适用2023年全国高考文数模拟试卷（全国甲卷）含答案

 全国高考文数模拟试卷（全国甲卷）

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．下表是2017年至2022年硕士研究生的报名人数与录取人数（单位：万人），

根据该表格，下列叙述错误的是（　　）

A．录取人数的极差为40 B．报名人数的中位数是315.5

C．报名人数呈逐年增长趋势 D．录取比例呈逐年增长趋势

3．已知复数（为虚数单位），则为（　　）

A．1 B． C． D．

4．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（　　）

A．2 B． C．6 D．

5．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（　　）

A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到

C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到

6．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．函数的部分图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

8．若函数在上可导，且，则（　　）

A． B．

C． D．以上答案都不对

9．设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（　　）

A．如果，，那么

B．如果，，那么

C．如果，，那么

D．如果，，那么

10．已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．15

12．设，，，则（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知单位向量，的夹角为，则　     　.

14．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则　     　.

15．已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为　     　．

16．在中，若，点为边的中点，，则的最小值为　     　.

三、解答题

17．某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、、、、、．

（1）求这100名学生成绩的平均值；

（2）若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在内的概率．

18．已知是公差不为0的等差数列，，且，的等比中项为．

（1）求通项公式；

（2）若，求数列的前2022项和T．

19．如图，在正三棱柱 中，D为AB的中点， ， ． 

（1）求证：平面 平面 ； 

（2）求点A到平面 的距离． 

20．已知函数 ． 

（1）讨论 的单调性； 

（2）当 时，求 在区间 上的最小值． 

21．已知椭圆：（）的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在过点的直线，交椭圆于，两点，使得？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.

四、选考题，请考生在第22、23题中任选一题作答

22．在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）函数的最小值为m，正实数a，b满足，求的最小值．

1．B

2．D

3．C

4．C

5．D

6．A

7．B

8．C

9．D

10．B

11．B

12．D

13．1

14．

15．2

16．-2

17．（1）解：，．

这名学生的成绩的平均值为

，

因此，这100名学生成绩的平均值为71.5分.

（2）解：设“抽取2人中恰好有人成绩在内”为事件．

由题设可知，成绩在和内的频率分别为0.20和0.15，

则抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人．

记成绩在内位同学分别为、、、，成绩在的3位同学分别为、、．

则从7人中任取2人，所有的基本事件有：、、、、、、、

、、、、、、、、、、、、、，共21种，

其中事件所包含的基本事件有：、、、、、、、、、

、、，共12种，

故.

18．（1）解：设的公差为d，因为，的等比中项为，所以．

因为，所以．因为，所以，

所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，故

（2）解：因为，

所以

19．（1）证明：在正三棱柱 中， 平面ABC，又因为 平面ABC，所以 ． 

在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以 ，又因为 ， ， 平面 ，

所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面

（2）解：由（1）可知， 平面 ，又因为 平面 ，所以 ， 

在正三角形ABC中， ，在正三棱柱 中， 平面ABC，

因为 平面ABC，所以 ，所以 ，因为 ，

所以点A到平面ACD的距离 ．

20．（1）解：因为 ，所以 ． 

当 时， ，则 在R上单调递增；

当 时，令 ，解得 或 ，

则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；

当 时，令 ，解得 或 ，

则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．

（2）解：由（1）知，当 时， 或 ． 

当 ，即 时，

在 上单调递减，在 上单调递增，

此时 在 上的最小值为 ；

当 ，即 时， 在 上单调递减，

此时 在 上的最小值为

21．（1）解：由题知，，，，

由椭圆定义知，即，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）解：存在满足题意的直线.

由题知直线的斜率存在，设的方程为，，，

联立，整理得，

其中，，

∵，∴，即，

化简得：，

即，解得，或.

当时，直线经过点，不满足题意，故舍去.

所以存在直线满足题意，其方程为.

22．（1）解：由，得.

两边同乘，即.

由，得曲线的直角坐标方程为

（2）解：将代入，得，

设A，B对应的参数分别为

则

所以.

由参数的几何意义得

23．（1）解：不等式等价于，

当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，此不等式组无解；

当时，不等式化为，此不等式组无解，

综上所述：不等式的解集为.

（2）解：∵，

当且仅当，即时，等号成立，

∴函数的最小值为1，即，∴．

∴，

当且仅当时，等号成立，∴的最小值是16．