2023年上海市嘉定区高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份2023年上海市嘉定区高考数学二模试卷（含答案解析），共13页。

3. 已知A={x|x−1x≤0}，B={x|x≥1}，则A∩B=______ .
4. 函数y=sin2x的最小正周期是______.
5. △ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则AC⋅AM=______ .
6. 已知函数y=2x+18x，定义域为(0,+∞)，则该函数的最小值为______ .
7. 已知n∈N，若C6n=A52，则n=______ .
8. 已知数列{an}的通项公式为an=2n,n=1,2−n,n≥2,前n项和为Sn，则n→+∞limSn=______ .
9. 已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若点A、B、C、D在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为______ .
10. 已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为13和23，供应商A提供的部件的良品率为0.96.若该部件的总体良品率为0.92，则供应商B提供的部件的良品率为______ .
11. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，AC=2.点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转.若它们恰重合于点D，则△CDP的面积的最大值为______ .
12. 若关于x的函数y=x3+aex在R上存在极小值(e为自然对数的底数)，则实数a的取值范围为______ .
13. 设a∈R，则“a<1”是“a2A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
14. 函数y=lg(1−x)+lg(1+x)是( )
A. 奇函数B. 偶函数C. 奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数
15. 已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1，与该正方体每条棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为R3，则下列关系正确的是( )
A. R1：R2：R3= 2: 3：2B. R1+R2=R3
C. R12+R22=R32D. R13+R23=R33
16. 有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万.该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1.据此判断房产投资的收益X1和商业投资的收益X2的分布分别为X1113−，X274−，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好( )
A. 存银行B. 房产投资
C. 商业投资D. 房产投资和商业投资均可
17. 如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点E、F分别是棱BC和CC1的中点.
(1)判断直线AE与D1F的关系，并说明理由；
(2)若直线D1E与底面ABCD所成角为π4，求四棱柱ABCD−A1B1C1D1的全面积.
18. 已知向量a=(sinx,1+cs2x)，b=(csx,12)，f(x)=a⋅b.
(1)求函数y=f(x)的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角，且A+B=712π，f(A)=1，BC=2，求边AC的长.
19. 李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间(单位：分钟)，如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
(1)求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：
(2)根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(χ2≥3.841)≈0.05
20. 若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点.已知抛物线C1：y2=4ax和C2：x2=4y，其中a>0.C1与C2在第一象限内的交点为P.C1和C2在点P处的切线分别为l1和l2，定义l1和l2的夹角为曲线C1、C2的夹角.
(1)求点P的坐标；
(2)若C1、C2的夹角为arctan34，求a的值；
(3)若直线l3既是C1也是C2的切线，切点分别为Q、R，当△PQR为直角三角形时，求出相应的a的值.
21. 已知f(x)=x+2sinx，等差数列{an}的前n项和为Sn，记Tn=i=1nf(ai).
(1)求证：函数y=f(x)的图像关于点(π,π)中心对称；
(2)若a1、a2、a3是某三角形的三个内角，求T3的取值范围；
(3)若S100=100π，求证：T100=100π.反之是否成立？并请说明理由.
答案和解析
1.【答案】5
【解析】解：∵z=3+4i，
∴|z|= 32+42= 25=5.
故答案为：5.
直接利用复数模的计算公式得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2.【答案】43
【解析】解：由双曲线x29−y27=1，得a=3，b= 7，
∴c= 9+7=4，
∴双曲线x29−y27=1的离心率为43.
故答案为：43.
由双曲线方程求得a与b，再由隐含条件求解c，则离心率可求．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．
3.【答案】{1}
【解析】解：由x−1x≤0，可得0所以A={x|0又因为B={x|x≥1}，
所以A∩B={1}.
故答案为：{1}.
先求出集合A，再利用集合的交集运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
4.【答案】π
【解析】解：函数y=sin2x的最小正周期是2π2=π，
故答案为：π.
由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期为2πω，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的周期性，利用了函数y=Asin(ωx+φ)的周期为2πω，属于基础题．
5.【答案】14
【解析】解：已知△ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，
则CM⊥AB，
则AC⋅AM=|AM||AC|cs∠CAM=|AM|2=(12)2=14.
故答案为：14.
由平面向量的数量积的运算，结合平面向量投影的运算求解即可．
本题考查了平面向量的数量积的运算，重点考查了平面向量投影的运算，属基础题．
6.【答案】1
【解析】解：∵x>0，
∴y=2x+18x≥2 2x⋅18x=1，当且仅当2x=18x，即x=14时，等号成立，
即该函数的最小值为1.
故答案为：1.
利用基本不等式直接求解．
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
7.【答案】3
【解析】解：∵C6n=A52，∴C6n=5×4=20，
∵n∈N，∴n=3.
故答案为：3.
利用组合数公式和排列数公式，列方程计算即可．
本题考查组合数公式，属于基础题．
8.【答案】52
【解析】解：数列{an}的通项公式为an=2n,n=1,2−n,n≥2,前n项和为Sn=2,n=112(1−12n−1),n≥2，
n→∞lim(2+12(1−12n−1))=52.
故答案为：52.
求解数列的前n项和，然后求解数列的极限即可．
本题考查数列的求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题．
9.【答案】2π
【解析】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，
由勾股定理得，正四棱锥的高为2，
点A、B、C、D在圆柱的一个底面圆周上，即圆柱的底面圆半径等于1，
圆柱的高即为正四棱锥的高，
则该圆柱的体积为：V=S⋅h=π×12×2=2π.
故答案为：2π.
求出正四棱锥的底面对角线长和正四棱锥的高，可得圆柱的底面圆半径和圆柱的高，则圆柱体积可求．
本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查圆柱的体积公式，属基础题．
10.【答案】0.9
【解析】解：设供应商B提供的部件的良品率为x，
由题意可知，13×0.96+23x=0.92，解得x=0.9.
故答案为：0.9.
根据已知条件，结合全概率公式，即可直接求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
11.【答案】2 2
【解析】解：由题意，设CP=x，△CPD的面积为f(x).
DC=2，CP=x，DP=6−x，根据三角形的构成条件可得x+6−x>22+6−x>x2+x>6−x，解得2三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即f(x)= 4×(4−x)×(4−6+x)×2
=2 2× (4−x)(−2+x)≤2 2×4−x−2+x2=2 2，
当且仅当4−x=−2+x，即x=3时，f(x)的最大值为2 2.
故答案为：2 2.
设CP=x，推出△CPD的面积为f(x)的表达式，再利用基本不等式，即可求f(x)的最大值．
本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，
12.【答案】(0,4)
【解析】解：因为y=x3+aex，所以y′=−x3+3x2−aex，
令h(x)=−x3+3x2−a，则h′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)，
所以当x<0或x>2时h′(x)<0，当00，
所以h(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，又h(0)=−a，h(2)=4−a，
当−a>0即a<0时h(x)与x轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为x0，
则当x0，即y′>0，当x>x0时h(x)<0，即y′<0，
即y=x3+aex在(−∞,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，此时函数在x=x0处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当4−a<0，即a>4时h(x)与x轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为x4，
则当x0，即y′>0，当x>x4时h(x)<0，即y′<0，
即y=x3+aex在(−∞,x4)上单调递增，在(x4,+∞)上单调递减，
此时函数在x=x4处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当a=0时，当x≤3时，h(x)≥0即y′≥0，当x>3时，h(x)<0即y′<0，
所以y=x3+aex在(−∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，
此时函数在x=3处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当a=4时，当x≥−1时h(x)≤0即y′≤0，当x<−1时h(x)>0即y′>0，
所以y=x3+aex在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,+∞)上单调递减，
此时函数在x=−1处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当−a<0<4−a，即0即h(x)与x轴有3个交点，不妨依次设为x1、x2、x3，
则当x0，即y′>0，当x>x3或x1所以y=x3+aex在x=x2处取得极小值，符合题意，
综上可得实数a的取值范围为(0,4).
故答案为：(0,4).
求出函数的导函数y′=−x3+3x2−aex，令h(x)=−x3+3x2−a，利用导数说明函数的单调性，求出h(0)，h(2)，再分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，即可判断．
本题考查了利用导数研究极值问题，属于中档题．
13.【答案】B
【解析】解：a2故“a<1”是“a2故选：B.
根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
14.【答案】B
【解析】解：由1−x>01+x>0，可得−1即函数y=lg(1−x)+lg(1+x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，
又因为f(−x)=lg(1+x)+lg(1−x)=f(x)，
所以y=lg(1−x)+lg(1+x)为偶函数．
故选：B.
求得函数的定义域为(−1,1)，关于原点对称，再验证f(−x)与f(x)之间的关系，即可得答案．
本题考查了对函数的奇偶性的判断，属于基础题．
15.【答案】C
【解析】解：与该正方体每个面都相切的球直径为棱长：R1=12，
与该正方体每条棱都相切的球直径面对角线长：R2= 1+12= 22，
过该正方体所有顶点的球的半径为体对角线：R3= 1+1+12= 32，
R1:R2:R3=1: 2: 3，故A错误；
R12+R22=R32，故C正确，BD错误．
故选：C.
根据已知条件，依次求出R1，R2，R3，再结合选项，即可求解．
本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．
16.【答案】D
【解析】解：房产投资的收益平均值为：E(X1)=11×0.2+3×0.7−3×0.1=4，
商业投资的收益平均值为：E(X2)=7×0.2+4×0.7−2×0.1=4，
因为E(X1)=E(X2)，所以房产投资和商业投资均可．
故选：D.
计算出房产投资和商业投资的收益平均值，根据平均值判断即可．
本题考查了离散型随机变量的均值计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)连结EF、AD1、BC1，
∵点E、F是中点，∴EF//BC1且EF=12BC1，
正四棱柱中四边形ABC1D1是矩形，则AD1//BC1且AD1=BC1
于是EF//AD1且EF=12AD1，则四边形EFD1A是梯形，
则直线AE与D1F是相交直线．
(2)连结DE，因为AB=2，点E是中点，所以在RT△DEC中，DE= 5，
正四棱柱中D1D⊥面ABCD，则∠D1ED是直线D1E与底面ABCD所成角，
所以∠D1ED=45∘，于是DD1=DE= 5，
正四棱柱的4个侧面是矩形，上下两个底面是正方形，
则全面积为S=4×2 5+2×4=8 5+8.
【解析】(1)说明四边形EFD1A是梯形即可；(2)∠D1ED是直线D1E与底面ABCD所成角，由此可得棱长，从而确定四棱柱ABCD−A1B1C1D1的全面积．
本题考查线面垂直，考查线面所成的角，属于中档题．
18.【答案】解：(1)已知向量a=(sinx,1+cs2x)，b=(csx,12)，f(x)=a⋅b，
则y=f(x)=sinx⋅csx+1+cs2x2=sin2x+cs2x2+12= 22sin(2x+π4)+12，
令2x+π4=2kπ+π2，k∈Z，
则x=kπ+π8，k∈Z，
所以函数y=f(x)的最大值为 22+12，此时x=kπ+π8，(k∈Z)；
(2)因为f(A)=1，
所以 22sin(2A+π4)+12=1，
即sin(2A+π4)= 22
又角A为锐角，
则2A+π4=3π4，
则A=π4，
因为A+B=712π，
所以B=π3，
又BC=2，
由正弦定理BCsinA=ACsinB可得AC=BCsinAsinB= 6，
即AC的长为 6.
【解析】(1)由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换及三角函数的性质求解即可；
(2)由正弦定理，结合三角函数求值问题求解即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了平面向量数量积的运算及正弦定理，属基础题．
19.【答案】解：(1)根据茎叶图可知，这40个通勤记录的中位数是43+432，故M=43，
2×2列联表：
(2)根据题意，由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，则χ2=40×(104−84)215×25×20×20=875<3.841，
故上下班的通勤时间没有显著差异．
【解析】(1)根据茎叶图计数中位数即可；(2)根据独立性检验公式，计算并判断即可．
本题考查独立性检验的应用，属于基础题．
20.【答案】(1)解：若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点，
已知抛物线C1：y2=4ax和C2：x2=4y，其中a>0.C1与C2在第一象限内的交点为P.C1和C2在点P处的切线分别为l1和l2，定义l1和l2的夹角为曲线C1、C2的夹角，
设点P(x,y)，联立方程y2=4axx2=4y，
解得x=4a13y=4a23，即P点的坐标为(4a13,4a23)；
(2)解：设l1和l2的斜率分别为k1和k2，
因为P在第一象限内，对于y2=4ax考虑函数y= 4ax，求导y′= a1 x，
代入点P横坐标，得k1= a⋅1 4a13=12a13，
对于x2=4y，考虑函数y=x24，求导y′=x2，代入点P横坐标，得k2=2a13，
因为C1、C2的夹角为arctan34，所以l1和l2的夹角为arctan34，由夹角公式得：|k1−k21+k1k2|=34，
化简为32a13=34(1+a23)，即(a13−1)2=0，得a=1；
(3)若直线l3既是C1也是C2的切线，切点分别为Q、R，当△PQR为直角三角形时，
因为l3显然不与坐标轴平行，所以其方程设为y=kx+b(k≠0)，
因为l3和C1只有一个公共点，所以方程组y2=4axy=kx+b有两个相同的解，所以ky2−4ay+4ab=0的判别式Δ1=0，即a−kb=0，
同理方程组x2=4yy=kx+b有两个相同的解，所以x2−4kx−4b=0的判别式Δ2=0，即k2+b=0，
联立方程a−kb=0k2+b=0，解得k=−a13b=−a23，又点Q纵坐标为2ak，点R横坐标为2k，
所以Q(a13,−2a23)、R(−2a13,a23)，
设a13=t，则P(4t,4t2)，Q(t,−2t2)，R(−2t,t2)，
若∠PQR为直角，则QP⋅QR=0，−9t2+18t4=0，t= 22，a= 24；
若∠QRP为直角，则RQ⋅RP=0，18t2−9t4=0，t= 2，a=2 2；
若∠RPQ为直角，则PR⋅PQ=0，18t2+18t4=0，无解，
综上，a= 24或a=2 2为所求，
则相应的a的值为a= 24或a=2 2.
【解析】(1)设点P(x,y)，联立方程y2=4axx2=4y，即可求解；
(2)设l1和l2的斜率分别为k1和k2，由题意得到k1= a⋅1 4a13=12a13，k2=2a13，利用夹角公式即可求解；
(3)l3显然不与坐标轴平行，则其方程设为y=kx+b(k≠0)，直线和抛物线联立后，设a13=t，则P(4t,4t2)，Q(t,−2t2)，R(−2t,t2)，对直角进行讨论即可求解．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)在函数y=x+2sinx的图像上任取一点P(x,y)，
点P关于点(π,π)的对称点为P′(2π−x,2π−y)，
f(x)=x+2sinx，
则f(2π−x)=2π−x+2sin(2π−x)=2π−x−2sinx=2π−y，即点P′(2π−x,2π−y)在函数y=f(x)图像上，
故函数y=f(x)的图像关于点(π,π)中心对称．
(2)解：若a1、a2、a3是某三角形的三个内角，
则由三角形内角和性质可知，a1+a2+a3=π，
又{an}为等差数列，
则a1+a2+a3=3a2=π，解得a2=π3，
f(x)=x+2sinx，
则f(a1)=a1+2sina1，f(a2)=a2+sina2，f(a3)=a3+sina3，
T3=f(a1)+f(a2)+f(a3)=a1+a2+a3+2(sina1+sina2+sina3)=π+ 3+2(sina1+sina3)=π+ 3+4(sina1+a32csa1−a32)=π+ 3+2 3csa1−a32，
不妨设0则−23π故T3的取值范围为(π+2 3,π+3 3]；
(3)证明：若S100=100π，又T100=i=1100f(ai)=S100+2i=1100sinai=100π+2i=1100sinai，
因为{an}为等差数列且S100=100π，
所以当n+m=101时，an+am=2π，于是sinan+sinam=0，
故2i=1100sinai=(sina1+sina100)+(sina2+sina99)+⋅⋅⋅+(sina100+sina1)=0，
所以T100=100π，得证，
若T100=100π，则S100+2i=1100sinai=100π，
考虑存在等差数列{an}，满足a50=a1+49d=π，则S99=99π，
则an与a100−n关于π对称，
故T99=99π.
下面证明，存在d可以使得f(a100)=π且a100≠π.
不妨设d>0，又a1+49d=π，
则a100=a1+99d≠π，
f(a100)−π=50d−2sin(50d)，考虑函数y=x−2sinx，x>0，
其中g(x)=x−2sinx，
因为g(π3)=π3− 3<0，g(π)=π>0，
由零点存在定理可知，存在ξ∈(π3,π)使得g(ξ)=0，
所以存在d∈(π150,π50)，使得f(a100)=π即T100=100π，但是S100≠100π，
故反之不成立．
【解析】(1)根据已知条件，设出点P的坐标，通过判断P′(2π−x,2π−y)是否满足f(x)的解析式，即可求证；
(2)根据已知条件，结合等差数列的性质，求出a2，再结合三角函数的恒等变换，以及三角函数的有界性，即可求解；
(3)根据已知条件，先求出T100，再结合等差数列的性质，以及特例法，即可求证．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于难题．
超过M
不超过M
上班时间
下班时间
超过M
不超过M
上班时间
8
12
下班时间
7
13