中考数学二轮复习第10讲 三角形与全等三角形（压轴题组）（教师版）

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第10讲 三角形与全等三角形（压轴题组）
1．（2021·江西赣州·九年级期中）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，连接GC，HB．

（1）证明：△AHB≌△AGC
（2）如图2，连接HG和GF，其中HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②EH= 或；
【详解】
（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴AB=AC，
∵线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，
∴AH=AG，∠HAD=90°，
∴∠BAH+∠HAF=∠HAF+∠CAG=90°，
∴∠BAH=∠CAG，
在△ABH和△ABG中，
，
∴△ABH≌△ABG（SAS），

（2）①证明：∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AE=，AF=，EF∥BC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=，
在△AEH和△AFG中，
，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFE+∠AFG=45°+45°=90°，
∴∠HFG＝90°；

②解：∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，
根据勾股定理，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF=，
∵△AQG为等腰三角形
分三种情况
当AQ=GQ时，
∵AH=AG，∠HAG=90°，
∴∠AHG=∠AGH=，
∴∠QAG=∠QGA=45°，
∴∠AQG=180°-∠QAG-∠QGA=90°，
∴HG⊥AC，
∴∠HAQ=90°-∠QAG=90°-45°=45°，
∴∠EAH=90°-∠HAQ=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，AE=AF，
∴EH=HF=

当AG=GQ=AH，∠AGQ=45°，
∴∠GAQ=∠GQA=，
∴∠EAH=∠QAG=67.5，
∴∠AHE=180°-∠AEH-∠EAH=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠EAH=∠EHA=67.5°
∴EH=AE=；

当AQ=QG时，过A作AM⊥HG于M，
∵∠AQG是△AQM的外角，
∴∠AQG＞∠AMQ=90°＞∠AGQ=45°，
∴AQ=AG不成立．

综合得EH=或2．
2．（2021·北京市第三十一中学九年级期中）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．G为DF的中点，连接EG，CG ，EC．
（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针方向旋转至图2所示位置，在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中的△BEF，绕点B顺时针旋转（0°＜＜90°），若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，求DF的长．

【答案】（1）EG⊥CG，＝，（2）结论还成立，证明见解析，（3）﹣1．
【详解】
解：（1）EG⊥CG，＝，
延长EG交CD延长线于H，
∵EF∥DC，
∴∠FEG＝∠DHG，
在△EFG和△HDG中

∴△EFG≌△HDG，
∴DH＝EF=BE，EG＝GH，
∵∠DCB＝90°，BC＝CD，
∴CE＝CH，
∴EG＝GC，EG⊥GC，
即△EGC是等腰直角三角形，
∴＝；

（2）结论还成立，
理由是：如图2，延长EG到H，使EG＝GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，
∵在△EFG和△HDG中

∴△EFG≌△HDG（SAS），
∴DH＝EF＝BE，∠FEG＝∠DHG，
∴EF∥DH，
又∵ER∥CD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3＝∠4，
∴∠EBC＝180°﹣∠4＝180°﹣∠1＝∠HDC，
在△EBC和△HDC中

∴△EBC≌△HDC．
∴CE＝CH，∠BCE＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠DCH+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G为EH的中点，
∴EG⊥GC，＝，

（3）连接BD，
∵AB＝，正方形ABCD，
∴BD＝2，
∵BE＝FE＝1，
∴，
∴DF＝DE﹣EF＝﹣1．

3．（2021·湖北青山·九年级期中）已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜120），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．
（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；
（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；
（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为 　 　．


【答案】（1）∠E=80゜，∠CFE=60゜；（2）见解析；（3）
【详解】
（1）∵CE由CD绕点C顺时针旋转α°而得到
∴CE=CD，∠DCE=α゜
∴，∠BCE=∠BCD+∠DCE=60゜+α゜
当α=20时，
∵CF平分∠BCE
∴
在△CFE中，
（2））如图，在EF上取点H，且使EH=DF，连接CH
在△CEH和△CDF中

∵△CEH≌△CDF
∴CH=CF
由（1）知，∠CFE=60゜
∴△CFH是等边三角形
∴CF=FH
∴

（3）连接AC、BD、BF，作△BCD的外接圆⊙O，设⊙O交AC于点M，连接GM、BM，OF
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60゜
∴BC=BD，
∴△BCD是等边三角形
∵CF平分∠BCE
∴∠BCF=∠ECF
∵CB=CD=CE，CF=CF
∴△BCF≌△ECF
∴∠BFC=∠CFE=60゜
∴点F在⊙O上
∵AC垂直平分BD
∴O点在AC上
∵等边三角形外接圆的半径为等边三角形的边长
∴OC=
∵菱形ABCD的对角线
∴AM=MO=OC=
∴
∵∠BMC=∠BDC=60゜，∠BAM=30゜
∴在△AMB中，∠ABM=30゜
∴
∵
∴BG的最大值为
故答案为：

4．（2021·福建安溪·九年级期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．
（1）如图1，若n＝1，则DE　 　DF；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）连接EF．
①如图2，沿着直线EF折叠，使得点A落在边BC上的D点，求的值（含n的式子表示）；
②如图3，EFBC，且，求出n的值．

【答案】（1）；（2）；（3）或
【详解】
（1）如图，连接，

△ABC是等腰直角三角形
，
，
，

在与△BED中

△BED

故答案为：=
（2）过点作，



四边形是矩形


是等腰直角三角形


折叠

，







（3）如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，


是等腰三角形，


四边形是平行四边形

四边形是矩形
，


设，则
，，






设，则

解得
当时，

当时，


或
5．（2021·陕西莲湖·九年级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
问题提出
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 　 　，CE与CB的位置关系是 　 　．
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，对角线BD是一条花间小径，现计划在BD延长线上（包括D点）取点P，以AP为边长修建一个等边△APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点E再修一条直直的小路BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在BE中点处设置一个直饮水点F，求饮水点F到C点的最短距离．

【答案】（1）；；（2）结论成立，证明过程见详解；（3）m
【详解】
（1）如图1中，结论：，.
理由：连接.

∵四边形是菱形，，
∴△ABC，都是等边三角形，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴△BAP≌△CAE，
∴，，
延长交于，
∵，
∴，
∴，即
.

故答案为，.
（2）结论仍然成立.
理由：如图2，连接交于，设交于.

∵四边形是菱形，，
∴△ABC，都是等边三角形，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴△BAP≌△CAE，
∴，，
∵，
∴，
∴，即

，
（3）根据题目，为了使到点的距离最短，在固定的情况下，越小，越短，越小，点距离点越小，即边长越小，即当点位于点时，最小,如图所示：

且四边形为菱形
，

点位于线段上
，，则点A为的中点
点与点重合

，
∴△ABC为等边三角形

点到点的最短距离为m．
6．（2021·陕西·交大附中分校九年级期中）问题研究，如图，在等腰△ABC中，，点、为底边上的两个动点（不与、重合），且．
（1）请在图中找出一个与相似的三角形，这个三角形是__________；


（2）若，分别过点、作、的垂线，垂足分别为、，且、的反向延长线交于点，若，求四边形的面积；


问题解决
（3）如图所示，有一个矩形仓库，其中米，米，现计划在仓库的内部的、两处分别安装监控摄像头，其中点在边上，点在边上．设计要求且，则的长应为多少米？


【答案】（1）△DAE；（2）四边形的面积为；（3）CE的长为米．
【详解】
解：（1）∵，，
∴△DAE∽△ABE，
故答案为：△DAE；
（2）如图所示：把△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACH，连接EH，


∴△ABD≌△ACH，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在△HAE和△DAE中，
，
∴△HAE≌△DAE，
∴，
∴，
∵于点G，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
在△DEM中，
，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即四边形的面积为；
（3）如图，延长AD到S，延长BC到G，使，连接SG，延长AF交SG于点H，连接EH，延长GS到T，使，连接AT，则四边形ABGS为正方形，


∴，
，
在△ABE和△AST中，
，
∴△ABE≌△AST，
∴，，
∴，，
∴，
在△ATH和△AEH中，
，
∴△ATH≌△AEH，
∴，
设，则
，，，
∵DFSH，
∴△ADF∽△ASH，
∴，即：，
解得：，
∴=，
，
∴在Rt△ADF中，
，
解得：，（舍去），
即CE的长为米．
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝kx＋3分别交x轴、y轴于点A、B，∠BAO＝45°．

（1）求直线AB的解析式；
（2）点C在x轴负半轴上，连接CB，过点B作BC的垂线交x轴于点P，设点P的横坐标为t，△BAP的面积为S，求S与t之间的函数解析式，（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，延长BC至Q，使BQ＝BP，过点Q作x轴的垂线交x轴于点D，点E为线段CQ的中点，过点E作BQ的垂线交BD的延长线与点F，若EF＝，求Q点坐标．
【答案】（1）y＝－x＋3；（2）；（3）Q（－3，－6）
【详解】
解：（1）将x＝0代入y＝kx＋3得：y＝3，
∴OB＝3，
∵∠BAO＝45°，∠BOA＝90°，
∴∠OBA＝90°－∠BAO＝45°＝∠BAO，
∴OA＝OB＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
将x＝3，y＝0代入y＝kx＋3得：0＝3k＋3，
解得：k＝－1，
∴直线AB的解析式为y＝－x＋3；
（2）∵点P的横坐标为t，
∴OP＝t，
∴AP＝OP－OA＝t－3，
∴

，
∴S与t之间的函数解析式为；
（3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，过点F作FM⊥QD于点M，作FN⊥x轴于点N，连接FQ，FC，

∵BP⊥BC，
∴∠PBC＝90°，
∴∠PBO＋∠QBH＝90°，
∵QH⊥y轴，∠BOP＝90°，
∴∠QHB＝∠BOP＝90°，
∴∠PBO＋∠BPO＝90°，
∴∠BPO＝∠QBH，
在△QBH与△BPO中，
，
∴△QBH≌△BPO，
∴QH＝OB＝3，
∵QH⊥y轴，QD⊥x轴，∠DOH＝90°，
∴四边形QDOH为矩形，
∴OD＝QH＝OB＝3，
又∵∠DOB＝90°，
∴∠ODB＝∠OBD＝45°，
∴∠FDN＝∠ODB＝45°，
又∵∠QDN＝90°，
∴∠FDM＝90°－∠FDN＝45°＝∠FDN，
∴FD平分∠MDN，
又∵FM⊥QD，FN⊥x轴，
∴FM＝FN，∠FNC＝∠FMQ＝90°，
∵点E为线段CQ的中点，FE⊥CQ，
∴FC＝FQ，
在Rt△FNC与Rt△FMQ中，
，
∴Rt△FNC≌Rt△FMQ，
∴∠NFC＝∠MFQ，
∴∠NFC＋∠MFC＝∠MFQ＋∠MFC，
即∠NFM＝∠CFQ，
∵∠FNC＝∠FMQ＝∠MDN＝90°，FM＝FN，
∴四边形MDNF为正方形，
∴∠CFQ＝∠NFM＝90°，FM＝DM，
∵∠CFQ＝90°，点E为线段CQ的中点，EF＝，
∴EQ＝EC＝EF＝，
∴，
∵OD＝OB＝3，∠DOB＝90°，
∴，
设FM＝DM＝m，则，
∴，
∵∠CFQ＝90°，FC＝FQ，
∴∠FQC＝∠FCQ＝45°，
∴∠FQC＝∠OBD，
∵QD⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴QDy轴，
∴∠DQC＝∠OBC，
∴∠FQC－∠DQC＝∠OBD－∠OBC，
即∠FQM＝∠FBE，
又∵∠FMQ＝∠FEB＝90°，
∴△FMQ∽△FEB，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴FM＝DM＝2，
∴，
∴QD＝DM＋MQ＝6，
又∵点Q在第三象限，OD＝3，
∴点Q的坐标为（－3，－6）．
8．（2021·河南·金明中小学九年级期中）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为（）．

（1）如图1，与的数量关系是___________，与的位置关系是___________；
（2）如图2，（1）中和的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当点D在线段上时，___________．
（4）当旋转角__________时，的面积最大．
【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）；（4）或
【详解】
解：（1）如图：

与的数量关系是相等，理由如下：
，
，
；
与的位置关系是垂直，理由如下：
，
又点分别在上，
；
（2）成立：理由分别如下：
如图：

根据旋转的性质可得：，
∴△ABD≌△ACE，
，
作的延长线交于点，交于点，如下图：

由可知，
，
，
∴△AGB∽△FGC，
，
，
即；
（3）当点在线段上时，
，
，
，
又，，
，
，
；
（4）由题意知，点的轨迹在以为圆心，为半径的圆，
在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大，
故如图所示，

当时，的面积最大，
旋转角为或，
故答案为：或．
9．（2021·北京·景山学校九年级期中）在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，
①AC的长为 　 　；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为 　 　，∠BCE与∠A的数量关系为 　 　．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
①按要求补全图形；
②求AE的长．

【答案】（1）①，②，；（2）①作图见解析部分，②
【详解】
解：（1）①如图1中，

，，
，，
，
．
故答案为：．
②连接．
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）①图形如图2所示：

②如图2中，在的上方作，使得，，过点作于．
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
10．（2021·山西·九年级期中）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰直角三角形，如图1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC摆在一起，其中直角顶点A重合，延长CA至点F ，满足AF=AC，然后连接DF、BE．
实践猜想：
（1）图1中的BE与DF的数量关系为： ，位置关系为： ．
猜想证明：
（2）当△ADE绕着点A顺时针旋转一定角度α（0＜α＜90°）时，如图2所示，（1）中的结论是否还成立?若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，△ADE绕着点A顺时针旋转一定角度α（0＜α＜360°）的过程中，求BE的最大值与最小值．

【答案】（1）BE=DF，BE⊥DF；（2）成立，证明见解析；（3）BE的最大值是6，最小值是2．
【详解】
解：（1）如图，延长FD交BE于点M，
∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形，且AF=AC，
∴AD=AE，AB=AC=AF，∠DAE=∠BAC=∠DAF=90°，
∴△ADF≌，
∴BE=DF，∠AFD=∠ABE，
又∵∠ADF=∠BDM，且∠ADF+∠AFD+∠FAD=180°，∠BDM+∠DBM+∠BMD=180°，
∴∠FAD=∠BMD=90°，
∴BE⊥DF，
故答案为：BE=DF，BE⊥DF；

（2）成立，证明过程如下：
如图，延长FD交BE于点M，交AB于点N，
∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形，且AF=AC，
∴AD=AE，AB=AC=AF，∠DAE=∠BAC=∠BAF=90°，
∴∠DAF+∠DAB=∠EAB+∠DAB，
∴∠DAF =∠EAB，
∴△ADF≌，
∴BE=DF，∠AFD=∠ABE，
又∵∠ANF=∠BNM，且∠ANF+∠AFN+∠FAN=180°，∠BNM+∠NBM+∠BMN=180°，
∴∠FAN=∠BMN=90°，
∴BE⊥DF；

（3）∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形，且，，
∴AB=4，AE=2，
∵AB－AE≤BE，
∴如图所示，当点E落在线段AB上时，存在最小值，最小值为AB－AE=2，

∵BE≤AB+AE，
∴如图所示，当点E落在线段BA延长线上时，存在最大值，最大值为AB+AE=6，

综上所述，BE的最大值是6，最小值是2．