2023浙江省宁波市南三县中考数学一模试题

2023浙江省宁波市南三县中考数学一模试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．实数﹣2023的绝对值是（　　）

A．2023 B．﹣2023 C． D．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，其主视图是（　　）

A． B．

C． D．

5．据调查，某班40名学生所穿鞋子鞋号统计如下表：

则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（    ）

A．23，22 B．22，23 C．17，23 D．23，23

6．如图，在中，，分别是的中点，连结．若，，则的长为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4．8

7．小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原来的速度返回，父亲在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中表示父亲离家距离与离家时间的函数关系是（    ）

A． B． C． D．

8．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍，乙得甲十钱适等，问甲、乙怀钱各几何?”译文为：现有甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍，乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等，问甲、乙各带了多少两银子?设甲带了两银子，乙带了两银子，那么可列方程组为（    ）

A． B．

C． D．

9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

10．如图，过的对称中心的线段交于点，交于点为边上的一点，作交于，连结，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道的面积（    ）

A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积

二、填空题

11．实数的立方根是______

12．分解因式：______．

13．一个不透明的袋子里装有8个只有颜色不同的球，其中1个白球，2个红球，5个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为______

14．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为______．

15．如图，在中，，O为边上的动点，与边相切于点，连结，当为直角三角形时，的半径为______

16．如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点．交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为______，若，则的面积为______．

三、解答题

17．（1）计算∶

（2）解不等式组∶

18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，分别按要求画出图形．

(1)将图1中的绕点A逆时针旋转，画出旋转后的．

(2)在图2中的上找一点，使的面积与的面积之比为．

19．为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展第七届全国学生“学宪法讲宪法”系列活动．某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分) ．

(1)若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成绩，谁将会获得冠军?

(2)若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按的比例计算最后成绩，谁将会获得冠军?

20．如图，已知二次函数的图象经过点，点．

(1)求二次函数的表达式和顶点坐标．

(2)点在该二次函数图象上，当时，求n的值．

(3)已知，，若将该二次函数的图象向上平移个单位后与线段有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围．

21．如图1是一架踏板式人字梯，如图2是其侧面结构示意图，左支撑架和右支撑架长度都为，最上一层的踏板侧面平行于地面，若支撑架的张角．

(1)求的长．

(2)求踏板到地面的距离（结果精确到)（参考数据：）

22．抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量(件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数)，部分对应值如下表:

(1)求与的函数关系式．

(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．

(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

23．【基础巩固】

（1）如图1，于点B，于点C，交于点，求证∶．

【尝试应用】

（2）如图2，在矩形中，是上的一点，作交于点，，若，求的值．

【拓展提高】

（3）如图3，菱形的边长为为上的一点，作交于点，交于点，且，求的长．

24．如图1，为的对角线，的外接圆交于点，连结．

(1)求证∶．

(2)如图2，当时，连结，延长交于点，求证．

(3)如图3，在（2）的条件下，记的交点为点，连结．

①求证∶．

②当时，求的值．

参考答案：

1．A

【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．

【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，

所以，﹣2023的绝对值等于2023．

故选：A．

【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．

2．C

【分析】根据整式的减法运算，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方进行运算求解，然后进行判断即可．

【详解】解：A中，错误，故不符合要求；

B中，错误，故不符合要求；

C中，正确，故符合要求；

D中，错误，故不符合要求；

故选C．

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方等知识．解题的关键在于正确的运算．

3．B

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：1200万用科学记数法表示为．

故选：B．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．B

【分析】观察图形，根据主视图的定义即可得．

【详解】直三棱柱的主视图如图所示：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查图形的三视图中的主视图，熟知定义并仔细观察图形是解题的关键．

5．D

【分析】数据按照大小排列后处在中间位置或中间位置两个数的平均数，就是中位数，出现次数最多的数据叫做众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可．

【详解】解：40名学生所穿鞋子鞋号从小到大排列后处在中间位置的两个鞋号都是23，

∴中位数为，

出现次数最多的鞋号是23，共出现19次，故众数为23，

则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是23，23．

故选：D

【点睛】此题考查了中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．

6．C

【分析】由题意知，是的中位线，根据，求的值，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，在中，由勾股定理得，求的值，进而可得的值．

【详解】解：∵分别是的中点，

∴是的中位线，

∴，

∴，

又∵是直角三角形，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴，

故选C．

【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

7．C

【分析】由题意知，当时，；当时，；当时，；当时，；找出满足以上条件的图象即可．

【详解】解：由题意知，当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

∴满足以上条件的函数关系为C选项，

故选C．

【点睛】本题考查了与路程问题有关的函数图象．解题的关键在于理解题意．

8．A

【分析】根据“甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍”、“乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等”建立方程组即可得．

【详解】解：由题意可列方程组为，

故选：A．

【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．

9．D

【分析】先把代入，求出n值，再根据图象直接求解即可．

【详解】解：把代入，得

，解得：，

∴，

∵图象交于、两点，

∴当时，或．

故选：D．

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握利用图象法求自变量的取值范围是解题的关键．

10．B

【分析】过点P作于点N，过点A作于点M，则，得到，由过的对称中心，则，由，得到进一步得到，，则可得到，即可得到答案．

【详解】解：过点P作于点N，过点A作于点M，

∴，

∴，

∵过的对称中心，

∴，

∵，

∴

，

，

∴，

即只需要知道的面积，就能知道的面积．

故选：B

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．

11．

【分析】根据立方根的意义进行计算即可．

【详解】解：实数的立方根是，

故答案为：

【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的求法是解题的关键．

12．/

【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．

【详解】解：

=2（m2-9）

=2（m+3）（m-3）．

故答案为：2（m+3）（m-3）．

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．

【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可．

【详解】解：从布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数．

14．米/米

【分析】由题意知，，，计算求解的值，然后根据计算求解即可．

【详解】解：由题意知，，，

解得，，

∴，

故答案为：米或米．

【点睛】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．

15．或

【分析】作于点E，求得，，分两种情况讨论，当时，求得，利用正切函数列方程即可求解；当时，的半径为的长，据此即可求解．

【详解】解：作于点E，

∵，，

∴，，

当时，

设的半径为x，则，，

∵，

∴，即，

∴，

∴；即的半径为；

当时，此时，点C与点O重合，点D与点E重合，即的半径为的长，

∴的半径为；

综上，的半径为或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了切线的性质，正切函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

16．         

【分析】（1）根据反比例函数的性质及矩形的性质设，进而得到的值即可解答；

（2）根据反比例函数的性质得到面积之间的关系，再根据坐标点的坐标即可求得的面积．

【详解】解：①∵，点是的中点，

∴，,

设，

∴，，，

∵反比例函数过的中点，

∴，

∴，

∵双曲线过点，

∴，

∴，

②过点作于点，过点作于点，

∵点都在抛物线双曲线，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴四边形是梯形，

∵，

∴，，，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

17．（1）；（2）

【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则展开，再合并即可求解；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：（1）

；

（2），

解不等式得：；

解不等式得：；

则不等式组的解集为．

【点睛】本题考查的是整式的运算，解一元一次不等式组．正确求出每一个不等式解集是解一元一次不等式组的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）分别作出点B和点C绕点A逆时针旋转得到对应点，顺次连接A、即可得到旋转后的；

（2）利用网格的特点构造，得到上的点，且，连接即可．

【详解】（1）解：如图，即为所求，

（2）如图所示，点即为所求的点．

如图，根据网格特点得到，与相交于点F，连接，

∴，

∵，，

∴，

∴的面积与的面积之比为．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转作图等知识，熟练掌握图形的旋转作图和相似三角形的判定和性质是解题的关键．

19．(1)乙

(2)甲

【分析】（1）分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可；

（2）分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可．

【详解】（1）解：由题意知，甲的平均分为：分；

乙的平均分为：分；

∵，

∴乙会获得冠军；

（2）解：由题意知，甲的最后成绩为：；

乙的最后成绩为：；

∵，

∴甲会获得冠军．

【点睛】本题考查了算术平均数与加权平均数．解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法．

20．(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）将点，代入，求出a和b的值，即可解答；

（2）把代入二次函数表达式，即可求解；

（3）分别求出抛物线与线段有一个交点和两个交点时k的值即可得到k的取值范围．

【详解】（1）解：将点，代入

得，解得，

∴二次函数解析式为，

∴二次函数的顶点坐标为．

（2）解：把点代入得：，

∵，

∴．

（3）解：∵，，

∴线段轴，其中点坐标为，

①若原抛物线向上平移k个单位，与线段只有一个公共点时，如图，

此时，；

②若原抛物线向上平移k个单位，与线段有两个公共点时，且恰好为A、B两点，如图，

设此时抛物线的解析式为，

把或代入，求得，，

∴，

综上所述，将该二次函数的图象向上平移个单位后与线段有交点，k的取值范围为．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．

21．(1)

(2)

【分析】（1）过点A作于点H，利用等腰三角形的判定和性质得到，，利用解直角三角形得，即可得到的长．

（2）设交于点M，得，，，求出，即可得到，得到踏板到地面的距离．

【详解】（1）解：过点A作于点H，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

即的长为．

（2）解：设交于点M，

∵，

∴，，

∴，，

∵，

∴，

即踏板到地面的距离为．

【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质和解直角三角形是解题的关键．

22．(1)

(2)13元

(3)当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元

【分析】（1）待定系数法求解即可；

（2）由题意知，利润，令，则，计算求解满足要求的值即可；

（3）根据二次函数的性质以及的取值范围进行求解即可．

【详解】（1）解：设与的函数关系式为，，

将，代入得，

解得，

∴，

∴与的函数关系式为；

（2）解：由题意知，利润，

令，则，

解得或（不合题意，舍去），

∴每件消毒用品的售价为13元；

（3）解：由（2）知，

∵，

∴当时，随着的增大而增大，

∴当时，，此时利润最大，

∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

23．（1）见解析

（2）

（3）

【分析】（1）证明即可得出结论；

（2）先证明，得，再设，则，，即，解之即可求出x值，再把x值代入比例式中即可求解；

（3）连接交于M，交于O，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，然后证明，得到， 则，即可求得，，从而求得，则可求得，，，证明得，即，则，最后由求解即可．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）∵矩形，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

设，则，，

∴，

解得：，（不符合题意，舍去），

∴；

（3）连接交于M，交于O，

∵菱形，

∴，

∴，

∴，

设，，由勾股定理，得

，解得：，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵菱形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵，即，

∴，

∴，，

∵菱形，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴．

【点睛】本题考查矩形的性质 ，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目．

24．(1)见解析

(2)见解析

(3)①见解析；②．

【分析】（1）根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明；

（2）由垂径定理证明，再推出，即可证明结论；

（3）①由，推出，再证明，推出，得到，推出，计算即可证明结论；

②设，得到，，，由角平分线的性质求得，证明，求得，由角平分线的性质推出，在和中，求得，然后推出，即可求解．

【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）证明：∵，经过圆心，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

又，

∴；

（3）①证明：连接，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，，

∵，

∴，  

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②延长交于点H，

∵，

∴，

∵，

∴设，则，，

∴，

∵，

∴，

∵，即是的平分线，

∴点F到两边的距离相等，  

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

由（2）可知：是的平分线，同理，，即，

∴，

设的半径为R，

∵，

∴，

解得，即，  

设，

在和中，，整理得，即，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，本题难度大，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．