广西普通高中2023届高三理数一模试卷含答案

 高三理数摸底试卷

一、单选题

1．已知集合 ，集合 ，则 （　　）

A． B． C． D．

2．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（） 

A．月收入的最大值为90万元，最小值为30万元

B．这一年的总利润超过400万元

C．这12个月利润的中位数与众数均为30

D．7月份的利润最大

3．已知复数（其中为虚数单位），则（） 

A．1 B． C． D．

4．“”是“方程表示椭圆”的（） 

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（） 

A． B． C． D．

6．将3个1和4个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为（） 

A． B． C． D．

7．已知，则（　　）

A． B． C． D．

8．已知函数存在最大值0，则的值为（） 

A． B． C．1 D．

9．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（） 

参考数据：；参考时间轴：

A．战国 B．汉 C．唐 D．宋

10．设球与圆锥的体积分别为，，若球的表面积与圆锥的侧面积相等，且圆锥的轴截面为正三角形，则的值是（）

A． B． C． D．

11．满足不等式的整数解的个数为（） 

A． B． C． D．

12．已知，则的大小关系为（） 

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量，，若与垂直，则　     　.

14．直线与圆：相交于，两点，则　     　.

15．如图所示，已知双曲线：的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是　     　.

16．已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为　     　.

三、解答题

17．某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生200人.为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.

参考公式：，其中.

（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； 

（2）若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关. 

18．设数列的前项和为，且满足

（1）求数列的通项公式； 

（2）设数列满足，求数列的前项和. 

19．如图，多面体中，是菱形，，平面，，且

（1）求证：平面平面； 

（2）求二面角的正弦值. 

20．如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为.

（1）证明：直线的斜率为定值； 

（2）在中，记，，求最大值.

21．已知函数有两个零点.

（1）求实数的取值范围； 

（2）设、是的两个零点，证明：. 

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程； 

（2）已知点的极坐标为，与曲线交于两点，求

23．已知函数．

（1）解不等式；

（2）设时，函数的最小值为M．若实数a，b，c满足，求的最小值．

1．A

2．B

3．D

4．A

5．B

6．C

7．A

8．B

9．C

10．C

11．D

12．D

13．-3

14．2

15．

16．

17．（1）解： ，解得

平均数估计值为   （分）

（2）解：由题意可知， 样本中男生有 人，则女生有80人，属于“高分选手”的有 人，其中男生10人， 

则高分中女生为 人，不属于“高分选手”的男生为 人，不属于“高分选手”的女生为 人，

因此，得到 列联表如下：

因此， 的观测值 ，

所以有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关

18．（1）解：因为 ， 

当 时， ，解得

当 ， 时， ，

所以 ，得

即 ，可知数列 是首项为1，公比为5的等比数列，

所以

（2）解：由（1）可知 ，所以 ，所以 ， 

所以 ，

则 ，

两式相减，可得 .

，

化简得

19．（1）证明：如图所示，设 与 的交点为 ， 

因为 平面 且 平面 ，所以 ，

又因为 是菱形，所以 ，

又因为 ， 平面 ， 平面 ，

所以 平面

又因为 平面 ，所以平面 平面

（2）解：取 的中点 ，连接 ， ， ，

为等边三角形，  ，

以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，

则由题意得 ， ， ，又 ，

则 ， ， ，

， ， ，

设平面 的法向量为 ，则 ，即

取 ，

设平面 的法向量为 ，则 ，即

取 ，

设二面角 的平面角为 ，则 ，

所以二面角 的正弦值为

20．（1）证明：将点 代入抛物线方程可得： ，抛物线 ：

设直线 方程为： ，与抛物线方程联立可得：

，所以 ，

用 代 可得： ，

因此，

即 ，故直线 的斜率为定值.

（2）解：由（1）可知， ，将 带入直线 方程 ，解得

则 ，用 代 可得： ，

因此直线 方程： ，

到直线 的距离

所以

因为 ，

所以   ，

令 ，易得此函数在 时为单调增函数，则 ，

所以

当且仅当 （负值舍去）时取等号

21．（1）解：函数 ， 

所以 ，

当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，

至多只有一个零点，不符合题意，

当 时，由 得 ，

所以 时， ， 单调递减，

时， ， 单调递增，

所以 时 取得极小值，也是最小值，

要有两个零点，则 ，

即 ，解得 ，

所以 ，

当 时，得 ，

当 时， ，

设 ，则

所以 单调递增，则 ，

所以 ，

所以 在区间 上有且只有一个零点，在 上有且只有一个零点，

所以满足 有两个零点的 的取值范围为 .

（2）证明： 、 是 的两个零点，则 ， 

要证 ，即证 ，

根据 ，

可知 ， ，

即证 ，

即证 ，即证 ，

即证 ，

设 ， ，

由（1）知 在 上单调递增，

故只需证明 ，

而 ，所以只需证

令 ，且

所以 ， ，

所以 在 上单调递减，

所以 ，

所以 在 上恒成立，

所以 ，

故原命题得证.

22．（1）解：曲线C的直角坐标方程为 ，即 ， 

因为 所以 ，即 ，

故曲线C的极坐标方程为 .

（2）解：将 代入 ，得 .设A、B两点对应的参数分别为 ， ，则 ， .因为点P的极坐标为 ，所以点P的直角坐标为 ，所以 . 

23．（1）解：不等式可转化为：

或或，

解得： 或或，则有，

所以不等式的解集为：

（2）解：由绝对值的三角不等式可得：，当且仅当时等号成立，

因此，函数的最小值，即，

由柯西不等式可知：，即，

当且仅当，即，，时等号成立，

所以的最小值为