2023宜城一中、枣阳一中等六校高二下学期期中考试数学试题含答案

2022~2023学年下学期高二期中考试

数学试卷

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知曲线，那么曲线在点处的切线斜率为（    ）

A．         B．         C．2           D．2或

2．已知，则x的值是（    ）

A．3          B．6           C．9              D．3或9

3．函数的单调递增区间是（    ）

A．        B．        C．         D．

4．在的展开式中，含项的系数是（    ）

A．15          B．21          C．35            D．56

5．已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．某高校有6名志愿者参加5月1日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排1人，最多安排3人，则当天不同的排班种类为（    ）

A．75         B．450         C．540          D．900

7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：

．用这样的方法，估计的近似值约为（    ）

A．2.056           B．2.083          C．2.125          D．2.203

8．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（    ）

A．8        B．7          C．6         D．5

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列函数求导运算正确的是（    ）

A．             B．

C．       D．

10．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（    ）

A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法

B．若女生互不相邻，那么一共有种排法

C．若甲不站最中间，那么一共有种排法

D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法

11．函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数，则（    ）

A．若函数有两个不同的零点，则

B．若函数恒成立，则

C．若函数和共有两个不同的零点，则

D．若函数和共有三个不同的零点，记为，且，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．在的展开式中，含的项系数为_________．

14．已知函数满足，则_______．

15．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_________种．

16．已知函数的导函数为，对，都有，且，若在上有极值点，则实数a的取值范围是_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（满分10分）

设，求下列各式的值；

（1）；

（2）．

18．（满分12分）

已知函数在时有极大值2．

（1）求常数a，b的值；

（2）求在区间上的最值．

19．（满分12分）

在二项式中，求：

（1）展开式中含项的二项式系数；

（2）展开式中系数最大的项．

20．（满分12分）

在①；②的图象在点处的切线斜率为0；③的递减区间为，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答．

已知．

（1）若_________，求实数a的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

（2）若，讨论函数的单调性．

21．（满分12分）

已知函数．

（1）若，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

22．（满分12分）

已知函数．

（1）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；

（2）设存在两个极值点且．若，证明：．

2022-2023学年下学期期中考试

高二数学试卷参考答案

一、选择题：

二、填空题：

13．16        14．       15．72         16．

三、解答题：

17．解：（1）令得                      2分

令，得                                 4分

                                  5分

（2）令，得            7分

                                                                  10分

18．解：（1）由，得，

在时有极小值2，，                        2分

，解得，                                 4分

经检验，当时，符合题意，

．                                                    5分

（2）由（1）知，，

令，则或，，                              7分

当x变化时，的变化情况如下表：

故的最小值为，最大值为2                        12分

19．解：（1）展开式的第项为               3分

令，得                                       4分

的二项式系数为                                  5分

（2）设展开式中第项系数为最大，则

                                      7分

即

又且                                      10分

∴展开式中系数最大的项是                       12分

20．解：（1）                3分

选条件①则                          5分

选条件②则                                 5分

选条件③则依题意0和是的两个根         5分

（2）

则可以分以下几种情况讨论：

①当时，令即，

令即；

在上单调递减，在上单调递增；

②当时，令即或，

令即；

在上单调递增，在上单调递减；

③当时，，在R上单调递增；

④当时，令即或，

令即

在上单调递增，在上单调递减；                   11分

综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增；

②当时，在上单调递增，在上单调递减；

③当时，在R上单调递增；

④当时，在上单调递增，在上单调递减．      12分

21．解：（1）当时

                                                    3分

又即切点为

切线方程为：                                 5分

（2）     由得

令则

由得      或

由得        或

即在区间上单调递增，在区间上单调递减．                   9分

又时，，且                                11分

图像如下图：

故a的取值范围为                           12分

22．解：（1）对任意的，都有即恒成立

对恒成立     即

设，则                            3分

令，则；令，则

在上单调递增，在上单调递减                     4分

                                          5分

（2）证明：，

因为存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，

由根与系数关系得，

则，所以，                           8分

所以

                            10分

令，则，

，，在上单调递减，

，而       即，

．                        12分