中考数学二轮复习考点精讲专题29 锐角三角函数与运用（教师版）

考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值

1．锐角三角函数的概念

（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.

（2）在△ABC中，∠C=90°,

∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cos A=,∠A的正切tan A=.

2．特殊角的三角函数值(填写下表)

【例1】（2021·湖南）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．

【详解】

解：A、，此选项正确；

B、，此选项错误；

C、，此选项错误；

D、，此选项错误；

故选：A．

【例2】如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．

【详解】

解：连接AD，如右图所示，

∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，

∴∠DAC=90°，

∴AD==8，

∴cos∠ADC==，

∵∠ABC=∠ADC，

∴cos∠ABC的值为，

故选：A．

1．（2021·天津）的值等于（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】

根据30°的正切值直接求解即可．

【详解】

解：由题意可知，，

故选：A．

2．（2021·浙江）如图，已知在中，，则的值是______．

【答案】

【分析】

在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．

【详解】

解： ，

故答案为：

考点2：三角函数与图形结合

【例3】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）

A．sinB B．sinC

C．tanB D．sin2B+sin2C＝1

【答案】A

【分析】

根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．

【详解】

解：由勾股定理得：

,

∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

∴，，，，只有A错误．

故选择：A．

1．（2020聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．

【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，

∴AC=，

∴sin∠ACH=，

故选：D．

2．（2020凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C．2 D．2

【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．

【解析】如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，

AD2，BD，

∴tanA=，

故选：A．

考点3：解直角三角形

1．解直角三角形

（1）解直角三角形的概念

在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.

（2）直角三角形的解法

直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:

① 已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=; 

② 已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=; 

③ 已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tan A=; 

④ 已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sin A=. 

【例4】（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】A

【分析】

根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．

【详解】

过点A作，如图所示：

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：A．

【例5】（2021·四川乐山市）在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________．

【答案】或或2

【分析】

依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．

【详解】

解：情形1：，则，

，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴；

情形2：，则，，，

∵，

∴，

∴，解得；

情形3：，则，，，

∵，

∴；

故答案为：或或2．

1．（2021·云南）在中，，若，则的长是（    ）

A． B． C．60 D．80

【答案】D

【分析】

根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，

∴BC=100×3÷5=60，

∴AB==80，

故选D．

2．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据勾股定理和三角函数求解．

【详解】

∵在中，，

∴

在中，，

故选：A．

3．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】

如图，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，可得结论．

【详解】

解：如图，过点C作CH⊥AB于H．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴OC＝AB＝，
∵＝•AB•CH＝•AC•BC，
∴CH＝，
∴sin∠BOC＝＝，
故选：B．

考点4：解直角三角形

1．与解直角三角形有关的名词、术语

（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.

从下向上看,叫做仰角;

从上往下看,叫做俯角.

（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.

（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.

【例6】如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．

【详解】

解：过作于，于，

，，

斜坡的斜面坡度，

，

设，，

，

，

，，

，

，

，

，

故选：A．

【例7】小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）

【答案】

【分析】

作于E，于F，易得四边形BCFE是矩形，则，，设，则，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，在中，，根据题意得到，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．

【详解】

解：如图，作于E，于F，

，

四边形BCFE是矩形，

，，

设，则，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

解得：，

，

，

，

，

由勾股定理得，

，

，

答：公园北门A与南门B之间的距离约为．

解直角三角形的应用问题的有关要点

（1）应用范围：

通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，

如：测不易直接测量的物体的高度、河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.

（2）一般步骤

① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）.

② 根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化为实际问题的答案.

1．（2021·湖北黄冈市）如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，）

【答案】

【分析】

先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．

【详解】

解：由题意得：，

是等腰直角三角形，

，

设，则，

在中，，即，

解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
 

即建筑物的高约为，

故答案为：．

2．（2021·四川凉山彝族自治州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．

（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；

（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

【答案】（1）2米；（2）米

【分析】

（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；

（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．

【详解】

解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：

在Rt△CDH中，，

∴CH=3DH，

∵CH2+DH2=CD2，

∴（3DH）2+DH2=（）2，

解得：DH=2或-2（舍），

∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；

（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，

由题意得，∠AGC=30°，

∴GH===，

∵CH=3DH=6，

∴GC=GH+CH=+6，

在Rt△BAC中，∠ACB=45°，

∴AB=BC，

∴tan∠AGB=，

解得：AB=，

即大树AB的高度为米．

3．（2021·江苏连云港市）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．

（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；

（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】（1）8.1m；（2）4.58m

【分析】

（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;

（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．

【详解】

（1）过点作，垂足为，延长交于点，

则，垂足为．

由，∴，

∴，即，

∴，

由，∴，

∴，即，

∴．

又，∴，

∴，即，

∴，

即到岸边的距离为．

（2）过点作，垂足为，延长交于点，

则，垂足为．

由，∴，∴，

即，∴．

由，∴，∴，

即，∴．

∴，

∴，

即点到岸边的距离为．