中考数学二轮复习第15讲 相似、投影与视图（易错点梳理+微练习）（教师版）

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第15讲 相似、投影与视图易错点梳理

易错点梳理

易错点01 混淆相似三角形的判定定理与全等三角形的判定定理
相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS这4种。
易错点02 混淆位似和相似
位似是一种特殊的相似，位似图形一定相似（或全等），但相似图形不一定位似
易错点03 错误认为相似三角形的面积比等于相似比
错误认为相似三角形的面积比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
易错点04 混淆平行投影与正投影的概念
由平行的光线所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影，正投影属于平行投影的一种。
易错点05 颠倒了视图的观察方向
一个物体在3个相互垂直的投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视。图.
例题分析

考向01 相似三角形的性质
例题1：（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在正方形中，点、分别在、的延长线上，且，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③S四边形OECF，其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
在△DAP与中，，
∴△DAP≌△ABQ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则结论①正确；
∵，，
∴，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；则结论②错误；
在与△BPE中，，
∴△CQF≌△BPE，
∴，
∴ ，即，
在△ADF与△DCE中，，
∴△ADF≌△DCE，
∴，
∴，即，则结论③正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
例题2：（2021·河南·平顶山市第九中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②；③；④AG+DF＝FG．其中正确的是（ ）（把所有正确结论的序号都选上）

A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF＋∠FBG＝∠CBF＋∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝，
∴DF＝AD−AF＝10−8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8−x，HF＝BF−BH＝10−6＝4，
在Rt△GFH中，
∵GH2＋HF2＝GF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，
解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG＋DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD＋∠AFB＝90°，
而∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴，
∴，
而，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．
∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH．所以③正确．
∴正确的结论有：①③④，
故选：D．
考向02 相似三角形的判定
例题3：如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：因为△ABC中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有C，且满足两边成比例夹角相等，故选：C．
例题4：（2021·上海浦东新·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）

A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，
∴∠ABF+∠CBG=45°，
∴∠ABF与∠CBG不一定相等，
∴△ABF与△CBG不一定相似，
故选项C符合题意；



△BDE∽△BCG，故D不符合题意；
故选：C．
考向03 投影与视图
例题5：（2021·广东深圳·九年级期末）如图所示的几何体，从左面看的图形是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：从左面看，是一列三个小正方形． 故选A．
例题6：（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D


微练习

一、单选题
1．（2021·陕西武功·九年级期中）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB：BC=2：3，EF=9，
∴2：3= DE：EF，
∴DE=6．
故选：C．
2．（2021·河南封丘·九年级期中）下列图形一定相似的是（　　）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
【答案】C
【解析】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选C．
3．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）

A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
【答案】C
【解析】A.△ABC是直角三角形，△ADE不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似；B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似；D. 只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似；C.是等腰直角三角形，则设，则，，，
，,故选C．
4．（2021·福建周宁·九年级期中）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）

A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【答案】B
【解析】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；故选：B．
5．（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D，将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，

∵A（1，2），
∴AD=1，OD=2，
∴．
由题意：△OA′D′≌△OAD，
∴A′D′=AD=1，OA′=OA=，OD′=OD=2，∠A′D′O=∠ADO=90°，∠A′OD′=∠DOD′．
则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，
∴△A′OE为等腰三角形．
∴OE=OA′=，ED′=A′D′=1．
∵EO⊥OC，OD′⊥EC，
∴△OED′∽△CEO．
∴．
∴．
∴OC=2．
∴C（2，0）．
故选：B．
6．（2021·安徽·阜阳实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
又AB＝BC，∴．
故结论①正确；
如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4．
在△ABG与△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG＝BD，
又∵BD＝AD，
∴AG＝AD；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB；
∴AG＝AD＝AB＝BC；
∵△AFG∽△BFC，
∴＝，
∴FC＝2AF，
∴AF＝AC＝AB．
故结论②正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
∵∠ABC＝90°，
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，
∴，
∴DF＝DB，故③正确；
∵，AG＝BD，，
∴，
∴＝，
∴AF＝AC，
∴S△ABF＝S△ABC；
∴S△BDF＝S△ABF，
∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．
故结论④错误．
故选：C．

7．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）

A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【答案】B
【解析】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，

∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即，
∴，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴，
解得y＝3，
则，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
故选：B．
8．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，得，且
∴
∴
∴
故选：C．
9．（2021·山东·济南市济阳区实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′：，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．5：5
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=：，
∴DA：D′A′=OA：OA′=：，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：：=2：5，
故选：B．
10．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，
④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，
∴正确的有③④，共2个，
故选：B．
11．（2021·江苏淮安·中考真题）如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：

故选：A．
12．（2021·福建·中考真题）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，
故选：A．
二、填空题
13．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC＝1：2，E为BD中点，延长AE交BC于点F，则BF：FC的值是 ___．
【答案】
【解析】如图，过点作交于点，


即
是的中点，

即

故答案为：
14．阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是______（填“背向太阳”或“面向太阳”），小宁比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一样高”）．
【答案】面向太阳 矮
【解析】∵小勇的影子正好落到后面一个同学身上，
∴他们的队列方向是面向太阳，
∵小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，
∴小勇的影子比小宁的影子长，
∴小宁比小勇矮．
故答案为：面向太阳，矮
15．如图，在△ABC中，是的中点，以点为位似中心，作△ABC的位似图形△DEF．若点A的对应点是△ABC的重心，则△ABC与△DEF的位似比为______．

【答案】
【解析】∵点是△ABC的重心，是的中点
∴
∵是的中点，以点为位似中心，作△ABC的位似图形△DEF
∴
∴
故答案为：．
16．（2021·辽宁千山·九年级期中）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②△ABE≌△CBF；③△BEF为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号）________．

【答案】①②③④
【解析】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABDC为菱形，故①正确；
∵在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≅△CBF(SAS)，故②正确；
∵△ABE≅△CBF，
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，
∴△BEF为等边三角形，故③正确；
∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG，
又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°，
∴∠CFB=∠CGE，故④正确；
∵AE=CF=1，
∴BC=AC=AE+CE=4，
∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°，
∴△CFB∼△CGE，
∴，即
∴CG=，
∴BG=BC−CG=4−=，故⑤错误．
综上，①②③④正确．
故答案为①②③④．
三、解答题
17．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
【答案】（1）；（2）0
【解析】解：（1）由设
∴
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得

整理得，
∴
∴
∴
18．（2021·河南原阳·九年级期中）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．

【答案】（1）见解析；（2），
【解析】（1）证明：∵DF∥AC，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，且AE＝4，EC＝2，
∴，
解得：，
∴，
∴．
19．（2021·广东南海·九年级期中）如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；
（2）分别写出A，B两点的对应点A′，B′的坐标．

【答案】（1）见详解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.
【解析】解：(1)如图，△OBꞌAꞌ为所作；

(2) ∵
∴A，B两点的对应点A′，B′的坐标为A′（-6,2），B′（-4，-2）.
20．（2021·山东长清·九年级期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子；

（2）解：由已知可得，

＝，
∴＝，
∴OD＝4m．
∴灯泡的高为4m．
21．（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在锐角△OAB中，点，分别在边，上，连接，于点，于点，．

（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵，，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，
又∵，
∴．
∴．
22．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图①，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为OE．
（1）点G的坐标为 　 　；点E的坐标为 　 　；
（2）如图②，若OG上有一动点P（不与O，G重合），从点O出发，以每秒1个单位的速度沿OG方向向点G匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5），过点P作PH⊥OG交OE于点H，连接HG，求出△PHG的面积s与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，求当t为何值时，以点P、H、G为顶点的三角形与△OEG相似？

【答案】（1）（3，4），（，5）；（2） ；（3）或
【解析】解：（1）由翻折的性质可知，OC＝OG＝5，CE＝EG，
∵N(3，0)，NM//OC，
∴∠ONG＝90°，
∴GN＝＝＝4．
∴G(3，4)，
∵MN//OC，CM//ON，
∴四边形OCMN是平行四边形，
∵∠CON＝90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴CM＝ON＝3，
设EC＝EG＝x，
在Rt△EMG中，则有x2＝12+(3﹣x)2，
解得x＝，
∴E(，5)，
故答案为：(3，4)，(，5)；
（2）∵∠OPH＝∠OGE＝90°，∠POH＝∠GOE，
∴△OPH∽△OGE，
∴＝，
∴，
∴PH＝，
∴S＝•PG•PH＝×(5﹣t)×＝﹣t2+t（0＜t＜5）；
（3）∵∠GPH＝∠EGO＝90°，
∴当＝时，△GPH∽△OGE，
∴＝，
解得t＝．
当＝时，△GPH∽△EGO，
∴＝，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．