2.1.2方法探究：二　不等式

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二　不等式 【必 记 结 论】1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是3．分式不等式>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)⇔4．利用基本不等式求最值(1)对于正数x，y，若积xy是定值P，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值S，则当x＝y时，积xy有最大值S2.(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有＝(ax＋by)·()＝a＋b＋≥a＋b＋2＝()2.(4)已知a，b，x，y∈R＋，若＝1，则有x＋y＝(x＋y)·()＝a＋b＋≥a＋b＋2＝()2.  【易 错 剖 析】易错点1　不能正确应用不等式性质【突破点】　在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．易错点2　忽视基本不等式应用的条件【突破点】　(1)利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤()2等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．(2)对形如y＝ax＋(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，同号．易错点3　解含参数的不等式时分类讨论不当【突破点】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易错点4　不等式恒成立问题处理不当【突破点】　应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．  【易 错 快 攻】易错快攻一　忽视基本不等式的应用条件[典例1]　函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则的最小值为(　　)A．3      B. 2C．      D．听课笔记：            易错快攻二　解含参数的不等式时分类不当致误[典例2]　已知函数f(x)＝ax2－x＋a.(1)若∀x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)已知实数a∈R，解关于x的不等式f(x)≥0.听课笔记：                              二　不等式[典例1]　解析：易知函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)．因为点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即＋n＝1，所以＝＝＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.答案：C[典例2]　解析：(1)若∀x>0，ax2－x＋a≥0即a≥恒成立，则只需满足a≥，x>0.令h(x)＝(x>0)，则h(x)＝＝，当且仅当x＝1时等号成立，故实数a的取值范围是.(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，①当a＝0时，f(x)≥0即－x≥0，此时f(x)≥0的解集为(－∞，0].②当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x＋a的图象的对称轴为直线x＝，令ax2－x＋a＝0，则Δ＝，(ⅰ)当a<－时，Δ<0，此时f(x)≥0的解集为∅；(ⅱ)当a＝－时，Δ＝0，此时f(x)≥0的解集为即{－1}；(ⅲ)当－<a<0时，Δ>0，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为[]；(ⅳ)当0<a<时，Δ>0，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为(－∞，；(ⅴ)当a≥时，Δ≤0，此时f(x)≥0的解集为R.综上，当a<－时，f(x)≥0的解集为∅；当a＝－时，f(x)≥0的解集为{－1}；当－<a<0时，f(x)≥0的解集为；当a＝0时，f(x)≥0的解集为(－∞，0]；当0<a<时，f(x)≥0的解集为；当a≥时，f(x)≥0的解集为R.