中考数学二轮复习第14讲 圆（题型训练）（教师版）

这是一份中考数学二轮复习第14讲 圆（题型训练）（教师版），共51页。试卷主要包含了与圆有关的性质，与圆有关的位置关系，圆与正多边形，弧长与扇形面积计算等内容，欢迎下载使用。
第14讲 圆
题型一 与圆有关的性质
1．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，⊙O的半径为5，C是弦AB的中点，OC＝3，则AB的长是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】解：∵C是弦AB的中点，
∴AB=2BC，∠OCB=90°，
∵OC2+BC2=OB2，
∴，
∴AB=8，
故选：B．
2．（2021·天津河西·九年级期中）如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（ ）

A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO=90°，
∵∠OAB=40°，
∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠AOC=×50°=25°，
故选：B．
3．（2021·山东高密·九年级期中）如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）

A．2cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，连接点O关于AB的对称点E，交AB于点D，
由折叠得OD=DE=cm，OD⊥AB，
∴AD=BD=，
在Rt△AOD中，，
∴ cm，
∴,
故选：C．

4．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【答案】A
【解析】解：过⊙O的圆心O，作CD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，如下图：

∵CD⊥AB，且CD是直径
∴，（厘米）
在中，，厘米，OA=10厘米
由勾股定理得：，即：
∵
∴（厘米）
∴（厘米）
又∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟
∴（厘米/分）
∴“图上”太阳升起的速度为：1.0厘米/分
故选：A
5．（2021·北京·人大附中九年级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于C点，交弧AB于D点，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）

A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【解析】解：如图，设圆心为点，连接，

∵，AB＝40cm，
∴，，
∵CD＝10cm，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：cm，
∴轮子的半径为25cm．
故选：C．
6．下列说法错误的个数是（ ）
①等边三角形是中心对称图形；
②圆周角等于圆心角的一半；
③在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在第四象限；
④在一次九年级数学交流会上，每两名学生握手一次，共握手次，若设参加此会的学生为名，则可列方程为．
⑤直线不经过第二象限，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】①等边三角形是轴对称图形，说法错误；
②同圆或者等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，说法错误；
③在平面直角坐标系中，点在第二象限，它关于原点的对称点在第四象限，说法正确；
④在一次九年级数学交流会上，每两名学生握手一次，共握手次，若设参加此会的学生为名，则可列方程为，方程错误；
⑤直线不经过第二象限，则，说法错误．
综上说法错误的是①②④⑤；故选:D．
7．（2021·江西赣州·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OEAC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝4，则OF的长为_______．

【答案】2
【解析】∵OD⊥AC，AC=4，
∴AD=CD=2，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OEAC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EOF=90°，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，

∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF=AD=2．
8．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为_____．

【答案】
【解析】解：连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴OM＝OE，
∴，
∴，
当OE的值最小时，EF的值最小，
∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，
∴当AD垂直BC时，AD的值最小，即OE的值最小，
过A点作AH⊥BC于H，
∴∠ABH=90°，
∵∠ABH＝45°，
∴∠BAH=∠ABH=45°，
∴AH=BH，
∵，
∴，
∴，即AD的最小值为，
∴OE的最小值为，
∴EF的最小值为．
故答案为：．

9．（2021·北京市鲁迅中学九年级期中）已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为__________°．
【答案】30°或150 °
【解析】如图，∵弦AB将圆周分为5：1两段弧，

∴，
在优弧AB上取一点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取一点D，连接AD，BD，
∵，，
∴，；
故答案是30°或150 °．
10．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学九年级期中）如图，⊙O的半径是10，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点E，F，G，连接EF，若OG＝6，则EF为_________．

【答案】8
【解析】解：连结OC，如图，

∵OG⊥AC，
∴AG=CG，
在Rt△COG中，OG=6，OC=10，
∴CG=，
∴AC=2CG=16，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=BE，CF=BF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=AC=8．
故答案为8．
11．（2021·山东临清·九年级期中）如图，在⊙O中，ACOB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数．

【答案】50°
【解析】解：∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO＝25°，
∵OB∥AC，
∴∠CAB＝∠B＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝50°．
12．（2021·浙江新昌·九年级期中）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD．

【答案】见解析
【解析】证明：∵AB＝DC，
∴，
∴，即，
∴AC＝BD．
13．（2021·天津滨海新·九年级期中）已知△ABC是⊙O的内接三角形，的平分线交⊙O于点．
（1）如图①，若是⊙O的直径，，求的长；
（2）如图②，若的平分线交于点，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）解：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB＝45°，
∴∠AOD=90°，
即△AOD为等腰直角三角形，
∵AB=6，
∴OA=OD=3．
∴AD＝3；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠BCD=∠BAD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE=∠BAD+∠EAB，
即∠EAD=∠AED，
∴DE=DA．
14．（2021·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期中）如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ = 90°，AQ ： AB = 3 ：4，作△ABQ的外接圆O． 点C在点P右侧，PC = 4，过点C作直线⊥，过点O作OD⊥于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF = CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF，设AQ =3 x
（1）用关于的代数式表示BQ，DF；
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长；
（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形．

【答案】（1），;（2）；（3）当为12或或3时，矩形是正方形．
【解析】解：（1）在中，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2），，
，
作于点（如图，

，
⊙O是的外接圆，，
点是的中点，

，
，
，
，
解得：（舍去），，
；
（3）①若矩形是正方形，则，
．点在点的右侧时（如图
，解得：，
；
．点在点的左侧时，
当点在右侧，
时（如图，

，，
，解得：，
；
当时（如图，

，，
，解得：（舍去），
当点在的左侧时，即（如图，

，，
，解得：，
，
综上所述：当为12或或3时，矩形是正方形；

题型二 与圆有关的位置关系
1．下列说法：①三点确定一个圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③90°的角所对的弦是直径；④圆的切线垂直于半径；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：①应该是过不在同一直线上的三点可以确定一个圆；故此选项错误；
②在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数相等；故此选项正确；
③的圆周角所对的弦是直径；故此选项错误；
④圆的切线垂直与过切点的半径，故此选项错误，
⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等．故此选项正确．
故选：B．
2．（2021·山东阳信·九年级期中）如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若，，，则⊙O的半径长是（ ）

A． B． C．4 D．3
【答案】D
【解析】解：如图，连接OB，PO，

∵从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，
∴PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，
∵CD∥AP，
∴∠COP＝∠OPA＝∠OPB，
∴CP＝CO＝2＋OD，
∴BC＝9−（2＋OD）＝7−OD，
∵OC2＝OB2＋BC2，
∴（7−OD）2＋OD2＝（2＋OD）2，
∴OD＝3，OD＝15（不合题意舍去），
∴⊙O的半径长是3，
故选：D．
3．（2021·湖北丹江口·九年级期中）如图，点为⊙O外一点，连结交⊙O于点，且，经过点的直线，都与⊙O有公共点，则与所成的锐角的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：当直线都与⊙O相切时，切点分别为A、B，连接OA，

则


与所成的锐角
故选：C．
4．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）⊙O的半径为6cm，圆心到直线的距离为7cm，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】C
【解析】解：⊙O的半径为，圆心到直线的距离为，，
直线与⊙O相离．
故选：．
5．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18．将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处．连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，
∵点O是矩形对称中心，
∴AH＝HD＝AD＝9，OM＝AD＝9，DM=CD=6
∵以O为圆心的圆与EM相切，
∴OP⊥EM，
由折叠的性质可知，EA＝EM，
在Rt△MDE中，EM2＝DE2＋DM2，即EM2＝（18−EM）2＋62，
解得，EM＝10，
∴DE＝8，
∴HE＝HD−DE＝1，
设MP＝x，则EP＝10−x，
∵OP2＝OE2−EP2＝OM2−MP2，
∴62＋12−（10−x）2＝92−x2，
解得，x＝=7.2，
∴OP＝＝5.4，
故选B．

6．如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2．连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（　　）

A． B． C．3﹣ D．3+
【答案】C
【解析】解：如图中，取的中点，连接，．

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∴点G在以AB为圆的圆的上运动，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，CG最小值（如图2中），

，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选择：C．
7．（2021·福建连城·九年级期中）如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且，则圆环的面积为______．


【答案】
【解析】分别连接、、，如下图：

∵AB切小⊙O于P
∴
∴
设大圆半径为R，小圆半径为r
∴，
∴
∴
∴
故答案为：．
8．（2021·福建莆田·九年级期中）如图，为锐角△ABC的外心，四边形为正方形，其中点在△ABC的外部，则下列结论：①是的外心，不是△AED的外心；②是的外心，不是的外心；③是的外心，不是的外心；④是的外心，不是△ADC的外心．其中，正确的结论有__________．（填写正确的序号）

【答案】①③
【解析】解：连接OB、OD、OA，

∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
∴OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，
OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，
，即不是的外心，
，即是的外心，
OA＝OC＝OE，即O是的外心，
OB＝OA≠OD，即O不是的外心，
，即不是△ADC的外心，
∴正确的结论有：①③，
故答案为：①③．
9．（2021·山东·无棣县教育科学研究中心九年级期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则圆O的半径为______．

【答案】2
【解析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF

∵⊙O为的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
10．（2021·江苏建邺·九年级期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__．

【答案】62°
【解析】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．

11．（2021·湖北·洪湖实验初中九年级期中）如图，CD是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，弦DEOA，AE的延长线与CD的延长线交于B．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD=2，BE=4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】如图，连接，






在与中



AC是⊙O的切线，


即
AB是⊙O的切线；
（2）连接，设⊙O的半径为，
AB是⊙O的切线；

在Rt△BEO中，

解得
⊙O的半径为3
12．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，在△ABE中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵AB=AE，
∴∠E=∠B，
∴∠OCB=∠E，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE于点D，
∴∠CDE=90°，
∴∠OCD=∠CDE=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BE，
∵AB=AE，
∴EC=BC=6，
∵AB=10，BC=6，
∴AC==8，
∵∠ACE=90°，CD⊥AE，AE=AB=10，
∴AE•CD=AC×EC=S△ACE，
∴×10CD=×8×6，
∴CD=，
∴CD的长为．
．
13．（2021·北京市鲁迅中学九年级期中）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：如图，⊙O和点P．
求作：过点P的⊙O的切线．

小明的主要作法如下：
（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC，
所以PB和PC就是所求的切线．
老师说：“小明的作法正确．”
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ OP是⊙A的直径，
∴ ∠PBO＝90°，∠PCO＝90°（ ）（填推理的依据）
∴ OB⊥PB，OC⊥PC
又∵ OB，OC是⊙O的半径，
∴ PB，PC是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
【解析】（1）图形如图所示：

（2）∵ OP是⊙A的直径，
∴ ∠PBO=90°，∠PCO=90°（ 直径所对的圆周角是直角），
∴ OB⊥PB，OC⊥PC，
又∵ OB，OC是⊙O的半径，
∴ PB，PC是⊙O的切线（经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．
14．（2021·北京一七一中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．


（1）如图，⊙O半径为2，与x轴分别交于点A，B．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为 　 　，线段AB的“宽度”为 　 　．
②点G（m，0）为x轴上一点，若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，且半径为r（r＞1），一次函数y＝x＋1的图象与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标xC的取值范围．
【答案】（1）①4；2；②m的范围为2≤m≤6或m=2-；（2）-2≤xC≤．
【解析】解：（1）①连结PO并延长，交⊙O于Q1，Q2，
最小值为PQ1，最大值PQ2，
∴PQ2-PQ1=Q1Q2=4，
∵⊙O的半径为2，
∴点A（-2，0），点B（2，0），点P（2，3），
∵点B与点P的横坐标相同，
∴PB⊥x轴，
最小值PB =3，最大值PA=，
∴AP-BP=5-3=2，
故答案为4；2；

②当点G在点A的右边，AG的“宽度”为2，
∵最小值PB=3，最大值PG=3+2=5，
根据勾股定理BG=，
当-2≤m＜2时，PA-PG＜2，
当m＞6时，PG＞PA，PG-PB＞2，
∴2≤m≤6，PG最大-PB=2，
当点G在点A左侧，
最小值PA=5，AG的“宽度”为2，最大值PG=5+2=7，
在Rt△PBG中，BG=，
∴点G（2-，0），
∴m=2-，
综合m的范围为2≤m≤6或m=2-；

（2）∵一次函数y＝x＋1的图象与x轴，y轴分别交于点D，E．
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
点D（-1，0），点E（0，1），
∵OD=OE=1，
∴∠DEO=∠EDO=45°，
∵⊙C的“宽度”可以为2，r＞1，2r＞2，
∴点K在⊙C内部，点K在DE上，以点C为圆心以1为半径的圆与线段DE有交点，

当点K与点D重合时，xC=-2,
当以点C为圆心，1为半径的圆与DE相切时,切点为K，CK⊥DE，
∴∠KCD=180°-∠DKC-∠KDC=180°-90°-45°=45°=∠KDC，
∴DK=CK=1，
∴DC=，
此时xC=，
∴在点K的视角下，⊙C的“宽度”可以为2，圆心C的横坐标xC的取值范围为:
-2≤xC≤．
题型三 圆与正多边形
1．（2021·山东罗庄·九年级期中）以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图1，

∵△ABC 为圆内接正三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
如图2，

∵四边形 是圆内接正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
如图3，

∵正六边形为圆内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 该三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为
故选：C
2．如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点，可以得到一个新的正六边形，.....，重复上述过程，经过2018次后，所得的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【解析】∵此六边形是正六边形，

∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=AC，
∴∠2=30°，
∴AB=BC=CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（）2倍，
∴经过2018次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（）2018，
故选：C．
3．（2021·湖北汉川·二模）如图，正方形的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，

当时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当与正方形对角线重合时，最小；
正方形的边长为1；
，
，
，
则的最小值为．
故选：．
4．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，⊙O与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
5．（2021·河北·中考真题）如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）

A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
【答案】B
【解析】解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．

6．（2021·福建集美·三模）公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：

，

，
则正边形的周长为： ，
圆的周长为：，
由圆的内接正n边形的周长无限接近圆的周长可得：
整理得：
故选：A．
7．（2021·福建·厦门市湖滨中学二模）如图，若点O是正六边形ABCDEF的中心，，且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的外接圆的面积是__________．

【答案】
【解析】如图所示，连接AO，FO．

∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OB=OF，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵多边形AMONF的面积为，
∴菱形ABOF的面积为，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△OAB和都是等边三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
解得：．
∴正六边形ABCDEF的外接圆的面积=．
故答案为：．
8．如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 __________________．

【答案】（，-）
【解析】解：连接OC．

∵∠COD==60°，OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=OD=1．
设BC交y轴于G，则∠GOC=30°．
在Rt△GOC中，∵∠GOC=30°，OC=1，
∴GC=，OG=．
∴C（，-）．
故答案为：（，-）．
9．（2021·湖南宁乡·九年级期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
【答案】
【解析】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，

∵OE⊥BC，
∴OE=BE=，
又OB=8
∴在Rt⊿OBE中，由勾股定理得：
,
∴
解得： ,
故答案为：
10．如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M，N，则∠AMN＝ ______ ；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为 ______ ．

【答案】； 16．
【解析】解：连接，交于点，

是正六边形，
，
，
，

是正六边形，面积为6，
点在上，， 的面积，
，
，
，，
，
故答案为，16．
11.如图，正五边形内接于⊙O，点F在上，求的度数．

【答案】
【解析】
如图所示，连接OC、OD，
五边形是正五边形，
，
．
12．（2021·江苏玄武·九年级期中）已知A、B、C、D四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，AB＝CD，在图①中作出该圆的一条直径；
（2）如图②，AB、BC、CD是圆内接正五边形的三条边，在图②中作出该圆的圆心．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）如图，EF即为所求；

（2）如图，点O即为所求．
13．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．

【答案】正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
【解析】解：连接，
∵六边形为正六边形，
∴．
∵ ，
∴为等边三角形．
∴，
∵六边形是正六边形，
∴ ，
∵，
∴，
在Rt△COG中，由勾股定理得：
∴．
∴正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
14．（2021·广西南宁·九年级期末）（阅读理解）如图1，为等边△ABC的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边△ABC的面积为S，通过证明可得△OBM≌△OCN，则．
（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．

【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6
【解析】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．

拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点

∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为6．
题型四 弧长与扇形面积计算
1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径为_______．

【答案】
【解析】设该圆锥底面圆的半径为r．
∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴，
∴
∴∠AOB=90°，
∵扇形是一个圆锥的侧面展开图
∴=底面圆的周长
设底面圆的半径
∴，
∴．
故答案是：．
2．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为_____．

【答案】5π
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝＝20，
连接AP，BP，

∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M，E为PC、BC的中点，
∴ME∥BP，ME＝，
在△APC中，
∵点M、F为PC、AC的中点，
∴MF∥AP，MF＝，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴点M在以EF为直径的半圆上，
∴EF＝AB＝10，
∴点M的运动路径长为＝5π，
故答案为：5π．
3．（2021·重庆一中九年级期中）如图，在正方形中，分别以、为圆心，为半径面弧，分别交对角线于点、，连接、．若，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）

【答案】
【解析】根据题意结合正方形的性质可知：，，．
如图作于点G．

∵正方形对角线，
∴．
根据作图可知为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
．
∴，
∴．
故答案为．
4．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2021为 ___．

【答案】
【解析】解：由题意△、、、、都是等腰直角三角形，
，，，，
，，，，
；
，
，
故答案为：．
5．（2021·福建省南平第一中学九年级期中）在正方形网格中，每一个小正方形的边长是，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，其坐标分别是，，．

（1）绕原点顺时针旋转得到的，画出；
（2）请写出、、的坐标；
（3）求点在旋转过程中所经过的路程的长．
【答案】（1）见解析；（2）（2），，；（3）
【解析】（1）如图所示，即为所求（画图正确即可）

（2），，
（3）弧的长
6．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在四边形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，且．

（1）试判断与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）若用劣弧所在的扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．
【答案】（1）BC与⊙A相切，见解析；（2）
【解析】解：与⊙相切

过点作，垂足为点，连结.
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴△AEF是等边三角形.
∴
∴
即圆心到的距离等于⊙的半径
∴与⊙相切
（2）∵，
∴
∵
∴
设圆锥底面圆的半径为.
则
∴
∴这个圆锥底面圆的半径为.
7．（2021·辽宁连山·九年级期中）如图，在平行四边形中，，以为直径的⊙O与相切于点E，连接，若．

（1）求得长度？
（2）求线段与弧围成的图形（阴影部分）的面积？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）连接，过点C作于点F，

∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵⊙O与相切于点E，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）由（1）知：，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵
∴．
8．（2021·河南开封·二模）如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，切点为，点为直径右侧⊙O上一点，连接并延长，交直线于点，连接．

（1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证：．
②若⊙O半径为2，当的长为______时，四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②π
【解析】解：（1）如图，

（2）①证明：连接DE，
由（1）可知∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE=AE；
②解：当的长为π时，四边形OCED是正方形．

∵的长为π，
∴＝π，
∴∠BOD=90°，
∵∠OCE=90°，
∴OD∥CE，
∵OE平分∠DOC，
∴∠DOE=∠COE=45°，
∴OC=CE，
又∵OD=OC，
∴OD=CE，
∴四边形OCED是正方形．
故答案为π．