中考数学二轮复习第11讲 勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）（教师版）

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第11讲 勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）
1．（2021·广东佛山·九年级期中）如图1，有一张矩形纸条，边、的长分别是方程的两个根，为上一点，．
（1）连接，，试说明．
（2）如图2，为边上一个动点，将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上，边与边交于点．
①如图3，当点与点重合时，求到的距离．
②在点从点运动到点的过程中，求点相应运动的路径长（路程）．

【答案】（1）见解析；（2）①；②
【详解】
解：（1）证明：如图1，

解方程得或，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
是直角三角形，；
（2）解：①四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
设到的距离为，
则，
，
即到的距离为；
②当与点重合时，如图3所示：

此时；
当时，如图4所示，

此时；
当在上，与重合，如图5所示：

此时；
点相应运动的路径长为：．
2．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．
（1）（图1）求DE：DF的值；
（2）（图2）连结EF，射线DF与射线BA相交于点G，当△EFG是等腰三角形时，求CF的长度；
（3）（图3）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵AD是BC边上的高，
∴，∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∴，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF即∠ADE=∠CDF，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，∠B+∠EAD=180°-∠ADB=90°，
∴∠EAD=∠C，
∴△EAD∽△FCD，
∴；
（2）如图所示，∵∠EFG=∠FDE+∠FED＞90°，
∴当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，
∵EF=GF，FA⊥EG，
∴A为EG的中点，
∵在直角三角形EDG中，A为EG的中点，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴；

（3）∵，AB=3，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴，，
∴，
在直角三角形AEF中，，
∴
在直角三角形DEF中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴

3．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，给出如下定义：记线段AB的中点为，当点不在⊙O上时，平移线段，使点落在⊙O上，得到线段（分别为点的对应点）．线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
（1）已知点的坐标为（－1，0），点在x轴上．
①若点与原点重合，则线段到⊙O的“平移距离”为________；
②若线段到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为________；
（2）若点都在直线上，＝2，记线段到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点的坐标为（－4，－2），AB＝2，记线段到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

【答案】（1）①；②(-5，0)或(7，0)；（2）；（3）
【详解】
（1）①当B与原点O重合时，AB中点为，移动最小距离为向左平移到⊙O上．
故答案为：．
②当“平移距离”为2时，如图：

有两种情况：①当为时，，AB=4， 为．
②当为时，，AB=8，B为．
故答案为： 或．
（2）如图：

直线如图l，当l平移到m位置时，最小；即平移到直线m与⊙O相切时，最小．
过点O作于E，
则
设直线OE为y=kx，
，
∴，即，
∴．
联立方程组，
解得：，
∴E为，
∴，
∴．
（3）∵，
∴AM=1，
即M点在以A为圆心，半径为1的圆上，如图所示：

连接OA 交⊙A于E、F，可知：当M在点F时，最小；在点E时，最大．
当M在F时，，
当M在E时，，
∴．
4．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）在△ABC中，AB＝BC＝5，AD⊥BC于D，AD＝4．动点P从点B出发，沿折线BA→AC运动（点P不与B、C重合），点P在边BA上运动的速度为2.5个单位长度，在边AC上的运动速度为个单位长度，过P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边向右作矩形PQFE，使PQ＝2PE，点F在线段BC上，设点P运动的时间为t．
（1）点P在BA上时，则PQ＝　 　；（用含t代数式表示）
（2）点P在AC上时，则PQ＝　 　；（用含t代数式表示）
（3）连结DE，当△DEF与△ADC相似时，求t的值．
（4）设矩形PQFE的对角线相交于点O，当点O在△ACD边上时，直接写出t的取值范围．

【答案】（1）2t；（2）6﹣t；（3）或或2或5；（4）t＝或2≤t＜6
【详解】
解：（1）点P在BA上时，点P在边BA上运动的速度为2.5个单位长度，BP=2.5t,
∵四边形PQFE是矩形，
∴PQ⊥QF，
∵点F在线段BC上，
∴PQ⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ∥AD，
∴∠BPQ＝∠BAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BPQ∽△BAD，
∴，
∵BP＝2.5t，AB＝5，AD＝4，
∴，
∴PQ＝2t，
故答案为：2t；

（2）如图2，点P在AC上时运动速度为个单位长度，
由题意得：AP＝（t﹣2），
∵AD⊥BC，AB＝5，AD＝4，
∴BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2，
∴AC＝，
∴CP＝AC﹣AP＝，
∵PQ∥AD，
∴∠QPC=∠DAC，∠PQC=∠ADC，
∴△CPQ∽△CAD，
∴，即，
∴PQ＝6﹣t，
故答案为：6﹣t；

（3）分两种情况：
①如图3，当点P在边BA上运动时，

∵四边形PQFE是矩形，
∴QF＝PE＝t，EF＝PQ＝2t，
在Rt△BPQ中，
BQ＝BP•cos∠B＝BP×，
∴DF＝3﹣2.5t，
当△EFD∽△ADC时，
∴，
∴t＝，
经检验符合题意，
当△DFE∽△ADC时， ，
∴，
∴t＝，
经检验符合题意，
②如图4，当点P在边AC上运动时，

∵四边形PQFE是矩形，
∴QF＝PE＝t，EF＝PQ＝6﹣t，
∴DF＝DC＝2，
当△EFD∽△ADC时，则，
即，
∴t＝2，
经检验符合题意，
当△DFE∽△ADC时，，
∴，
∴t＝5，
经检验符合题意，
综上所述，t的值为或或2或5；
（4）分三种情况讨论：
①当矩形PQFE的对角线交点O在AD上时，如图5，

∴QD＝QF＝0.5t，
∵BQ＝1.5t，BQ+QD＝BD＝3，
∴1.5t+0.5t＝3，
∴t＝，
②当矩形PQFE的对角线交点O在AC上时，
∵点F始终与点C重合，点P从点A运动到点C，
∴点P在AC上运动时间为2≤t＜6，
∴当2≤t＜6时，矩形PQFE的对角线交点O在AC上；
③由题意知，矩形PQFE的对角线交点O不可能在CD上；
综上所述，t的取值范围t＝或2≤t＜6．
5．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）综合与实践
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．
如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：
①CD＝ ；
②△A′BC的面积为 ；
拓展延伸：（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明．
（3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C．
①△A′BC的面积为 ．
②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是 ．

【答案】（1）①8；②8；（2），证明见解析；（3）①9；②
【详解】
解：（1）①∵边AB绕点B顺时针旋转得到线段，
∴，．
∵AC=BC=4，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴BD=AC=4．
∴CD=BC+BD=8．
故答案为：8．
②∵，
∴．
∴．
故答案为：8．
（2），证明如下：
∵边AB绕点B顺时针旋转得到线段，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，BD=AC．
∴．
（3）如下图所示，过点作交CB延长线于点F，过点A作交CB于点E，交线段于点M，再连接DC．

①∵AB=AC=5，BC=6，且，
∴，．
∴．
∵边AB绕点B顺时针旋转得到线段，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：9．
②∵，且BE=CE，
∴AE垂直平分CB．
∴DC=DB．
∴．
∵点D在AE上，
∴．
∴当点D与点M重合时，有最小值，此时最小值为．
∵，，
∴．
∵BC=6，
∴CF=BC+BF=10．
∴．
∴的最小值为．
故答案为：．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．

【答案】（1）①(4，3)或(4,−3)，半径为3；②存在，(0，3+) 或(0，3−)，见解析；（2）有，见解析，(0，)
【详解】
（1）①如图1中，

在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形△ACB，易知A，B，P三点在⊙C上，
圆心C的坐标为(4,3)，半径为3，
根据对称性可知点C(4,−3)也满足条件；
②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点“。
如图2所示，当圆心为C（4，3）时，过点C作CD⊥y轴于D，则D（0，3），CD=4，

∵⊙C的半径，
∴⊙C与y轴相交，
设交点为，，此时，在y轴的正半轴上，
连接、、CA，则==CA =r=3，
∵CD⊥y轴，CD=4，，
∴，
∴，；
当圆心为C（4，-3）时，点P在y轴的负半轴上，不符合题意；
（2）当过点A，B的圆与y轴正半轴相切于点P时，∠APB最大，理由如下：
如果点P在y轴的正半轴上，设此时圆心为E，则E在第一象限，
如图3所示，在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)，
连接MA，MB，PA，PB，设MB交于⊙E于点N，连接NA，

∵点P，点N在⊙E上，
∴∠APB=∠ANB，
∵∠ANB是△MAN的外角，
∴∠ANB>∠AMB，
即∠APB>∠AMB，
此时，过点E作EF⊥x轴于F，连接EA，EP，则AF=AB=3，OF=4，
∵⊙E与y轴相切于点P，则EP⊥y轴，
∴四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4，
∴⊙E的半径为4，即EA=4，
∴在Rt△AEF中，，
∴，
即 ．
7．（2021·四川·成都实外九年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．
（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．
①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE．
（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标．
（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标．

【答案】（1）①；②见解析；（2）或；（3）或或或
【详解】
证明：（1）①



②轴轴，轴, ，
，
，
，
在和△PCE中，
，
∴∽△PCE；
（2）由题意得：四边形是矩形，
，
，
，
设点的坐标为，则，
，
，
由（1）已证：∽△PCE，
，
即，
解得，
，
由对称性得：，
如图，过点作于点，则，


，
，
在△FPC＇和△DC＇E中，
，
∴△FPC＇∽△DC＇E，
，即，
解得，
，
，
整理得：，
解得或，
经检验，和均是所列方程的解，
故点的坐标为或；
（3）在中，，
，
解得（负值已舍去），
轴，
，
由题意，分以下两种情况：
①当△ECP∽△BPE时，则，
在Rt△BPE中，，

（Ⅰ）当点在轴上方时，
在Rt△ECP中，，
，
则此时点的坐标为；
（Ⅱ）当点在轴下方时，


，

此时点的坐标为；
②当△ECP∽△BPE时，则，
在Rt△BPE中，，
解得（负值已舍去），

（Ⅰ）当点在轴上方时，
在Rt△ECP中，，
，
则此时点的坐标为；
（Ⅱ）当点在轴下方时，
同理可得：此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
8．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝40，cos∠ABC＝，射线CM//AB， D为线段BC上的一动点且和B、C不重合，连接DA，过D作DE⊥DA交射线CM于E，联结AE，作EC＝EF，交 BC的延长线于F，设x＝BD．
（1）当AD∥EF，求BD；
（2）若y＝CE，求y关于的数解析式，并写出定义域；
（3）作∠BDG＝∠AEF，交AE于G，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．

【答案】（1）18；（2）（9