2023年福建省龙岩市高考数学质检试卷（3月份）（含答案解析）

这是一份2023年福建省龙岩市高考数学质检试卷（3月份）（含答案解析），共19页。试卷主要包含了 已知M是圆C， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省龙岩市高考数学质检试卷（3月份）1.  若复数z满足，则(    )A. 5 B.  C. 3 D. 2.  若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )
 A.  B.  C.  D. 3.  已知向量，，，，若，则在上的投影向量为(    )A.  B.  C.  D. 4.  算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子简称上珠代表5，下面一粒珠子简称下珠代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则(    )
A.  B.  C.  D. 5.  已知两数，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 06.  已知函数，若，，则a，b，c的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知M是圆C：上一个动点，且直线：与直线：相交于点P，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 8.  正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为(    )A.  B.  C.  D. 9.  下列说法正确的是(    )A. 一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C. 数据，，，…，，的方差为M，则数据，，，…，的方差为9M
D. 一个梯木的方差，则这组样本数据的总和等于10010.  如图，已知平面OBC，，，E为AB的中点，，则(    )
 A.  B.
C. 平面ABC D. 直线OE与OF所成角的余弦值为11.  已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点.直线l交双曲线C的右支于P，Q两点不同于右顶点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则(    )A. 为定值
B.
C. 点P到两条渐近线的距离之和的最小值为
D. 存在直线l使12.  已知函数有两个零点，分别记为，；对于，存在使，则(    )A. 在上单调递增
B. 其中…是自然对数的底数
C.
D. 13.  已知的展开式中的系数为21，则______ .14.  写出一个同时满足下列三个性质的函数______ .
①的定义域为R；
②是奇函数；
③是偶函数.15.  欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出做大的贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.在数论中，对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：，则______ .16.  已知抛物线C：，直线l过点且与C相交于A，B两点，若的平分线过点，则直线l的斜率为______ .17.  已知等差数列的首项为公差，前n项和为，且为常数.
求数列的通项公式；
令，证明：18.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
求角B；
若D是AC边上的点，且，，求的值.19.  三棱柱中，，，侧面，为矩形，，三棱锥的体积为
求侧棱的长；
侧棱上是否存在点E，使得直线AE与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
20.  为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐.甲、乙两人进入最后的决赛.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束.若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的取胜方为最终冠军.设每局此赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.
记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；
记一共进行的比赛局数为Y，求21.  已知椭圆K：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线l交椭圆K于M，N两点，以线段为直径的圆C与圆：内切.
求椭圆K的方程；
过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，OM与NE交于点P，是否存在直线l截得的面积等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22.  已知函数，
若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
若，且，证明：
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：，
则，
故
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 2.【答案】D 【解析】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为，
，
，，
，
故选：
由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为，再利用集合的基本运算即可求解．
本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．
 3.【答案】C 【解析】解：向量，，，，，而，
，，
，则在上的投影向量为，
故选：
由题意，根据向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式及数乘运算，结合投影向量的定义及求法，得出结论．
本题主要考查了投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．
基本事件为：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，则，
事件“表示的四位数大于5050”，则，
所以
故选：
根据题意，列举出所有基本事件，进而求出，，再利用条件概率公式求解即可．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题
 5.【答案】C 【解析】解：，
为偶函数，
又，
的周期为，
当时，，，
令，得，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，作出的图象，如图：

由图可知，函数的最小值为，故C正确；
故选：
依题意可知为周期为的偶函数，结合函数的导数，求解函数的最值，利用函数的图象，即可得到答案．
本题考查三角函数的周期性、对称性，函数的导数判断函数的单调性、极值等性质，考查数形结合思想及数学运算能力，属于中档题．
 6.【答案】B 【解析】解：因为，
所以，
所以当时，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又在上单调递增，
所以，
故选：
求导分析的单调性，再比较，，大小，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 7.【答案】D 【解析】解：直线：，令，则，解得，，直线经过定点；
同理直线：经过点，
由，可得直线直线，
点P在以为圆心，以为半径的圆上，其方程为，
，
，即
故选：
直线：，令，，可得直线经过的定点A；同理直线：经过点B，由，可得直线直线，得出点P的轨迹方程，可得
本题考查了直线经过定点问题、两圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 8.【答案】C 【解析】解：的周长为，AC为定值，即最小时，的周长最小，
如图，将平面展成与平面同一平面，当点A，M，C共线时，此时最小，

作，垂足为N，，解得：，
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
，，
连结，平面，且经过的中心，
所以三棱锥外接球的球心在上，
设球心，则，
即，解得：，
，所以外接球的表面积，
故选：
首先确定点M的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可求解．
本题主要考查几何体的体积，属于中档题．
 9.【答案】ACD 【解析】解：，
一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为第八个数，等于16，故A正确；
在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量减少个单位，故B错误；
数据，，，…，，的方差为M，则数据，，，…，的方差为9M，故C正确；
一个梯木的方差，这组样本数据的平均数是2，数据总和为，故D正确．
故选：
由统计及其有关概念逐一分析四个选项得答案．
本题考查统计及其有关概念，是基础题．
 10.【答案】BD 【解析】解：对于A，因为EF与平面AOB相交，所以EF不可能与OB平行，故A错误；
对于B，平面OBC，平面OBC，
，
又，，，
，，
在中，由余弦定理可得，，
，故B正确；
对于C，假设平面ABC，则，
又，，
平面AOB，又平面AOB，
，与矛盾，
故平面ABC不成立，故C错误；
对于D，，，，
在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
在中，，，，
，
即直线OE与OF所成角的余弦值为，故D正确．
故选：
由EF与平面AOB相交可判断A，依题意，，，在中由余弦定理可求出OF，进而判断B，利用假设法可判断C，先在中利用余弦定理求出EF，再在中利用余弦定理可求出，进而判断
本题主要考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理的应用，属于中档题．
 11.【答案】BC 【解析】解：双曲线C：的渐近线为，
对于A：，其中为定值，，随着l的变化而变化，
所以不是定值，故A错误；
对于B：设直线l的方程为，
联立，得，
所以，
联立，得，
联立，得，
所以，
所以PQ与AB中点相同，
所以，故B正确；
对于C：设，则，
又双曲线的渐近线方程为，
所以P到两渐近线距离，
所以点P到两条渐近线的距离之和的最小值为，故C正确；
对于D：由图知，
所以恒成立，
所以不存在l使得，故D错误，
故选：
双曲线C：的渐近线为，
对于A：，其中为定值，，随着l的变化而变化，即可判断A是否正确；
对于B：设直线l的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，联立直线与渐近线方程解得，，则，则PQ与AB中点相同，即可判断B是否正确；
对于C：设，则，P到两渐近线距离，即可判断C是否正确；
对于D：由图知，即可判断D是否正确．
本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 12.【答案】BCD 【解析】解：对于A：因为，
令得，
所以在上单调递增，
对于B：有两个零点，方程有两个根，
令，则，
可得在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
所以，，故B正确；
对于C：由上可得，
又，，
由的单调性可得，
，
所以，，
所以，故C正确；
对于D：由已知，
而，
所以，
令，则，
所以在单调递增，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又在上单调递增，
所以，
即，故D正确，
故选：
对于A：求导并令，解得的单调递增区间，即可判断A是否正确；
对于B：若有两个零点，方程有两个根，令，则与的交点，即可判断B是否正确；
对于C：由上可得，又，，由的单调性可得，进而可得即可判断C是否正确；
对于D：计算，令，则，可得，又在上单调递增，则，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 13.【答案】1 【解析】解：的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为，
则，解得
故答案为：
易知的展开式中的系数为，由此可得，即可得解．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】答案不唯一 【解析】解：令，
则的定义域为R，满足①；
，
是奇函数，满足②；
又是偶函数，满足③，
故为同时满足性质①②③的函数，
故答案为：不唯一
令，分析它满足性质①②③即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：与互质的数为：
1，2，4，5，7，8，10，11，13，，，，
共有个，
，

故答案为：
推导出与互质的数有个，从而，由此能求出
本题考查互质的数、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：设直线l的方程为，即，
再设直线OA、OB的方程分别为、，即、，
的平分线过点，，
整理得，即，
设，，则，即，
联立，得
，即
，，
又，，
可得，解得
故答案为：
设直线l的方程为，再设直线OA、OB的方程分别为、，由的平分线过点，利用点到直线的距离公式可得，设，，可得，联立，得关于y的一元二次方程，再由根与系数的关系列式求解k值．
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，
又，
则，
又为常数，
为常数，
则当为常数时，此常数为，
此时，
即数列的通项公式为；
证明：由可得，
则
，
故命题得证． 【解析】由为常数，则为常数，即，然后结合等差数列的通项公式求解即可；
由可得，然后累加求和即可得证．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了数列累加求和，属基础题．
 18.【答案】解：中，，所以，
由正弦定理得，，
因为，
所以；
又因为，所以，所以，即，
又因为，所以
因为D是AC边上的点，且，，
所以，，，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，由余弦定理得，，
所以，所以，解得，
又因为，所以 【解析】根据题意，利用正弦定理得，再根据三角恒等变换化简求解即可．
根据题意，在中利用正弦定理求得BC，在中利用余弦定理求得，由此列方程求出的值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 19.【答案】解：过A在平面内作，垂足为D，
侧面为矩形，，又，
平面，平面ABC，平面平面，
平面，平面ABC，
三棱锥的体积为，，，
，
，，；
存在E满足题意，
理由如下：如图，以AB，AC，AD分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，则，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
平面的一个法向量为，
设直线AE与平面所成角为，

则，
解得，存在E满足题意， 【解析】过A在平面内作，垂足为D，可证平面ABC，从而可得，可求侧棱的长；
存在E满足题意，，如图，以AB，AC，AD分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求线段的长．
本题考查空间几何体和体积的计算，考查线面解的求法，考查运算求解能力，属中档题．
 20.【答案】解：可能取值为2，
，，
所以，即，
则当时，取得最大值．
当时，双方前两天的比分为2：0或0：2的概率均为；
比分为2：1或1：2的概率均为，
，则或，
即获胜方两天均为2：0获胜，不妨设A获胜，
概率为，同理B获胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2：0和2：1或者2：0和0：2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2：0和2：1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2：1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，
故概率为，
当前两天比分为2：0和0：2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故，
所以 【解析】求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；
先得到双方前两天的比分为2：0或0：2的概率均为，比分为2：1或1：2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．
 21.【答案】解：设，D为线段的中点，
依题意，得：，
所以，
又，所以，
所以椭圆K的方程为
依题意，当直线l斜率为0时，不符合题意；
当直线l斜率不为0时，设直线l方程为，
联立，得，
易知，
设，，
则，
因为轴，轴，所以，，
所以直线，①
直线，②
联立①②，解得，
因为，ME与直线平行，
所以，
因为，
所以，
由，解得，
故存在直线的方程为或，使得的面积等于 【解析】根据已知条件结合椭圆的定义求出2a，由焦点坐标可知c的值，利用a，b，c的关系可求出的值，从而求出椭圆的方程．
依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出P点的坐标，将三角形的面积表示为关于m的函数，解方程求出m的值即可．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 22.【答案】证明：由已知有，
曲线在点处的切线方程为：，
即：，将代入即有：，
由得，令得：，此时，
可得：曲线在点处的切线方程为：
，将代入化简，
可得：，
故曲线在点处的切线也是曲线的切线；
，
，令，
得：，
为方程的两根，
即：，
，，


，
令，则，
令，则，
在单调递减，，
即 【解析】由已知得到曲线在点处的切线方程为：，曲线在点处的切线方程为：，将代入化简，即可得证；
由，得到，令，得：，利用韦达定理和的单调性即可得证．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．