+x2)=196
(C)50+50(1+x)+50(1+x)2=196
(D)50+50(1+x)+50(1+2x)=196
2.某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣,但上市后销售不佳,为减少库存积压,两次连续降价打折处理,最后价格调整为每套128元.若两次降价折扣率相同,则每次降价率为( )
(A)8% (B)18% (C)20% (D)25%
3.一辆新车购买价为20万元,第一年使用后折旧20%,以后该车的年折旧率有所变化,但它在第二、三年的年折旧率相同.若第三年年末这辆车折旧后价值为11.56万元,则第二、三年的折旧率为 . 
4.随着互联网的迅速发展,某购物网站的年销售额从2015年的200万元增长到2017年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.






板书设计
增长率问题与其他应用
1.增长率问题
2.传播问题
教学反思





第4章 章末复习
主题
一元二次方程
课型
新授课
上课时间

教学内容
4.1 一元二次方程;4.2 用配方法解一元二次方程:第1课时 解二次项系数是1的一元二次方程;第2课时 解二次项系数不是1的一元二次方程;4.3 用公式法解一元二次方程;4.4 用因式分解法解一元二次方程;4.5 一元二次方程根的判别式;*4.6 一元二次方程根与系数的关系;4.7 一元二次方程的应用:第1课时 面积问题与利润问题;第2课时 增长率问题与其他应用.
教材分析
一元二次方程是在代数式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本册书的重点内容.
教学
重难点
重点:
1.一元二次方程及其他有关的概念.
2.用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.
3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.
难点:
1.用一元二次方程配方法解题.
2.用公式法解一元二次方程.
3.建立一元二次方程解决实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.
知识点回顾
知识点1:一元二次方程的解法
1.一元二次方程x2-9=3-x的根是( C )
(A)x=3 (B)x=-4
(C)x1=3,x2=-4 (D)x1=3,x2=4
2.方程(x+1)(x-3)=5的解是( B )
(A)x1=1,x2=-3 (B)x1=4,x2=-2
(C)x1=-1,x2=3 (D)x1=-4,x2=2
3.解下列方程.
(1)3y2-3y-6=0; (2)2x2-3x+1=0.
解:(1)3y2-3y-6=0,
y2-y-2=0,
y2-y+-=0,
y-2=,
y-=±,
所以y1=2,y2=-1.
(2)2x2-3x+1=0,
则b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1.
所以x=.
所以x1=1,x2=.

续表

知识点2:一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
4.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,
(1)证明:不论m为何值,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?
(1)证明:Δ=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.
因为不论m为何值,(m-2)2≥0,即Δ≥0.
所以不论m为何值,方程总有实数根.
(2)解:解关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,
得x==.
所以x1=,x2=1.
因为方程的两个根都是正整数,
所以是正整数.
所以m=1或m=2.
因为两根不相等,
所以m≠2.
所以m=1.
知识点3:一元二次方程的应用
5.小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(求出剪成的两段铁丝的长度)
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.
解:(1)设剪成的较短的一段长为x cm,则较长的一段长为(40-x)cm,
由题意,得2+2=58,
解得x1=12,x2=28.
当x=12时,较长的一段长为40-12=28(cm),
当x=28时,较长的一段长为40-28=12(cm)<28 cm(舍去).
所以较短的一段长为12 cm,较长的一段长为28 cm.
(2)对.理由如下:设剪成的较短的一段长为m cm,则较长的一段长为(40-m)cm,
由题意,得2+2=48,
变形为m2-40m+416=0.
因为Δ=(-40)2-4×416=-64<0,
所以原方程无实数解.
所以小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.



教材例题变式

第1章 图形的相似
1.1 相似多边形
变式1:下列四组图形中,一定相似的是( D )
(A)正方形与矩形 (B)正方形与菱形
(C)菱形与菱形 (D)正五边形与正五边形
变式2:如图,已知图中的两个四边形相似,AB∥CD,求出未知边x,y,z的长度和角α,β的度数.

解:因为两个四边形相似,它们的对应边成比例,对应角相等,
所以===且∠D=∠D'=α,∠C=∠C'=110°,
解得x=3,y=6,z=3.
因为四边形ABCD中,AB∥CD,
所以α=180°-62°=118°,
β=180°-110°=70°.
1.2 怎样判定三角形相似
第1课时 平行线分线段成比例定理
变式1:如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么的值等于 . 

变式2:如图,已知AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点O.

(1)如果CE=3,EB=9,DF=2,求AD的长;
(2)如果BO∶OE∶EC=2∶4∶3,AB=3,求CD的长.
解:(1)因为AB∥EF∥CD,
所以=,
因为CE=3,EB=9,DF=2,
所以=,
所以FA=6,
所以AD=FA+DF=6+2=8,
即AD的长是8.
(2)因为BO∶OE∶EC=2∶4∶3,
所以BO∶OC=2∶7.
因为AB∥CD,
所以==,
因为AB=3,
所以CD=10.5
第2课时 相似三角形的判定定理1
变式1:如图,DE与△ABC的边AB,AC分别相交于D,E两点,且DE∥BC.若AD∶BD=3∶1,BC=8,则DE等于( A )
(A)6 (B) (C) (D)2

变式2:如图,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线,求证:BC2=DC·AC.

证明:因为AB=AC,∠A=36°,
所以∠ABC=∠C=72°,
因为BD是角平分线,
所以∠ABD=∠DBC=36°,
所以∠A=∠CBD,
又因为∠C=∠C,
所以△ABC∽△BDC.
所以=.
所以BC2=DC·AC.
第3课时 相似三角形的判定定理2
变式1:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是( B )
(A)①和②相似 (B)①和③相似
(C)①和④相似 (D)②和④相似




解析:因为OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD,
所以△AOB∽△COD.
故选B.
变式2:已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AB,CB延长线上的点,CE=9,AD=15,连接DE.若BC=6,AC=8,求证:△ABC∽△DBE.

证明:因为在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,
所以AB==10,
所以DB=AD-AB=15-10=5,
所以DB∶AB=1∶2.
又因为EB=CE-BC=9-6=3,
所以EB∶BC=1∶2,
所以EB∶BC=DB∶AB,
又因为∠DBE=∠ABC=90°,
所以△ABC∽△DBE.
第4课时 相似三角形的判定定理3变式1:如图,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③=,④=,⑤AC2=AD·AE,使△ADE与△ACB一定相似的有( A )
(A)①②④ (B)②④⑤
(C)①②③④ (D)①②③⑤
变式2:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?
解:△ABC∽△EDF.理由如下:
在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°,由勾股定理得AC===8.
在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°,由勾股定理得ED===5.
在△ABC和△EDF中,
==2,==2,==2,
所以==,
所以△ABC∽△EDF.
第5课时 相似三角形的应用
变式1:如图,一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻测得高为1 m的竹竿影长为0.9 m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上(CD),他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m,又测得地面部分的影长(BC)为2.7 m,他测得的树高应为多少米?

解:设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m,树高为h m,
因为某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m,墙上的影高CD为1.2 m,
所以=,
解得x=1.08,
所以树的影长为1.08+2.7=3.78(m),
所以=,
解得h=4.2.
答:测得的树高为4.2米.
变式2:小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度.如图,在水平地面点E处放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离AE=20 m.当她与镜子的距离CE=2.5 m时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6 m,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注:入射角=反射角).

解:根据光的反射定律知∠BEA=∠DEC,
因为∠BAE=∠DCE=90°,
所以△BAE∽△DCE,
所以=.
因为CE=2.5 m,DC=1.6 m,AE=20 m,
所以=,所以AB=12.8(m),
所以大楼AB的高度为12.8 m.
1.3 相似三角形的性质
变式1:如图所示,平行四边形ABCD中,E是BC边上一点,且BE=EC,BD,AE相交于F点.
(1)求△BEF与△AFD的周长之比;
(2)若S△BEF=6 cm2,求S△AFD.




解:(1)因为在平行四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,
所以△BEF∽△AFD.
又因为BE=EC=BC,
所以===,
所以△BEF与△AFD的周长之比为
=.
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF,且相似比为,
所以=2,
所以S△AFD=4S△BEF=4×6=24(cm2).
变式2:如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m有一棵树,在北岸边每隔50 m有一根电线杆.小丽站在离南岸边15 m的点A处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽.

解:如图所示,由题意得BC=50 m,DE=20 m,且DE∥BC,过A作AG⊥BC于G,交DE于F,则AF⊥DE,且AF=15 m.
因为BC∥DE,
所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
所以△ADE∽△ABC,
所以=,即=,
所以AG=37.5 m,
所以GF=AG-AF=37.5-15=22.5(m).
答:河宽为22.5 m.

1.4 图形的位似
第1课时 位 似
变式1:如图,四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形,且AC∶AF=2∶3,则下列结论不正确的是(D)
(A)四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
(B)点A是位似中心
(C)∠E=∠B
(D)EA∶AB=2∶3
变式2:按要求画位似图形:(1)图①中,以O为位似中心,把△ABC放大到原来的2倍;(2)图②中,以O为位似中心,把△ABC缩小为原来的.

解:(1)如图①,画图步骤:
①连接OA,OB,OC;
②分别延长OA至D,OB至E,OC至F,使AD=OA,BE=BO,CF=CO;
③顺次连接D,E,F,
则△DEF是所求作的三角形.
(2)如图②,画图步骤:
①连接OA,OB,OC,
②作射线CP,在CP上取点M,N,Q使MN=NQ=CQ,
③连接OM,
④作NF∥OM交OC于F,
⑤再依次作EF∥BC交OB于点E,DE∥AB交OA于点D,
⑥连接DF,
则△DEF是所求作的三角形.

第2课时 位似的坐标变化
变式1:如图,已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,P是位似中心,若点B的坐标为(2,4),点E的坐标为(-1,2),则点P的坐标为 (-2,0) . 

变式2:在13×13的网格图中,已知△ABC和点M(1,2).
(1)以点M为位似中心,相似比为2,画出△ABC的位似图形△A'B'C';
(2)写出△A'B'C'的各顶点坐标.

解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)△A'B'C'的各顶点坐标分别为A'(3,6),B'(5,2),C'(11,4).

第2章 解直角三角形
2.1 锐角三角比
变式1:在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大2倍,则锐角A的正弦值( C )
(A)扩大2倍 (B)缩小
(C)不变 (D)无法确定
变式2:已知等腰三角形的一条腰长为25 cm,底边长为30 cm,求底角的正弦值.
解:

如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
因为AB=AC=25 cm,BC=30 cm,AD为底边上的高,
所以BD=BC=15 cm.
由勾股定理得AD==20 cm,
所以sin∠ABC===.
2.2 30°,45°,60°角的三角比
变式1:计算:
(1)2cos 60°·sin 30°-sin 45°·sin 60°;
(2).
解:(1)2cos 60°·sin 30°-sin 45°·sin 60°
=2××-××
=-=-1.
(2)==2-3.
变式2:在△ABC中,若|2sin A-1|+(3tan B-)2=0,∠A,∠B为锐角,请判断△ABC的形状.
解:因为|2sin A-1|+(3tan B-)2=0,
所以2sin A-1=0,3tan B-=0,
所以sin A=,tan B=,
因为∠A,∠B为锐角,
所以∠A=30°,∠B=30°,
所以∠A+∠B=60°,
则△ABC为钝角三角形.
2.3 用计算器求锐角三角比
变式1:若计算器的四个键的序号如图所示,在角的度量单位为“度的状态下”用计算器求sin 4°,正确的按键顺序是( B )

(A)(1)(2)(3)(4) (B)(2)(4)(1)(3)
(C)(1)(4)(2)(3) (D)(2)(1)(4)(3)
变式2:已知:如图,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.
求:(1)AB边上的高(精确到 0.01);
(2)∠B的度数(精确到1').


解:(1)过点C作AB边上的高CH,垂足为点H,
因为在Rt△ACH中,sin A=,
所以CH=AC·sin A=9sin 48°≈6.69.
(2)因为在Rt△ACH中,cos A=,
所以AH=AC·cos A=9cos 48°,
所以在Rt△BCH中,
tan B===≈3.382,
所以∠B≈73°32'.
2.4 解直角三角形
变式1:已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,按下列条件解直角三角形.
(1)若a=36,∠B=30°,求∠A的度数和边b,c的长;
(2)若a=6,b=6,求∠A,∠B的度数和边c的长.
解:(1)在Rt△ABC中,
因为∠B=30°,
所以∠A=90°-∠B=60°,
因为cos B=,a=36,
所以c===24,
所以b=sin B·c=×24=12.
(2)在Rt△ABC中,
因为a=6,b=6,
所以tan A==,
所以∠A=30°,
所以∠B=60°,
所以c=2a=12.
变式2:如图,在△ABC中,已知∠C=90°,sin A=,D为边AC上一点,∠BDC=45°,DC=6.求△ABC的面积.

解:因为∠C=90°,
所以在Rt△ABC中,sin A==,
设BC=3k,则AB=7k(k>0),
在Rt△BCD中,
因为∠BCD=90°,∠BDC=45°,
所以∠CBD=∠BDC=45°,
所以BC=CD=3k=6,
所以k=2,
所以AB=14.
在Rt△ABC中,
AC===4,
所以S△ABC=AC·BC=×4×6=12.
所以△ABC的面积是12.
2.5 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角问题
变式1:如图,某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中,已测得仰角∠CAE=33°,AB=a,BD=b,则下列求旗杆CD长的正确式子是( C )
(A)CD=bsin 33°+a (B)CD=bcos 33°+a
(C)CD=btan 33°+a (D)CD=+a

解析:由题意得AE=BD,AB=ED,
即AE=b,ED=a.
在Rt△AEC中,∠CAE=33°,CE=AEtan 33°=btan 33°.
则CD=CE+ED=btan 33°+a.
故选C.
变式2:某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中,为了测量某建筑物AB的高,他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12 m的建筑物CD上的C处观察,测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1 m,可供选用的数据:≈1.4,≈1.7).

解:过点C作AB的垂线,垂足为E,
因为CD⊥BD,AB⊥BD,CE⊥AB,∠ECB=45°,
所以四边形CDBE是正方形.
因为BD=12 m,
所以BE=CE=12 m,
所以AE=CE·tan 30°=12×=4(m),
所以AB=AE+BE=4+12≈19(m).
答:建筑物AB的高约为19 m.
第2课时 方位角问题
变式1:如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的正东方向上的B处.这时,B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为(D)
(A)40海里 (B)40tan 37°海里
(C)40cos 37°海里 (D)40sin 37°海里




解析:因为一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,
所以∠BAP=37°,
因为AP=40海里,
所以BP=AP·sin 37°=40sin 37°海里.
故选D.
变式2:如图所示,A,B两城市相距200 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心,100 km为半径的圆形区域内,请问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据:≈1.732,≈1.414).

解:过点P作PC⊥AB,C是垂足.
则∠APC=30°,∠BPC=45°,
AC=PC·tan 30°,BC=PC·tan 45°.
因为AC+BC=AB,
所以PC·tan 30°+PC·tan 45°=200,
即PC+PC=200,
解得PC≈126.8 km>100 km.
答:计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.

第3课时 坡度、坡角问题
变式1:如图,一山坡的坡度为i=1∶,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了 100 米. 

变式2:如图,某水库大坝的横截面为梯形ABCD,坝顶宽BC=3米,坝高为2米,背水坡AB的坡度i=1∶1,迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度.

解:分别过B,C作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足为E,F,
所以BE∥CF,
又因为BC∥AD,
所以BC=EF,BE=CF.
由题意,得EF=BC=3,BE=CF=2.
因为背水坡AB的坡度i=1∶1,
所以∠BAE=45°,
所以AE==2,DF==2,
所以AD=AE+EF+DF
=2+3+2=(5+2)(m).
答:坝底AD的长度为(5+2)m.
第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性
第1课时 垂径定理
变式1:已知:如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3 cm,DB=10 cm,以DB为直径作☉O交射线AP于E,F两点,求圆心O到AP的距离及EF的长.

解:如图,过点O作OG⊥AP于点G,连接OF,
因为DB=10 cm,
所以OD=5 cm,
所以AO=AD+OD=3+5=8(cm).
因为∠PAC=30°,
所以OG=AO=×8=4(cm).
因为OG⊥EF,所以EG=GF.
因为GF===3(cm),
所以EF=2GF=6(cm),
所以圆心O到AP的距离为4 cm,EF的长为6 cm.
变式2:如图,两边平行的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与直径为10 cm的圆相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“4”和“12”(单位: cm),求刻度尺的宽.

解:如图,连接OB,
根据垂径定理,得BE=AB=4,
根据题意,得
(5-DE)2+16=52,
解得DE=2,
所以该刻度尺的宽度为2 cm.
第2课时 弧、弦、圆心角之间的关系
变式1:如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O于点E,F.试证:=.

证明:因为OC=OD,
所以∠OCD=∠ODC.
因为AO=OB,
所以∠A=∠B.
所以∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,
即∠AOC=∠BOD,
即∠AOE=∠BOF.
所以=.
变式2:如图,在☉O中,半径OA⊥OB,C是OB延长线上一点,AC交☉O于点D,若∠C=40°,求弧AD的度数.

解:连接OD,
因为∠AOC=90°,∠C=40°,
所以∠A=180°-90°-40°=50°,
因为OA=OD,
所以∠ADO=∠A=50°,
所以∠AOD=180°-∠A-∠ADO=80°,
所以的度数是80°.
3.2确定圆的条件
变式1:如图,已知在平面直角坐标系内三点A(3,0),B(5,0),C(0,4),☉P经过点A,B,C,则点P的坐标为( C )
(A)(6,8) (B)(4,5) (C)4, (D)4,





解析:因为☉P经过点A,B,C,
所以点P在线段AB,AC的垂直平分线上,
所以点P的横坐标为4,
设点P的坐标为(4,y),如图,作PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F,连接PA,PC,
则PA=PC,
在Rt△PEA与Rt△PFC中,
AE=1,PE=y,
则PA2=12+y2,
PF=4,CF=y-4,PC2=42+(y-4)2,
即42+(y-4)2=12+y2,
解得y=.
故选C.
变式2:已知一个数小于它的绝对值,求证这个数必是负数.
证明:设这个数为a,
假设a不是负数,
则有两种情况:a为正数或a为0.
当a为正数时,a的绝对值等于本身,与题设矛盾.
当a=0时,0的绝对值等于0,这与题设相矛盾,
所以假设不成立,故原结论是正确的.
3.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及推论
变式1:下列说法正确的是( D )
(A)顶点在圆上的角是圆周角
(B)两边都和圆相交的角是圆周角
(C)顶点在圆上,且一边和圆相交的角是圆周角
(D)一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
变式2:如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC,若∠BAC和∠BOC互补,求弦BC的长度.

解:如图,过点O作OD⊥BC于点D,
则BD=CD=BC.
因为∠BAC+∠BOC=180°,
∠BAC=∠BOC,
所以∠BOC=120°,∠BAC=60°,
所以∠BOD=60°.
在Rt△BOD中,BD=OBsin 60°=2,
所以BC=4.

第2课时 圆周角定理的推论2,3,4
变式1:如图,点A,B,C,D在☉O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= 60 度. 

变式2:如图,已知△ABC的顶点在☉O上,AD是
△ABC的高,AE是☉O的直径,求证:∠BAE=∠CAD.

证明:如图,连接BE,
因为AE是☉O的直径,
所以∠ABE=90°,
所以∠BAE+∠E=90°.
因为AD是△ABC的高,
所以∠ADC=90°,
所以∠CAD+∠C=90°.
因为=,
所以∠E=∠C.
因为∠BAE+∠E=90°,∠CAD+∠C=90°,
所以∠BAE=∠CAD.
3.4直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
变式1:已知等腰三角形的腰长为6 cm,底边长为 4 cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心,5 cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是( A )
(A)相离 (B)相切
(C)相交 (D)不能确定
变式2:如图,∠ACB=60°,☉O的圆心O在边BC上,☉O的半径为3,在圆心O向点C运动的过程中,当CO等于多少时☉O与直线CA相切?

解:作OD⊥AC于点D,
当☉O与直线CA相切时,
则OD为圆的半径3,
即OD=3,
因为∠ACB=60°,
所以sin 60°==,
所以CO=2.
第2课时 切线的判定
变式1:如图,A是☉O上一点,且PA=12,PB=8,OB=5,则PA与☉O的位置关系是 相切 . 

变式2:如图,点D在☉O的直径AB的延长线上,点C在☉O上,AC=CD,∠D=30°.求证:CD是☉O的切线.

证明:如图,连接OC,
因为AC=CD,∠D=30°,
所以∠A=∠D=30°.
因为OA=OC,
所以∠ACO=∠A=30°,
所以∠COD=60°,
所以∠OCD=90°,
即OC⊥CD.
所以CD是☉O的切线.
第3课时 切线的性质
变式1:如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,OP与☉O相交于点C,连接CB,∠OPA=40°,求
∠ABC的度数.

解:因为AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,
所以∠BAP=90°,
因为∠OPA=40°,
所以∠AOP=180°-90°-40°=50°,
因为OB=OC,
所以∠B=∠BCO,
又因为∠AOP=∠B+∠BCO,
所以∠ABC=∠AOP=×50°=25°.
变式2:如图,PA为☉O的切线,A为切点.直线PO与☉O交于B,C两点,∠P=30°,连接AO,AB,AC.
(1)求证:△ACB≌△APO;
(2)若AP=,求☉O的半径.

(1)证明:因为PA为☉O的切线,A为切点,
所以∠OAP=90°.
又因为∠P=30°,
所以∠AOB=60°,
又OA=OB,
所以△AOB为等边三角形.
所以AB=AO,∠ABO=60°.
又因为BC为☉O的直径,
所以∠BAC=90°.
在△ACB和△APO中,∠BAC=∠OAP,AB=AO,∠ABO=∠AOB,
所以△ACB≌△APO.
(2)解:在Rt△AOP中,∠P=30°,AP=,
所以AO=1,
即☉O的半径为1.
第4课时 切线长定理
变式1:如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,☉O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在上.若PA长为2,则△PEF的周长是 4 . 

解析:因为PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
所以PA=PB.
因为☉O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点为C,
所以EA=EC,CF=BF,
所以△PEF的周长为
PE+EF+PF
=PE+EC+CF+PF
=(PE+EA)+(BF+PF)
=PA+PB
=2+2
=4.
变式2:如图,已知☉O中,AC为直径,MA,MB分别切☉O于点A,B,过点B作BD⊥AC于点E,交☉O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小.

解:如图,连接AD,AB.
因为MA⊥AC,BD⊥AC,
所以BD∥MA.
又因为BD=MA.
所以四边形MADB是平行四边形.
因为MA=MB,
所以四边形MADB是菱形,
所以AD=BD.
又因为AC为直径,BD⊥AC,
所以=,
所以AB=AD.
所以△ABD是等边三角形,
所以∠D=60°.
所以在菱形MADB中,∠AMB=∠D=60°.
3.5 三角形的内切圆
变式1:如图,☉O内切于△ABC,切点D,E,F分别在BC,AB,AC上.已知∠B=45°,∠C=65°,连接OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于( B )
(A)40° (B)55° (C)65° (D)70°





解析:因为∠A+∠B+∠C=180°,∠B=45°,∠C=65°,
所以∠A=70°.
因为☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,
所以∠OEA=∠OFA=90°,
所以∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°,
所以∠EDF=∠EOF=55°.故选B.
变式2:如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与BC相交于点F,与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)求证:∠BAD=∠CBD;
(2)求证:DE=DB.





证明:(1)因为E是△ABC的内心,
所以∠BAD=∠CAD,
因为∠CAD=∠CBD,
所以∠BAD=∠CBD.
(2)连接BE,如图,
因为E是△ABC的内心,
所以∠ABE=∠EBF,
因为∠BED=∠BAD+∠ABE,
∠DBE=∠EBF+∠CBD,且∠BAD=∠CBD,
所以∠BED=∠DBE,
所以DE=DB.
3.6弧长及扇形面积的计算
变式1:120°的圆心角对的弧长是6π,则此弧所在圆的半径是( C )
(A)3 (B)4 (C)9 (D)18
变式2:如图,半径为1 cm、圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( C )
(A)π cm2 (B)π cm2 (C) cm2 (D) cm2

解析:设两个半圆的交点为C,连接OC,AB.
根据题意知,点C是半圆,的中点,
所以==,
所以BC=OC=AC,
即四个弓形的面积都相等,
所以图中阴影部分的面积等于Rt△AOB的面积.
又因为OA=OB=1 cm,
即图中阴影部分的面积为 cm2.
故选C.
变式3:在半径为1 cm的圆中,圆心角为120°的扇形的弧长是 π cm. 
3.7正多边形与圆
变式:已知正六边形的边心距为,求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积.
解:如图,连接OB,OC,过点O作OH⊥BC于H,
因为六边形ABCDEF是正六边形,
所以∠BOC=×360°=60°,
所以中心角是60°.
因为OB=OC,
所以△OBC是等边三角形,
所以BC=OB=OC.
因为OH=,
sin∠OBC==,
所以OB=BC=2.
所以内角为=120°,外角为60°,
周长为2×6=12,
S正六边形ABCDEF=6S△OBC=6××2×=6.
第4章 一元二次方程
4.1 一元二次方程
变式1:观察表格中的数据,可得出当2x2-3x-4=0时,未知数x的大致范围是( D )
x
-2
-1
0
1
2
3
4
2x2-3x-4
10
1
-4
-5
-2
5
16
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)-1 变式2:把下列方程转化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)x(x-2)=4x2-3x; (2)-=;
(3)关于x的方程mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0).
解:(1)去括号,得x2-2x=4x2-3x.
移项、合并同类项,得3x2-x=0.
所以二次项系数为3,一次项系数为-1,常数项为0.
(2)去分母,得2x2-3(x+1)=3(-x-1).
去括号、移项、合并同类项,得2x2=0.
所以二次项系数为2,一次项系数为0,常数项为0.
(3)移项、合并同类项,得
(m+n)x2+(m-n)x+p-q=0.
所以二次项系数为m+n,一次项系数为m-n,常数项为p-q.
4.2用配方法解一元二次方程
第1课时 解二次项系数是1
的一元二次方程
变式1:用配方法将x2-8x-1=0变形为(x-4)2=m,下列选项中,m的值正确的是( A )
(A)17 (B)15 (C)9 (D)7
变式2:用直接开平方法解下列方程:
(1)x2-16=0;(2)3x2-27=0;
(3)(x-2)2=9;(4)(2y-3)2=16.
解:(1)移项,得x2=16.
开方,得x=±4,
即x1=4,x2=-4.
(2)移项,得3x2=27.
两边同时除以3,得x2=9.
开方,得x=±3,
即x1=3,x2=-3.
(3)开方,得x-2=±3,
即x-2=3或x-2=-3,
即x1=5,x2=-1.
(4)开方,得2y-3=±4,
即2y-3=4或2y-3=-4,
即y1=,y2=-.
第2课时 解二次项系数不是1
的一元二次方程
变式1:用配方法解下列方程:
3x2+8x-3=0.
解:方程两边同时除以3,得x2+x-1=0.
移项,得x2+x=1.
配方,得x2+x+2=1+2,
即x+2=2.
直接开平方,得x+=±.
所以原方程的根是x1=,x2=-3.
变式2:求证:无论x,y为何值,4x2-12x+9y2+30y+35的值恒为正.
证明:因为4x2-12x+9y2+30y+35
=4x2-12x+9+9y2+30y+25-9-25+35
=(2x-3)2+(3y+5)2+1≥1,
所以多项式4x2-12x+9y2+30y+35的值恒为正.
4.3 用公式法解一元二次方程
变式1:已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1,则下面对x1的估计正确的是( A )
(A)-2 (C)2 解析:因为a=1,b=-1,c=-3,
所以b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13,
所以x=,
所以方程的较小的根是,
因为3<<4,
所以-4<-<-3,
所以-3<1-<-2,
所以-<<-1,
所以对x1的估计正确的是-2 故选A.
变式2:用公式法解下列方程:
(1)-3x2-5x+2=0;
(2)2x2+3x+3=0.
解:(1)方程两边同乘以-1得
3x2+5x-2=0.
因为a=3,b=5,c=-2,
所以b2-4ac=52-4×3×(-2)=49>0,
所以x==,
所以x1=,x2=-2.
(2)因为a=2,b=3,c=3
所以b2-4ac=32-4×2×3=-15<0,
所以原方程没有实数根.
4.4 用因式分解法解一元二次方程
变式1:用因式分解法解下列方程:
(1)x2+5x=0;
(2)(x-5)(x-6)=x-5.
解:(1)原方程转化为x(x+5)=0,
所以x=0或x+5=0,
所以原方程的解为x1=0,x2=-5.
(2)转化为(x-5)(x-6)-(x-5)=0,
所以(x-5)[(x-6)-1]=0,
所以(x-5)(x-7)=0,
所以x-5=0或x-7=0,
所以原方程的解为x1=5,x2=7.
变式2:用公式法分解因式解下列方程:
(1)x2-6x=-9;
(2)4(x-3)2-25(x-2)2=0.
解:(1)原方程可变形为x2-6x+9=0,
则(x-3)2=0,
所以x-3=0,
所以原方程的解为x1=x2=3.
(2)[2(x-3)]2-[5(x-2)]2=0,
[2(x-3)+5(x-2)][2(x-3)-5(x-2)]=0,
即(7x-16)(-3x+4)=0,
所以7x-16=0或-3x+4=0,
所以原方程的解为x1=,x2=.
4.5 一元二次方程根的判别式
变式1:下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是( D )
(A)a>0 (B)a=0 (C)c>0 (D)c=0
解析:因为一元二次方程有实数根,
所以Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0,
所以ac≤4,且a≠0.
若a>0,当a=1,c=5时,ac=5>4,所以A选项错误;a=0不符合一元二次方程的定义,所以B选项错误;
若c>0,当a=1,c=5时,ac=5>4,所以C选项错误;若c=0,则ac=0≤4,所以D选项正确.
故选D.
变式2:关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足的条件是 a≥1 . 
变式3:已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.
(1)若此方程的一个根为1,求m的值.
(2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
(1)解:根据题意,将x=1代入,
得1+m+m-2=0,
解得m=.
(2)证明:因为Δ=m2-4×1×(m-2)
=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,
所以不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
*4.6 一元二次方程根与
系数的关系
变式1:已知x=4是一元二次方程x2-3x+c=0的一个根,则另一个根为 -1 . 
变式2:已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根,则+= -2 . 
解析:因为一元二次方程x2-2x-1=0的两根为x1,x2,x1+x2=2,x1·x2=-1,
所以+==-2.
变式3:已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,求m的值.
解:因为α,β是方程的两个不相等的实数根,
所以α+β=-(2m+3),αβ=m2.
又因为+===-1,
化简整理,得m2-2m-3=0.
解得m=3或m=-1.
当m=-1时,方程为x2+x+1=0,
此时Δ=12-4<0,方程无解,
所以m=-1应舍去.
当m=3时,方程为x2+9x+9=0,
此时Δ=92-4×9>0,
方程有两个不相等的实数根.
综上所述,m=3.

4.7 一元二次方程的应用
第1课时 面积问题与利润问题
变式1:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1.在温室内,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,其他三侧内墙各保留1 m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288 m2?

解:设矩形温室的宽为x m,则长为2x m.
根据题意,得(x-2)·(2x-4)=288.
解得x1=-10(不合题意,舍去),x2=14.
所以x=14,2x=2×14=28.
答:当矩形温室的长为28 m,宽为14 m时,蔬菜种植区域的面积是288 m2.
变式2:某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时,能卖500件.已知该商品每涨价1元,销售量就会减少10件,为获得8 000元的利润,且尽量减少库存,售价应为多少?
解:设每件商品涨价x元,根据题意,得
(50+x-40)(500-10x)=8 000,
即x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30.
经检验,得x1=10,x2=30都是原方程的解.
当x=10时,售价为10+50=60(元),
销售量为500-10×10=400(件);
当x=30时,售价为30+50=80(元),
销售量为500-10×30=200(件).
因为要尽量减少库存,
所以取x=10,此时售价应为60元.
答:售价应为60元.
第2课时 增长率问题与其他应用
变式1:某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同.
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率;
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件?
解:(1)设这种产品产量的年增长率为x,根据题意列方程得100(1+x)2=121,
解得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).
答:这种产品产量的年增长率为10%.
(2)100×(1+10%)=110(万件).
答:2014年这种产品的产量应达到110万件.
变式2:有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,
解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)7×64=448(人).
答:第三轮将又有448人被传染.