2022-2023学年江西省赣州市高二下学期期中调研测试数学试题含解析

2022-2023学年江西省赣州市高二下学期期中调研测试数学试题

一、单选题

1．双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程性质和双曲线的离心率公式，即可求解.

【详解】由双曲线中，

所以离心率，

故选：C.

2．已知等比数列中，，则（    ）

A．20 B．17 C．16 D．15

【答案】B

【分析】根据等比数列通项公式项的性质求解即可.

【详解】.

故选:B.

3．已知，的导函数分别为，且，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】确定，代入数据计算得到答案.

【详解】由得，所以，

故选：C

4．在三棱柱中，，若点为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算求解.

【详解】，为的中点，

，

故选：A.

5．向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据瞬时速度与导数的关系结合导数运算公式求，，根据平均速度的定义求，再比较它们的大小即可.

【详解】由得，

因为，，

所以，，

又，

所以，，C正确.

故选：C.

6．课本选择性必修第二册第一章介绍了斐波那契数列，若数列{}满足，，则称数列为斐波那契数列，若把斐波那契数列中的奇数用1替换，偶数用换得到数列{}，在数列{}的前10项中任取3项，则这3项之和为1的不同取法有（    ）

A．60种 B．63种 C．35种 D．100种

【答案】B

【分析】根据条件得到数列的前10项中，有7项为1，3项为，再结合组合的定义，即可求解.

【详解】由题意得：数列中各项依次为奇数､奇数､偶数､奇数､奇数､偶数､，

所以数列的前10项中，有7项为1，3项为，

若所取3项之和为1，则取2个值为1的项，1个值为的项，

所以不同的取法种数为，

故选：B.

7．直播带货已经成为农民创业增收的好帮手，数据显示2022年全国农村直播电商已达到573.2万家.已知2022年某农村电商每月直播销售收入Y（单位：万元）与月份具有线性相关关系，利用该电商全年12个月的直播销售月收入数据，求得线性回归方程为，则下列结论一定正确的是（    ）

A．把代入求得的是第n个月的销售收入

B．相关系数

C．2022年该电商直播销售收入逐月增加

D．该电商2022年直播销售总收入为213.6万元

【答案】D

【分析】根据线性回归方程为，分别判断A,C,D选项，根据相关系数概念判断B选项.

【详解】利用求得的是每月直播销售收入的预测数据，与每月直播销售收入的真实数据可能不相同，错误；

不是相关系数，，B错误；

，由在回归直线上，得，所以该电商2022年年直播销售总收入为万元.

故选:D.

8．已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．2

【答案】D

【分析】根据条件得到点在圆的内部或圆周上，点的轨迹是以为直径的圆，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.

【详解】因为，所以点在圆的内部或圆周上，

又动点满足，

所以当三点不重合时，点的轨迹是以为直径的圆，如图：

当点在圆内时，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，

则，

当点在圆上时，两点重合，两点重合，

所以，当且仅当点在圆上时取等号，

则，当且仅当三点共线时取等号，

因为，当且仅当重合时取等号，因为，所以，

所以，当且仅当时取等号，此时，

所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时取等号，

所以的最大值为，

故选：D.

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.

【详解】对于A选项：（，所以A选项错误；

对于B选项：，所以B选项错误；

对于C选项：由公式得，所以C选项正确；

对于D选项：，所以D选项正确；

故选：CD.

10．已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则（    ）

A．该校高二男生的平均身高是175cm

B．该校高二男生身高的方差为4

C．该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%

D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等

【答案】AD

【分析】根据正态分布的定义和对称性知AD正确，B错误，再计算概率得到，C错误，得到答案.

【详解】对选项A：在中，为平均数，正确；

对选项B：方差为，错误；

对选项C：，则身高超过的概率，错误；

对选项D：正态曲线关于直线对称，所以身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等，正确；

故选：AD

11．下列各选项中，使数列为递增数列的是（    ）

A． B．

C． D．，

【答案】ABD

【分析】计算ABD中，，是递增数列，计算得到反例得到C选项不满足，得到答案.

【详解】对选项A：，是递增数列，正确；

对选项B：，是递增数列，正确；

对选项C：，则，，不是递增数列，错误；

对选项D：，是递增数列，正确；

故选：ABD

12．已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（    ）

A．-1 B． C．a D．3a

【答案】BD

【分析】由，结合距离公式、二次函数的单调性得出m的可能值.

【详解】因为点在椭圆上，所以，

所以

，若，当时，最小，

若，当时，最小.

故选：BD.

三、填空题

13．二项式的展开式中的常数项为___________.

【答案】

【分析】根据二项式的展开式通项公式得到，令的指数为，求解，即可求解.

【详解】二项式的展开式通项为，

令，得，

所以二项式的展开式中的常数项为，

故答案为：.

14．已知等差数列的前n项和为，，若时，最小，则=___________.

【答案】

【分析】解法一：根据等差数列的性质，求得的变号项，即可求解；

解法二：利用等差数列的前和公式得到，结合二次函数的图像与性质，即可求解.

【详解】解法一：因为，所以当，时，，

当，时，，

，

所以，最小，即.

解法二：因为，所以，，

又，所以时，最小，最小为.

故答案为：.

15．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值.

【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，

由，得，所以切点为，

则点到直线的距离就是的最小值，即.

故答案为：.

16．课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为___________.

【答案】

【分析】确定甲第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，计算得到概率.

【详解】甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮，

则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，

所以所求概率为.

故答案为：

四、解答题

17．已知

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若过点的直线与曲线在处相切，求实数a的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先对函数求导得到，从而得到曲线在处的切线斜率，再求得点，结合直线的点斜式方程，即可求解；

（2）利用导数的几何意义得到，再根据两点间的斜率公式得到关于方程，即可求解.

【详解】（1）当时，，则，

所以，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

（2）由，得，

因为直线与曲线在处相切，所以直线的斜率，

又，

所以，解得：，

故实数a的值为.

18．（1）已知数列的通项公式为，求的前n项和；

（2）已知数列的通项公式为，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接利用分组求和法结合等比数列求和公式计算即可.

（2）确定，题目转化为求，计算得到答案.

【详解】（1），

则.

（2），则，

故

.

19．通勤是指从家中往返工作地点的过程，随着城市的扩张及交通技术的进步，人们可以在距离工作地点较远的地方居住，并以通勤来上班，某传媒公司通过对200名受访者每天平均通勤时间的统计，得到如下频数分布表.

把通勤时间超过1小时的称为通勤困扰程度高，不超过1小时的称为通勤困扰程度不高.已知200名受访者中，中年人有90人，其余为青年人，中年人中通勤困扰程度高的有30人.

(1)请完成以下列联表，并判断是否有90%的把握认为，青年人与中年人的通勤困扰程度有差异；

(2)从200名样本人群中随机抽取1人，A表示“抽取的人是青年人”，B表示“抽取的人通勤困扰程度高”，记，求S的值，并证明：

附：，当时，表明有90%的把握判断变量有关联.

【答案】(1)表格见解析，有的把握认为青年人与中年人的通勤困扰程度有差异

(2)，证明见解析

【分析】（1）列出联表，计算比较临界值作出结论即可；

（2）由联表可得，根据条件概率计算公式代入计算即可得证.

【详解】（1）根据题意，列列联表如下，

，

所以有的把握认为青年人与中年人的通勤困扰程度有差异.

（2）由列联表得，

所以，

20．已知数列的前n项和为，，.

(1)证明：是等差数列；

(2)设数列的前n项和为，从下面两个条件中任选一个，证明：.

①；②.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件得到，利用与的关系得到，从而得到，根据等差数列的定义即可证明；

（2）根据条件中，令，求得首项，再根据（1）得到和，

若选①，得到，根据数列的裂项相消求和得到，即可求解；

若选②，得到，根据数列的裂项相消求和得到，即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

两式相减得，

即.

因为，

所以，

所以数列是公差为2的等差数列.

（2）令中的，得，

又，

所以.

若选①，，

所以

.

若选②，则，

则，

所以

.

21．已知椭圆经过点，且离心率为，抛物线的焦点F与的右焦点重合.

(1)求与的标准方程；

(2)过的右顶点的直线与交于A，B两点，线段AB的中点为E，点O为坐标原点，证明：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件列方程组求解椭圆方程，进而得到抛物线方程；

（2）要证，只需证明＝0即可，设直线的方程与抛物线方程联立，由韦达定理得证.

【详解】（1）由经过点，且离心率为，得

解得，

所以的标准方程为，

，所以的标准方程为.

（2）证明：的右顶点为，设，

易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与联立得，

所以，

所以

，

所以

所以成立.

【点睛】关键点点睛：直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则的充要条件是直线恒过定点.

22．已知长方体中，，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)记长方体ABCD-中两条平行的棱所在直线为1对平行直线，从长方体所有棱所在的直线中任取4条，记这4条直线中平行直线的对数为X，求X的分布列与期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）建立坐标系，利用向量法得出直线与平面所成角的正弦值；

（2）由组合知识得出的取值对应出概率，进而列出分布列，计算期望.

【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，则即

取，得，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）由题意得的取值依次为，

，

，

所以的分布列为

.