2023年江苏省泰州市高考数学一调试卷（含答案解析）

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2023年江苏省泰州市高考数学一调试卷1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知向量满足，则(    )A.  B.  C. 0 D. 23.  在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则(    )A.  B. 2 C.  D. 44.  2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点长轴端点中离地面最远的点距地面，近地点长轴端点中离地面最近的点距地面，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为(    )A.  B.
C.  D. 5.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为(    )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁7.  已知函数的定义域为R，且为偶函数，，若，则(    )A. 1 B. 2 C.  D. 8.  若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，，则的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 9.  在棱长为2的正方体中，AC与BD交于点O，则(    )A. 平面 B. 平面
C. 与平面ABCD所成的角为 D. 三棱锥的体积为10.  函数的部分图象如图所示，则(    )A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递增11.  一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则(    )A.  B. A，B为互斥事件 C.  D. A，B相互独立12.  已知抛物线的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是，，，直线，相交于点D，与，分别相交于点P，记A，B，D的横坐标分别为，，，则(    )A.  B.
C.  D. 13.  已知函数，则______ .14.  写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式______ .
①；②15.  已知圆O：，设直线与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上有且只有一个点P满足，则r的值为______ .16.  已知正四棱锥的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上.过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形T，则T的边数至多为______ ，T的面积的最大值为______ .17.  在①，，成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足_____，_____.
求的通项公式；
求
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.18.  第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球不喜欢足球合计男生 40 女生30  合计   根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：k 19.  在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，
若，求的值；
若，的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围.20.  如图，在中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将折至的位置，使得
证明：平面ABD；
若，，求二面角的正弦值.
21.  已知双曲线C：的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点.当轴时，，的面积为
求C的方程；
证明：以PQ为直径的圆经过定点.22.  已知函数和有相同的最大值.
求实数a；
设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，，，，证明：
答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：
故选：
根据交集概念计算出答案．
本题主要考查集合的交集运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：根据题意可得，
故选：
根据向量的数量积的性质与定义，即可求解．
本题考查向量的数量积的性质与定义，属基础题．
 3.【答案】C 【解析】解：对应的点为，其中关于的对称点为，
故，
故
故选：
根据对称性得到，从而计算出，求出模长．
本题主要考查复数的模公式，属于基础题．
 4.【答案】D 【解析】解：由题意得，，
，
故，
，
故选：
根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，，进而可得，求得b，可得答案．
本题主要考查了椭圆性质的简单应用，属于基础题．
 5.【答案】B 【解析】解：因为，
所以，
所以，
则
故选：
先利用和差角及辅助角公式进行化简，然后结合二倍角公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
 6.【答案】D 【解析】解：四个命题只有一个假命题，
又命题乙、丙同真假，
乙、丙一定都正确，
，，故甲正确，
，故丁错．
故选：
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可依次求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 7.【答案】A 【解析】解：因为为偶函数，所以，
所以，则关于对称，
设，，关于对称，
，所以，
即符合条件，
所以
故选：
设，满足题意，即可求解．
本题主要考查函数奇偶性的性质，函数值的计算，考查运算求解能力，属于中档题．
 8.【答案】D 【解析】解：设切点，
则切线方程为，又切线过，
，，
有两个不相等实根，，
其中，或，
，
令，或，，
当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，
又，，
当时，，当时，，
，
即
故选：
设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案．
本题考查根据导数的几何意义求得切线方程，方程思想，韦达定理的应用，函数思想，利用导数研究函数的单调性及最值，属中档题．
 9.【答案】ABD 【解析】解：，平面，平面，平面，A对；

因为，又平面ABCD，平面ABCD，
所以，，CD，平面，平面，B对；
因为平面ABCD，与平面ABCD所成角为，
因为，，C错；
因为，D对．
故选：
根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断
本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，考查了直线与平面所成的角，属于中档题．
 10.【答案】ACD 【解析】解：，
，
，，，
由于，
所以，所以A选项正确，B选项错误．
，
当时，得，所以关于对称，C选项正确，
，
当时，得在上递增，则在区间上单调递增，D选项正确．
故选：
根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 11.【答案】AC 【解析】解：正确；
A，B可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A，B不互斥，B错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
，
故A，B不独立，D错误；
故选：
结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析．
本题主要考查互斥事件的定义，相互独立事件的概率乘法公式，以及随机事件的概率公式，属于基础题．
 12.【答案】BCD 【解析】解：A，B，D的横坐标分别为，，，
则可设，，，
由抛物线，可得，求导得，所以的斜率，
所以，即，
同理可得，
直线，方程联立，即，所以，故B正确；
，
则不一定为0，故A错误；

，故C正确；
，，
，
，
，
，
，D正确，
故选：
利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出D的坐标可判断B，根据向量数量积的坐标运算判断A，并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C，
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，向量的数量积运算，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】4 【解析】解：因为，
所以，
所以
故答案为：
根据分段函数的解析式先求，进而求解即可．
本题主要考查了分段函数中函数值的求解，属于基础题．
 14.【答案】答案不唯一 【解析】解：数列为等比数列，且满足①；②，
，，
，，，
取，，则，
故答案为：答案不唯一
由等比数列的性质可得数列的公比满足，据此写出等比数列的通项公式即可．
本题考查等比数列的性质与通项公式，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：根据题意易得，
在AB的垂直平分线上，又，
中垂线的斜率为，又AB的中点为，
由点斜式方程得，
化简得，
又P在圆O：满足条件的P有且仅有一个，
直线与圆相切，，
故答案为：
根据可得P在AB的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：取SC中点F，，，，
平面BDF，
作平面与平面BDF平行，截面至多为五边形，如图，

令，，，
，，，，
，，
，
与NQ的夹角，而SA与BD垂直，
，
，
当时，S取最大值为
故答案为：5；
数形结合，作平面与平面BDF平行，能求出截面多边形T的边数至多有几条；令，得，，，，，，推导出，，从而得到，由此能求出T的面积的最大值．
本题考查面面平行、线线垂直的判定与性质、截面的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 17.【答案】解：选①②，设等差数列的公差为d，
，，成等比数列，，
，解得，，
；
选①③，设等差数列的公差为d，
，，成等比数列，，
，解得，，
；
选②③，设等差数列的公差为d，
，，
，解得，，
；
由得，
则，
 【解析】选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，即可得出答案；
由得，可得，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质，考查方程思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：列联表如下： 喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200，
故有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．
人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
故的分布列如下：0123P故的数学期望 【解析】利用独立性检验的方法求解；
根据独立事件的概率公式和离散型随机变量的分布列的定义求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 19.【答案】解：，
在中，由正弦定理得，
，，
，即，
，
；
由得，，则，
设，如图所示：

，
，，
 【解析】由正弦定理得出，再由余弦定理，即可得出答案；
设，把表示成两个三角形的面积和，表示出AD，即可得出答案；
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 20.【答案】证明：是BC边上的高，
，，
，PD，平面PBD，平面PBD，
平面PBD，，
又，AD，平面ABD，，
平面ABD；
解：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系，

，，
则，，，，
，
设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为，
故，解得：，令，得：，
则，，解得：，令，则，
故，
设二面角平面角为，显然为锐角，
，
，
即二面角的正弦值为 【解析】先证明出线面垂直，得到，进而证明出平面ABD；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值．
本题主要考查线面垂直的证明，二面角的求法，向量法的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 21.【答案】解：当轴时，P，Q两点的横坐标均为，
代入双曲线方程，可得，，即，
由题意，可得，
解得，，，
双曲线C的方程为：；

证明：设PQ方程为，，，
联立方程
以PQ为直径的圆的方程为，，
由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令，可得，
而，，
对恒成立，
，
以PQ为直径的圆经过定点 【解析】根据题意，可得，，进而求解；
设PQ方程为，，，联立直线和双曲线方程组，可得，以PQ为直径的圆的方程为，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到，进而得证．
本题考查双曲线标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 22.【答案】解：，令
有最大值，
且在上单调递增；上单调递减，
时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，
，即；
由，由，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；上单调递减，至多两个零点，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；上单调递减；至多两个零点．
令，
当时，，所以；
当时，由，
设，，
所以当时，，
所以在单调递增，所以，
所以，且，所以，
设，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，
方程无解，
当时，由在上单调递增，
方程有唯一解，
当时，注意到，，
设，对恒成立，
所以，
所以当时，，即，
因为，所以，，所以，
所以，
在和上各有一个零点，，，示意图，
注意到，，，
令，，，即函数在上单调递减，
因此，即有，
在和上各有一个零点，
由，而，，
而在上单调递增，
由可得，
故，
由，而，，
而在上单调递减，由，
，
于是得，
 【解析】利用导函数分别讨论两个函数的单调性和最值即可求解；
构造函数和，利用导数和单调性讨论函数的零点，结合函数分类讨论对应方程根的个数和分布证明．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，第二问的关键，进而可得同构等式，根据函数的单调性分类讨论证明．