2023年浙江省嘉兴市平湖市高考数学模拟试卷（3月份）（含答案解析）

这是一份2023年浙江省嘉兴市平湖市高考数学模拟试卷（3月份）（含答案解析），共20页。试卷主要包含了 《九章算术⋅商功》中记载， 已知点A，B与直线l等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省嘉兴市平湖市高考数学模拟试卷（3月份）
1. 若集合M={x|x2−3x−4≤0}，N={x|−2≤x≤2}，则M∪N=(    )
A. [−1,2] B. [−1,4] C. [−2,2] D. [−2,4]
2. 若复数z满足2z+z−−i3=3，则z=(    )
A. 1−2i B. 1+2i C. 1−i D. 1+i
3. 等边△ABC的边长为3，若AD=2DC，BF=FD，则|AF|=(    )
A. 192 B. 172 C. 152 D. 132
4. 《九章算术⋅商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是(    )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
5. 数列{an}的前n项和为3n−1，则数列{an2}的前n项和为(    )
A. 9n+1+158+n−3n+1 B. 9n+158+n−3n
C. 9n−14 D. 9n−12
6. 已知点A(−1,0)，B(2,0)与直线l：mx−y+m=0(m∈R)，若在直线l上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是(    )
A. [− 33, 33] B. (−∞,− 33]∪[ 33,+∞)
C. [− 3, 3] D. (−∞,− 3]∪[ 3,+∞)
7. 若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则我们称M是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有(    )
A. 34个 B. 35个 C. 36个 D. 37个
8. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)−f(x+2)+f(x)+1=0，若f(1)>0，且对∀x，y∈R，均有f(x+y)f(x−y)=[f(x)+f(y)][f(x)−f(y)]，则f(2023)=(    )
A. 1+ 2 B. −1+ 2 C. 1− 2 D. −1− 2
9. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=2x，则下列说法正确的是(    )
A. 若F(x)=f(x)g(x)，则F′(x)=2+2lnx
B. 若G(x)=f(g(x))，则G′(x)=12x
C. 若H(x)=f(x)g(x)，则H′(x)=1−lnx2x2
D. 方程f(x)=g(x)−2有唯一实根
10. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π0)，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且|AB|=|AF|⋅|BF|.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P(4,4)，直线PA，PB分别交准线l于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点.
22. 已知函数f(x)=x−1x−alnx(a>0)，g(x)=x2−1−xlnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，求证：g(x1)+g(x2)+g(x3)>0.
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵M={x|−1≤x≤4}，N={x|−2≤x≤2}，
∴M∪N=[−2,4].
故选：D.
可求出集合M，然后进行并集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2.【答案】C 
【解析】解：设z=x+yi，则z−=x−yi，
∵2z+z−−i3=3，
∴2(x+yi)+(x−yi)−i3=3，整理可得3(x−1)+(y+1)i=0，解得x=1，y=−1，
∴z=1−i.
故选：C.
设z=x+yi，则z−=x−yi，用复数的基本性质计算可得答案．
本题考查了复数的基本性质，是基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：根据题意，等边△ABC的边长为3，则∠BAC=60∘，
若AD=2DC，BF=FD，则AD=23AC，F为BD的中点，
则有AF=12(AB+AD)=12AB+13AC，
故|AF|2=14AB2+19AC2+13AB⋅AC=194，故|AF|= 192；
故选：A.
根据题意，分析可得AF=12(AB+AD)=12AB+13AC，进而由数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的线性计算，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：如图所示，

原长方体ABCD−A1B1C1D1，
设矩形BCC1B1的面积为S，C1D1=h，
鳖臑D1−BCC1的体积为1，
即13×(12S)×h=1，所以Sh=6，
即原长方体的体积是6.
故选：B.
根据柱体和锥体体积公式求得正确答案．
本题主要考查几何体的体积，属于中档题．

5.【答案】D 
【解析】解：由题意，设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn=3n−1，
当n=1时，a1=S1=31−1=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n−1−3n−1+1=2⋅3n−1，
∵当n=1时，a1=2也满足上式，
∴an=2⋅3n−1，n∈N*，
∴an2=(2⋅3n−1)2=4⋅9n−1，n∈N*，
∴数列{an2}是以4为首项，9为公比的等比数列，
设数列{an2}的前n项和为Tn，
则Tn=4−4⋅9n1−9=9n−12.
故选：D.
先设数列{an}的前n项和为Sn，则有Sn=3n−1，结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2即可计算出数列{an}的通项公式，进一步计算出数列{an2}的通项公式，根据通项公式即可发现数列{an2}是以4为首项，9为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式即可计算出结果．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，等比数列的定义与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．

6.【答案】A 
【解析】解：设点P(x,y)，由于|PA|=2|PB|，
所以 (x+1)2+y2=2 (x−2)2+y2，
整理得(x−3)2+y2=4，
利用圆心(3,0)到直线mx−y+m=0的距离d=|3m+m| 1+m2≤2，解得− 33≤m≤ 33，
即实数m的取值范围为[− 33, 33].
故选：A.
利用直线和圆的位置关系建立不等量关系，进一步求出m的取值范围．
本题考查的知识要点：圆的方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．

7.【答案】C 
【解析】解：由题意可知，三位数M的各个数位上的数字之和为8，则我们称M是一个“叔同数”，
“叔同数”中各个数位上的数字有8，0，0；7，1，0；6，2，0；6，1，1；5，3，0；5，2，1；4，4，0；4，3，1；4，2，2；3，3，2，情况；
8，0，0三个数字组成的三位数有1个；
7，1，0三个数字组成的三位数有4个；
6，2，0三个数字组成的三位数有4个；
6，1，1三个数字组成的三位数有3个；
5，3，0三个数字组成的三位数有4个；
5，2，1三个数字组成的三位数有6个；
4，4，0三个数字组成的三位数有2个；
4，3，1三个数字组成的三位数有6个；
4，2，2三个数字组成的三位数有3个；
3，3，2三个数字组成的三位数有3个；
共有：1+4+4+3+4+6+2+6+3+3=36个．
故选：C.
利用已知条件，分类讨论，求解即可．
本题考查排列组合的简单应用，是中档题．

8.【答案】C 
【解析】解：由题意，f(x+y)f(x−y)=[f(x)+f(y)][f(x)−f(y)]=f2(x)−f2(y)，
令x=y=0，可得f2(0)=0，即f(0)=0，再令x=0，可得f(y)f(−y)=f2(0)−f2(y)=−f2(y)，即f(y)[f(−y)+f(y)]=0，
又因为f(x+2)f(x)−f(x+2)+f(x)+1=0，所以f(x)=0不成立，
所以f(−y)+f(y)=0，即对∀x∈R，f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)是R上的奇函数，
由题意，f(x+2)f(x)−f(x+2)+f(x)+1=0⇒f(x+2)[1−f(x)]=1+f(x)，
又因为f(x)=1不合题意，所以f(x+2)=1+f(x)1−f(x)⇒f(x+4)=1+f(x+2)1−f(x+2)=1+1+f(x)1−f(x)1−1+f(x)1−f(x)=−1f(x)，
即f(x+8)=−1f(x+4)=f(x)(x∈R)，所以函数f(x)是周期为8的周期函数，
由题意，f(x+2)f(x)−f(x+2)+f(x)+1=0，令x=−1，得f(1)f(−1)−f(1)+f(−1)+1=0，
化简得f2(1)+2f(1)−1=0，解得f(1)=± 2−1，
又因为f(1)>0，所以f(1)= 2−1，
所以f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=−f(1)=1− 2.
故选：C.
根据题意求得函数f(x)的周期和奇偶性即可求解．
本题主要考查函数求值问题，根据抽象函数的条件得到f(x)是周期函数，是解决本题的关键．

9.【答案】AC 
【解析】解：对于A，因为F(x)=f(x)g(x)=2xlnx，
所以F′(x)=2lnx+2x⋅1x=2lnx+2，故A正确；
对于B，因为G(x)=f(g(x))=ln(2x)，
所以G′(x)=12x⋅(2x)′=1x，故B错误；
对于C，因为H(x)=f(x)g(x)=lnx2x，所以H′(x)=1x⋅(2x)−2lnx(2x)2=1−lnx2x2，故C正确；
对于D，f(x)=g(x)−2，
即lnx=2x−2，作出y=lnx与y=2x−2图象，如图所示：

由图象可知，y=lnx与y=2x−2图象有两个不同的交点，
故方程f(x)=g(x)−2有两个实根，故D错误．
故选：AC.
根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC，由数形结合判断D.
本题考查了导数的四则运算及复合函数的求导，也考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．

10.【答案】BD 
【解析】解：由图可知，最小正周期T=2×(2π3−π6)=π，
所以ω=2πT=2，
由图知，f(π6+2π32)=f(5π12)=−A，
所以Asin(2×5π12+φ)=−A，所以5π6+φ=2kπ−π2，k∈Z，即φ=2kπ−4π3，k∈Z，
因为−π