四川省雅安市2023届高三理数一模试卷含答案

这是一份四川省雅安市2023届高三理数一模试卷含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数零诊考试试卷一、单选题1．已知全集，集合，．则（）  A． B．C． D．2．已知复数z满足，则（）  A． B． C． D．3．某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：  某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温根据图表判断，以下结论正确的是（）A．8月每天最高气温的平均数低于35℃B．8月每天最高气温的中位数高于40℃C．8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差D．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差4．若，则（）  A． B． C． D．5．函数在上的图象大致是（）  A． B．C． D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）  A．20 B．40 C．70 D．1127．中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少．”意思是“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问中间二节容积各是多少？”按此规律，中间二节（自下而上第四节和第五节）容积之和为（）  A． B． C． D．8．甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率为（） A． B． C． D．9．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（）  A． B． C．4 D．610．已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A为一个顶点，D，F，F分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（） A．1 B．2 C．3 D．411．已知函数．给出以下几个结论：  ①若对任意，均有，则的最小值为2；②若对任意，均有，则的最小值为5；③若在区间上的极小值点有且仅有2个，则．其中，正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（） A． B． C． D．二、填空题13．在的展开式中，的系数为，则　     　．14．给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数　                          　．（写出一个满足条件的函数即可）  15．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为　     　．  16．如图所示的三棱锥中，为等腰直角三角形，且，侧棱，，则经过该三棱锥四个顶点的球的表面积为　     　． 三、解答题17．某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：　良好及以下优秀合计男450200650女150100250合计600300900附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，．（1）计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．  18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小；（2）若点D在边BC上，，且，求面积的最大值． 19．如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角的大小为120°（如图②）． （1）在PC上是否存在点H，使得直线平面PBE？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．  （2）求直线PC与平面PBE所成角的正弦值．20．给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答． 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求的通项公式；  （2）令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围． 21．已知函数．（1）当时，函数有三个零点，求m取值范围；  （2）若，求a的取值范围．  22．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，  （1）求E的极坐标方程；（2）已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．  23．已知，，且，证明： （1） ；  （2） ． 
 1．C2．A3．D4．A5．D6．C7．A8．B9．B10．B11．D12．C13．14． （答案不唯一）15．16．17．（1）解：依题意， 的观测值 ，  故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）解：依题意，体测结果等级为“优秀”的概率为 ，  的取值有0，1，2，3，则 ， ， ， ，则 的分布列为：0123P所以 的数学期望 ．18．（1）解：由已知，得 ，  根据正弦定理，得 ，即 ，由于 ， ，所以 ， 为锐角，所以 ．（2）解：由 ，得 ，则 ，  所以 ，所以， ，则 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，所以 ．即 面积的最大值为 ．19．（1）解：满足条件的点H存在，且为PC上靠近P的三等分点． 在PC上取靠近P的三等分点H，连接AP，FH，如图，则AP是平面PAB与平面PAC的交线，依题意， ，则有 ，又 平面PBE， 平面PBE，因此直线 平面PBE，所以在PC上是存在点H，为PC上靠近P的三等分点，使得直线 平面PBE.（2）解：取BC中点G，连接AG，交EF于点D，连接PD，因 ，依题意， ， ，  则 为二面角 的平面角，即 ，且 平面 ，而 平面 ，则平面 平面 ，在平面 内过P作 于O，又平面 平面 ，因此 平面 ，在平面 内过O作 ， 显然Ox，AD，OP两两垂直，分别以向量 ， ， 的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图，则 ， ， ， ，所以， ， ， ，设平面PBE的一个法向量为 ，由 ，令 ，得 ，设直线PC与平面PBE所成角为 ，则 ，所以直线PC与平面PBE所成角的正弦值为 ．20．（1）解：选①，设递增等差数列 的公差为 ，由 ， ， ，  有 ，化简得 ．则 ， ，所以 的通项公式为 ．选②，设递增等差数列 的公差为 ，由 ， ， ，有 ，化简得 ，即 ，解得 ，则 ，所以 的通项公式为 ．选③，设递增等差数列 的公差为 ，由 是 与 的等差中项，得 ，即 ，则有 ，化简得 ，即 ，解得 ，则 ，所以 的通项公式为 ．（2）解：由 是以2为首项，2为公比的等比数列，得 ，由（1）知 ，即有 ，  则 ，于是得 ，两式相减得： ，因此 ，又 ，不等式 ，等价于 ，于是得 ， 恒成立，令 ，则 ，则 时， ，即数列 递增，当 时， ，即数列 递减，当 时， ，则 ，所以实数 的取值范围是 ．21．（1）解：当 时， ，  则 ，则 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增．所以， 时， 取得极大值 ； 时， 取得极小值 ．又 ， ，所以， 有三个零点时， ．（2）解：由 得  ， ， ．令 ，则 ，又设 ，则 ，则 时 ， 即 单调递增； 时 ， 即 单调递减，所以 在 处取得极大值，且极大值 ．①若 ，即 时，此时 ，则 即 单调递减，又 ，则 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，可知 在 处取得极大值，且极大值 （也即是最大值），所以 ，则 时，符合条件．②若 ，即 时，此时 ，故存在 ，使在区间 上， ，故 即 单调递增，又 ，则在区间 上， ，故在区间 上， 单调递减，则 ，不满足条件，综上所述，a的取值范围是 ．22．（1）解：将 ， 代入曲线E，  得 ，即 ，所以，E的极坐标方程为 ；（2）解：不妨设 ， ，  即 ， ，则 的面积 ，由于 ，令 ，则 ， ，则 ，故当 时， ，即 的面积的最大值为 ．23．（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ，  因此 ，当且仅当 ， 时取等号，所以 成立．（2）证明：因 ， ，且 ，则 ，  因此   ，当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，所以 成立．