上海市青浦区2023届高三二模数学试题

上海市青浦区2023届高三二模数学试题

一、单选题

1．设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ）

A．和 B．和

C．和 D．和

2．已知为正整数，则“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（   ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既不充分也不必要

3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

4．已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（   ）.

A． B．

C． D．

二、填空题

5．直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __．

6．已知复数满足（为虚数单位），则_______________.

7．已知向量，，则在方向上的投影是_______________.

8．过点与直线垂直的直线方程为_______________.

9．已知集合，若，则实数的取值范围为___________.

10．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为______．

11．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是_______________.

12．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.

13．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于_________米.

14．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是____.

15．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．

16．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为________.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及对称轴方程

(2)求在上的值域.

18．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角，，为侧棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

19．在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)求频率分布直方图中实数的值；

(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.

20．如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．

(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；

(2)若，求点的坐标；

(3)证明：直线与抛物线相切．

21．设是定义域为的函数，当时，.

(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；

(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；

(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.

参考答案：

1．C

【分析】根据基底的知识确定正确答案.

【详解】依题意，不共线，

A选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

B选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

C选项，，

所以和不能构成基底.

D选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

故选：C

2．C

【分析】根据二项式展开式的通项公式以及充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】展开式的通项公式为，

令，解得，

所以，若的二项展开式中存在常数项，则是的倍数.

所以“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的充要条件.

故选：C

3．B

【详解】试题分析：，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程中的为9.4，

∴42=9．4×3．5+a，

∴=9．1，

∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，

∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5

考点：线性回归方程

4．D

【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案.

【详解】当时，，

所以，

易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增，

又当为正偶数时，存在，即，

所以，此时有，所以，

又对于任意的正奇数，，即，

所以或恒成立，所以或，

综上，实数的取值范围是，

故选：D．

5．平行或相交

【分析】利用平面的基本性质求解即可.

【详解】因为直线a，b确定一个平面，

所以a，b的位置关系为平行或相交，

故答案为：平行或相交

6．/

【分析】根据复数的除法运算法则即可求得结果．

【详解】，

，

故答案为：．

7．

【分析】根据向量投影的知识求得正确答案.

【详解】在方向上的投影是.

故答案为：

8．

【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程.

【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，

解得，

故所求直线方程为.

故答案为：.

9．

【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围.

【详解】由解得，所以，

由于，所以，

所以的取值范围是.

故答案为：

10．

【分析】设球的半径为,根据圆柱的体积可求得，利用球的表面积公式即可求得答案.

【详解】设球的半径为,则圆柱的底面直径和高皆为，

故圆柱的体积为，

故球的表面积为 ，

故答案为：

11．

【分析】根据图像判断出的关系，进而求得不等式的解集.

【详解】根据函数的图像可知：

，即，

不等式可化为，

即，

解得或，

所以不等式的解集是.

故答案为：

12．

【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，

因为，即，

所以，函数为周期函数，且周期为，则，

在等式中，令，可得，所以，，

因为，则，

因为，

所以，

.

故答案为：.

13．

【分析】先求得，再利用余弦定理求得.

【详解】，

，

在三角形中，

由余弦定理得米.

故答案为：

14．

【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】由题意数列的通项公式为，,满足

，且对任意的恒成立，

当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得

，所以实数的取值范围是.

故答案为：.

15．

【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解

【详解】设椭圆的半焦距为，

如图，延长，与椭圆交于点L，连接，

由，所以根据对称性可知，，

设，则，，

从而，故，

在中，，所以，

在中，，即，

所以，所以，所以离心率，

故答案为：

16．

【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意.

【详解】画出函数的图象，如图1所示：

圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：

此时绕着原点旋转弧度为；

若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：

此时转过的角度为，不满足题意；

若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：

此时转过的角度为；

故答案为：.

17．(1)，

(2)

【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式变形化简，然后利用周期公式及正弦函数的性质求解即可；

（2）通过的范围求出的范围，进而可求出的范围，则在上的值域可求.

【详解】（1）由已知

则函数的最小正周期为，

令，得，

即函数的对称轴方程为；

（2）由（1），

，

，

，

，

即在上的值域为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）解：因为是等腰直角三角形，且，则，

因为在直三棱柱中，平面，

因为平面，所以，，

因为，、平面，故平面.

（2）解：因为平面，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

易知平面的一个法向量为，

，则，

因此，二面角的正弦值为.

19．(1)，

(2)

(3)分布列详见解析，数学期望为

【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得.

（2）根据古典概型的知识求得所求概率.

（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.

【详解】（1）.

，解得.

（2）已知抽取的学生有男生，

则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.

（3）每天学习时间在和的学生比例为，

所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.

再从这8人中选3人进行电话访谈，

抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，

，

，

，

所以的分布列如下：

数学期望.

20．(1)

(2)

(3)证明见详解

【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义将的长度转化成点到准线的距离即可；

（2）设与直线，根据直线直线分别与抛物线相切，可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0，进而得出的两根，结合韦达定理与可得即可求解；

（3）根据题设，直线分别与抛物线相切，可将直线分别与抛物线联立得到等量关系，要证明直线与抛物线相切，最后再将直线与抛物线联立证明判别式为0即可．

【详解】（1）设，且在抛物线上，故满足

为抛物线的焦点，，抛物线的准线为 ，

线段的长等于点到准线的距离，即．

（2）设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线，

联立，化简得：，

直线与抛物线相切，，即 ①，

又直线均与抛物线相切，

为方程①的两根，且有，

，，解得，

将代入得：，故的坐标为．

（3）设，，，

，直线，

联立，化简可得：，

又直线与抛物线相切，，即 ②，

同理，直线与抛物线相切，可得③，

由方程②③可得，为方程的两根，

，，

又，，故直线，

联立，化简得：，

，

直线与抛物线相切，故得证．

21．(1)证明见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；

（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；

（3）利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明.

【详解】（1）不妨设，在区间上严格增，

对任意，有，

又，

函数在区间上是严格增函数；

（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，

当在区间上严格减时，在区间上是严格减，

又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，

可得，

当时，，在左右附近两侧异号，

满足条件，所以.

（3）当时，

由条件知，

当时，对任意，有，

即，

又的值域是，，

当时，对任意，有，

，

又的值域是，，

综上可知，任意，.