中考数学二轮复习第06讲 分式（易错点梳理+微练习）（教师版）

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第06讲  分式易错点梳理 易错点01  分式值为0时，忽略分母不为0的条件分式的值为0，必须同时满足两个条件，即分子的值为0，分母不等于0，两者缺一不可。易错点02  在分式约分过程中出现乱约分或约分不彻底的错误分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的，分子或分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约为要彻底，使分子、分母没有公因式。易错点03  分式运算时忽视分数线的括号作用在分式的运算中遇到减法，并且减式的分子是一个多项式，当分子相减时必须给分子加上括号，因为分数线有括号的作用。易错点04  解分式方程去分母时出现漏乘现象解分式方程去分母时，方程两边的每一部分都要乘以最简公分母，当单独一个整数作为一项时，容易出现漏乘现象。易错点05  解分式方程忘记检验检验所得的解是否为增根是解分式方程的必要步骤，不可忽略。考向01  分式有意义的条件和分式值为0的条件例题1：（2021·广西贵港·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）A．x≠－5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞－5【答案】A【思路分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．【解析】解：根据分式有意义的条件，可得：，，故选：A．【点拨】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键．例题2：（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（　　）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【答案】A【思路分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．【解析】由题意可得：且，解得．故选A．【点拨】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．考向02  分式的基本性质例题3：（2021·河北安次·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【思路分析】根据分式的基本性质进行判断即可．【解析】解：A、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；B、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；C、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；D、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C．【点拨】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．例题4：（2021·广东·广州市第十六中学二模）下列计算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【思路分析】A、根据积的乘方运算法则判断；B、根据分式的基本性质判断；C、根据二次根式的性质判断；D、根据同底数幂的除法法则判断．【解析】解：A、，故本选项不合题意；B、当时，，故本选项不合题意；C、由题意可得，所以，故本选项符合题意；D、，故本选项不合题意；故选：C．【点拨】本题考查了积的乘方，分式的基本性质，二次根式的性质以及同底数幂的除法，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．考向03  分式的运算例题5：（2021·山东济南·中考真题）计算的结果是（    ）A． B． C． D．【答案】B【思路分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．【解析】解：；故选B．【点拨】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．例题6：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【思路分析】根据分式的计算法则，积的乘方计算法则和完全平方公式对每个选项进行计算即可．【解析】A：，符合题意．B：，不符合题意．C：，不符合题意．D：，不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查分式的计算法则，积的乘方计算法则和多项式的乘法法则，熟练掌握这些运算法则是解题关键．考向04  分式方程的概念例题7：（2021·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【思路分析】解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.【解析】解：方程两边同时乘以得：，∴，∵分式方程有解，∴，∴，∴，∴，故选B.【点拨】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.例题8：（2021·广西百色·中考真题）方程＝的解是（    ）．A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3【答案】D【思路分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．【解析】∵＝∴ ∴经检验，当时，与均不等于0∴方程＝的解是：x＝3故选：D．【点拨】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．考向05  分式方程的应用例题9：（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元件）售价（元件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【思路分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；（2）根据题意列不等式组解答；（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．【解析】解：（1）依题意得：，整理，得：，解得：，经检验，是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，根据题意得：，解得：，为整数，，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为，则，①当时，，随的增大而增大，当时，最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当时，，，（2）中所有方案获利都一样；③当时，，随的增大而减小，当时，最大，此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【点拨】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．例题10：（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【思路分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．【解析】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：，解得：，经检验是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：，解得：，∵m为正整数，∴m的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．一、单选题1．（2021·重庆八中二模）函数y＝中自变量x的取值范围是（    ）A．x≠﹣3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≤﹣3【答案】B【分析】解：由题意，得3﹣x≠0，解得x≠3．故选：B．2．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）PM2.5是指大气中直径小于或等0.0000025m的颗粒物，将数据0.0000025科学记数法表示为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：C．3．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简的结果是（   ）A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b【答案】B【分析】原式=，故选B．4．（2021·四川省成都市七中育才学校一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；方程的根为x=2，故②正确；方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；是分式方程，故④正确；故选：B．5．（2021·重庆八中二模）若数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】解：解不等式组，解得：，∵不等式组有且仅有4个整数解，∴﹣1＜≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程＝1，得y＝，∵y＝≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ）A． B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6【答案】B【分析】解：去分母得，2x－b＝3x－6，∴x＝6－b，∵x≥0，∴6－b≥0，解得，b≤6，又∵x－2≠0，∴x≠2，即6－b≠2，b≠4，则b的取值范围是b≤6且b≠4，故选：B．7．（2021·甘肃庆阳·二模）关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（    ）A．-1 B．1 C．2 D．5【答案】A【分析】解：方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），将x=2代入，得：6=2（2-a），解得a=-1，故选：A．8．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程＝1时产生增根，那么常数m的值为（    ）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3【答案】D【分析】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，∵方程有增根，∴x＝2，将x＝2代入x﹣5﹣m＝x﹣2，得：m＝﹣3，故选D．9．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：，故选：D．10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为，设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为，由题意可得，，故选：C．11．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（    ）A． B．C．10x＝40（x+6） D．10（x﹣6）＝40x【答案】A【分析】解:设第二次分钱的人数为人,则第一次分钱的人数为人,依据题意:,故选A．12．（2021·内蒙古东胜·二模）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解：设更新技术后每天生产x万份疫苗，则更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，依题意得，，故选：B．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若分式有意义，则x的取值范围是_________．【答案】【分析】解：∵分式有意义，∴，解得：，故答案为：x≠-6．14．（2021·北京·101中学三模）分式的值等于0，则x＝_______．【答案】-2【分析】解：根据题意，得x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）＝0且x﹣2≠0．所以x+2＝0．所以x＝﹣2．故答案是：﹣2．15．（2021·广东实验中学三模）代数式有意义时，x应满足的条件为______．【答案】x≠1【分析】解：根据题意得：x−1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠116．（2021·福建·模拟预测）化简的结果是_____．【答案】m【分析】．故答案为 ：．17．（2021·湖北青山·一模）计算的结果是______．【答案】1【分析】解：．18．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校一模）分式方程的解是______．【答案】【分析】解：，方程两边同乘，得，去括号，得，移项得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x的方程无解，则m的值是___．【答案】或1【分析】解：①当方程有增根时，方程两边都乘，得，∴最简公分母，解得，当时，，故m的值是1，②当方程没有增根时，方程两边都乘，得，解得，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时，解得，∴综上所述，当或1时，方程无解.故答案为：或1.20．（2021·广东·江门市第二中学二模）方程的解是______．【答案】【分析】解：，两边同乘(x+1)(x-1)得：x(x-1)=5(x+1)，解整式方程得，x=；经检验，x=是原分式方程的解．故答案为：x=．三、解答题21．（2021·安徽·三模）解方程：．【答案】x＝3【分析】解：方程的两边同乘x−1，得：，解这个方程，得：x＝3，检验，把x＝3代入x−1＝3－1＝2≠0，∴原方程的解是x＝3．22．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）解分式方程：．【答案】无解【分析】解：去分母得：1-x=-1-2x+4，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．23．（2021·广东实验中学三模）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外科口罩花费2000元N95口罩花费10000元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少8元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元?（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次外科口罩多少只?【答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)至少购进一次性医用外科口罩1000只．【分析】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+8)元，由题意可知：，解得：，经检验，是原方程的解，x+8=2+8=10，故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+10(1800-y)≤10000，解得y≥1000，故至少购进一次性医用外科口罩1000只．24．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）为提升青少年的身体素质，我市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？（2）学校计划购买篮球、足球共60个，总费用不多于5200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．【分析】解：（1）设篮球每个x元，足球每个x元，由题意得：，解得：x=100，经检验：x=100是原方程的解且符合题意，则足球的单价为：x＝×100＝80（元），答：篮球每个100元，足球每个80元；（2）足球m个，总费用为w元，则篮球（60-m）个，由题意得， w=80m+100（60-m）=-20m+6000，再由题意可得，，解得，40≤m≤45，由w=-20m+6000，∵-20＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=45时，w取得最小值，此时w=5100元，其中60-m=15，答：当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．