2023年九年级数学中考复习几何综合(3)附解析

这是一份2023年九年级数学中考复习几何综合(3)附解析，共44页。试卷主要包含了在长方形中，，，，如图，和均为等腰直角三角形，等内容，欢迎下载使用。
2023九年级数学中考复习几何综合（3）附解析
1．如图1，，，点为的中点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）当时，求的长度．
（3）如图2，将沿翻折后得到．延长交于点，若，求的长．


2．在长方形中，，，．
（1）如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为 　　．
（2）如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得△，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长；
（3）如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长．



3．（2022•九龙坡区模拟）如图，和均为等腰直角三角形，．
（1）如图1，为线段上一点，连接、，已知，，求的长；
（2）如图2，为线段上一点，连接、．过点作于，延长交于，取中点，连接，求证：；
（3）如图3，已知，．作点关于直线的对称点，将以为旋转中心旋转，点为中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接．在的长度取得最大的情况下，取的中点，动点在线段上，连，将沿翻折到同一平面的△，连接、．当取得最小时，请直接写出△的面积．


4．矩形纸片在平面直角坐标系中如图放置，为原点，纸片顶点，在坐标轴的两正半轴上，，，记纸片边的中点为点，点关于原点的对称点是点，作直线．

（1）求点的坐标及的值；
（2）动点在直线上运动，连接，，当是直角三角形时，试求此时点的坐标；
（3）在线段上有一动点，过，两点作直线，将纸片沿此直线翻折，翻折后点的对应点为，连接，试求线段长度的范围（不用说明理由）．

5．（2022•苏州模拟）如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为中心，作的中心对称图形，点的对应点落在轴上，设点运动的时间为秒．

（1）如图1，当，时，
①当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；
②连接，，当四边形是矩形时，求的值及点的坐标；
（2）如图2，在，的运动过程中，将沿轴翻折，点的对应点是点，直线，直线交于点，当四边形是矩形时，求与的比值．


6．（2021•南岗区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴、轴于点、，的面积为25．
（1）求的值；
（2）如图2，点为上一点不与、重合），为轴正半轴一点，连接交轴于点，、关于点对称，设点的横坐标为，的正切值为，求关于的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，为的中点，连接，，为第一象限一点，，连接、，将沿翻折交于点，，当时，求直线的解析式．


7．（2019春•崇川区校级期中）如图1，已知平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点是平行四边形边上的一个动点．

（1）点的坐标为　　，的长为　　．
（2）若点在边，上，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标．
（3）若点在边，，上，点是与轴的交点，如图2，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，求点的坐标（直接写出答案）．

8．（2023•高新区模拟）在矩形中，，，点为边上一点，连接．
（1）将沿直线翻折，得到对应的△．
如图1，延长交边于点，若点恰为边中点，求线段的长；
如图2，连接，若，求线段的长；
（2）如图3，若，点为边上一动点（点不与，两点重合），过点作交线段于点，在点的运动过程中，线段的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．


8．（2023•碑林区校级模拟）问题提出
（1）如图①，在矩形的边上找一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为，再在上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在上，则　　．
问题探究
（2）如图②，在矩形中，，，点是矩形边上一点，连接、，将、分别沿、翻折，得到△、△，当、、三点共线时，则称为边上的“优叠点”，求此时的长度．
问题解决
（2）如图③，矩形位于平面直角坐标系中，，，点在原点，，分别在轴与轴上，点和点分别是和边上的动点，运动过程中始终保持．当点是边上唯一的“优叠点”时，连接交于点，连接交于点，请问是否能取得最大值？如果能，请确定此时点的位置（即求出点的坐标）及四边形的面积，若不能，请说明理由．


9．（2022•南京模拟）【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材117页的部分内容．
已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，求证：四边形是菱形．
分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．
【问题解决】请结合图①写出证明过程；
【应用】如图②，直线分别交矩形纸片的边、于点、，将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连结，若，，则　　；
【拓展】如图③，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连结，若，，，则四边形的面积是 　　．


10．（2022秋•忠县期末）在如图的中，，，，平分交于点，点为边上一点，点为直线上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图①，当点与点重合，且的延长线过边的中点时，连接，求线段的长；
（2）如图②，点不与点，重合，的延长线交边于点，求证：；
（3）如图③，为线段上一动点，为的中点，连接，为上一动点，连接，将沿翻折至所在的平面内，得到△，连接，直接写出线段长度的最小值．



11．（2022秋•丰都县期末）在中，，，为边上一点，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，将的边绕点在同一平面内顺时针旋转得到，为延长线上一点，连接．若，，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，为射线上一动点，连接，，将沿翻折，得到，连接，为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值．



答案版：
1．
【解答】（1）证明：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点为的中点，，
，
如图1，过点作交的延长线于点，

则，
，
，
，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
，
；
（3）解：如图2，过点作交的延长线于点，

设，则，
同（2）得：，，，，，，
，
，，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
即的长为．
2.
【解答】解：（1）如图1中，四边形是矩形，
，
由翻折变换的性质可知，
，
，
故答案为：3；

（2）如图中，当，过点作于点．

，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；

如图中，当时，

设，则，
，
．
综上所述，的长为或；

（3）如图中，当点在线段上时，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图中，当点在的延长线上时，同法可证，

，，
，
．
综上所述，满足条件的的长为2或8．
3．
【解答】（1）解：和均为等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，，
，
，
有，
，，
，
；
（2）如图1，

作于，交于，
，
，
，
点、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
，
；
（3）如图2，

连接，将绕点逆时针旋转至△，
，
点在以为圆心，半径是的圆上运动，
当，，（图中共线时，最大，最大值为，
，
点在以为圆心，2 为半径的圆上运动，
当，，共线时，最小，最小值为，
△，
，
，
，
．
4．
【解答】解：（1）四边形是矩形，，，
，
边的中点为点，
，
点关于原点的对称点是点，
，
；
（2），，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：，
设，
，
，
，
分三种情况：
①当时，，
即，
解得：，，
的坐标为，或，；
②当时，点与重合，此时点的坐标为；
③当时，如图1，，

；
综上所述，点的坐标为，或，或或；
（3）如图2，连接，，交于，过点作轴于，

与关于直线对称，
，是的垂直平分线，
点的运动路径是以为圆心，以为半径的一段弧，
当与重合时，如图2，
由勾股定理得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，，
；
如图3，当与重合时，四边形是正方形，

，
线段长度的范围是．
5.
【解答】解：（1）①点，的坐标分别是，，
．，，
点运动到线段的中点，，，
，
，
，
，
，
，
，
的值为2，点的坐标是；
②与关于点中心对称，
，，
四边形是平行四边形，
当四边形是矩形时，，
，，
，，
，
在中，，
又，
，
解得或，
此时，或，，
，或，，
是，的中点，设，则或，
解得或，
即点或，
（2）四边形是矩形，
，
将沿轴翻折，点的对应点是点，
，，
由（1）可知四边形是平行四边形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即，
．

当在轴下方时，如图，

同理可得，
，
，
，
解得．
综上所述，与的比值为或．
6．
【解答】解：（1）令，得：，
，，
，
，
，，
把代入，得：，
，
．
（2）点的横坐标为，、关于点对称，
，，，
．
（3）当时，，
，，
直线的解析式为：，
连接
，
，
，
，，
，
，
，
点为的中点，
，
，
为直角三角形，，
，
作于点，交轴于点，则：，，
设点，
，
解得：，，
，
在上截取，过点作于点，过点作于点，
由折叠可知，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
设的解析式为：，
把，代入得：
，解得：，
直线的解析式为：．

7．
【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，
，
四边形是平行四边形，
，
由点的坐标为知点坐标为，
，
故答案为：，；

（2）①当点在边上时，
直线的解析式为，
设，且，
若点关于轴的对称点在直线上，
，
解得，
此时．
②当点在边上时，设且，
点关于轴的对称点在直线上，
，
解得，
此时，
综上所述，点的坐标为或．

（3）①如图1中，当点在线段上时，设．

在中，，，
，
在中，，
，解得，
，
根据对称性可知，，也满足条件．
②如图2中，当点在上时，易知四边形是正方形，边长为2，此时．

③如图3中，当点在线段上时，设交轴于．易证，推出，设．

直线的解析式为，
，
在中，有，解得，
，．
综上所述点的坐标为，或，或或，．
8.
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，，
，
，
由翻折变换的性质可知，
，
设，则有，
，
；

如图2中，过点作于点，作的角平分线交于点，过点作于点．

，，
，
，
，，，
，
，，
设，则有，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作于点．

，，
，
，
，
，
，
，
设，则，设．
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得，
△，
，
，
解得或（不符合题意舍去），
的最大值为，
的最大值为．
9.
【解答】解：（1）将矩形沿直线折叠，点的对应点为，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在上，
，，
，
，
，即，
故答案为：；
（2）同（1）可知，，
，
，
，
，
设，则，
，
解得或，
的长度为2或8；
（3）能取得最大值，理由如下：
以为直径作，当与相切于点时，点是边上唯一的“优叠点”，连接，如图：

，，
四边形和四边形是正方形，
，
，，
，
，，
，
，
，
过点作于点，取的中点，连接，则，
，
，
，
最小时，的值最大，
，
与重合时，的值最小，此时的值最大为，
，，
，
，即，
，，
最小为，
的值最大为．
此时是中点，，且，
，是等腰直角三角形，
，
，
过作于，如图：

，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
由，，可得直线解析式为，
由，可得直线解析式为，
联立得，
，．
坐标为，，四边形的面积是．
10．
【解答】问题解决证明四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
应用如图2，连接，

，，
，
因为将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，
垂直平分，
由（1）得四边形是菱形，
，
设，则，
由勾股定理得：，
解得，
，
，，
．
故答案为：；
拓展如图3，过点作，交延长线于点，

将平行四边形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，
则由（1）可知：四边形是菱形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得，
所以，
则四边形的面积是：，
故答案为：15
11．
【解答】（1）解：连接，如图：

在中，，点为的中点，
，，
，
，，
平分，
，
，
点为的中点，
，
，
点、重合，将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
（2）证明：过点作于点，交于点，如图：

在中，
，
①，
，，
，
，②，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
而，
，
在与中，
，，
，
，
，
由②知，
由①知，
；
（3）解：过作于，如图：

，，，
，，
，
，，
是中点，
，
，
，，
，
，
沿翻折至所在的平面内，得到△，
，
若，，构成三角形，则，即，
当最大时，若，，共线，且在线段上，则最小，如图：

此时，
为中点，
最大为，
是等边三角形，
最大为，
最小为．




12．
【解答】（1）解：如图1，在中，，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，；

（2）证明：如图2，过点作于点，过点作交于点，
则，

设，，
则，，
边绕点在同一平面内顺时针旋转得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
；
（3）解：由（1）知，，如图3，在射线截取，连接，
以为圆心，2为半径作，

为的中点，为的中点，
，
当的长度最小时，的长度最小，
将沿翻折，得到，
，即点在以为圆心，2为半径的上运动，
当经过点且点在线段上时，的长度最小，
如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，

则，
，
，
，
，即的最小值为，
将沿翻折，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的值为．