中考数学二轮复习考点精讲专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题（教师版）

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专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题


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方法技巧



若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出点E的坐标.

以其中一个已知点(如:点B)作为起点，列出所有对角线的情况(如:BD,BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可.
题型精讲


题型一：平行四边形存在性问题
【例1】（2021·湖南）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或．
【分析】
（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；
（2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；
（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为，即为；
（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，
∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∵，
∴∠AED=∠CAO=45°，
∴∠AED=∠PEF=45°，
∵，
∴△PEF是等腰直角三角形，
过点F作FT⊥PD于点，如图所示：


∴，
∴，
∴要使面积最大则PE的值为最大即可，
设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
设点，则，
∴，
∵-1＜0，开口向下，
∴当时，PE有最大值，即为，
∴△PEF面积的最大值为；
（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线，
∴，∠CAO=∠ADQ=45°，
①当以AC为平行四边形的边时，如图所示：


过点P作PG⊥l于点G，
∵四边形APQC是平行四边形，
∴，AC∥PQ，
∴∠ADQ=∠PQG=45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
∴，
∴点P的横坐标为-4，
∴；
②当以AC为平行四边形的边时，如图所示：


同理①可得点P的横坐标为2，
∴；
③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：


∵四边形AQCP是平行四边形，
∴，
设点，
∴由中点坐标公式可得：，
∴，
∴；
综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．

题型二：菱形存在性问题
【例2】（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．

（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b=，c=；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0