2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（线段周长问题）附答案

这是一份2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（线段周长问题）附答案，共19页。试卷主要包含了如图，抛物线经过两点，综合与探究等内容，欢迎下载使用。


(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，直线交于点P，连接，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．
(3)如图2，直线交抛物线的对称轴于点N，过点B作的平行线交抛物线的对称轴于点M，当点D运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
2．如图1，抛物线，交轴于、两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接．当时，求点P坐标．
4．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标；
(3)已知点G是抛物线上的一点，连接，若，求点G的坐标．
5．如图，抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
(3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，设点M的横坐标为m，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．
6．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点．
(1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；
(2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出当为直角三角形时点P的坐标．
7．如图直线与坐标轴交于点、B，抛物线过点，．
(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)为x轴上一动点，且在线段上运动，过点M作垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．求线段的最大值．
8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，连接．若在第四象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)试探究抛物线上是否存在点，使有最大值？若存在，求出点的坐标和的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接 ，试探究是否存在点，使得以，，为顶点的三角形和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点的坐标为，直线的解析式为：．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点位于抛物线在直线上方的部分，于点，平行于轴且与轴交于点，求的最小值；
(3)如图2，将抛物线向左平移，使得平移后的抛物线的对称轴为轴，若点是平移后抛物线上一点，点、都是直线上的动点，点为定点，其坐标为，请直接写出以、、、Q为顶点的四边形为平行四边形的点的横坐标，并把其中一个求点的横坐标的过程写出来．
10．如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线．
备用图1 备用图2
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点D是抛物线的顶点，求的面积
(4)在直线下方的抛物线上有一动点M，当面积最大时，求M点坐标
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，其中，．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点E，作轴交于点F，求的最小值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，x轴上有一点，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线与原抛物线的交点，点E是直线上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标．
12．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求，，的值；
(2)如图1，点是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点在第一象限内，过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交轴于点，过点作轴，垂足为点，当四边形的周长最大时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与轴交于点，在对称轴上找一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点的坐标．
13．如图，一条顶点坐标为的抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，有一宽度为，长度足够的矩形阴影部分沿轴方向平移，与轴平行的一组对边交抛物线于点和，交直线于点和，交轴于点和
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点和都有在线段上时，连接，如果，求点的坐标；
(3)在矩形的平移过程中，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，找出图中与相等的角，并说明理由；
(3)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；
(4)若点Q在第四象限内，且，，线段是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
15．已知抛物线．
(1)如图①，若抛物线与x轴交于点，与y轴交点，连接．
①求该抛物线所表示的二次函数解析式；
②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作轴于点H，与线段交于点M，是否存在点P使得点M是线段的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求b的取值范围．
16．如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．
(1)求点B，点C的坐标；
(2)点D为y轴上一点，且，求点D的坐标；
(3)点M为直线下方抛物线上一点，连接交于点N，过点M作轴交于点P．
①若，求点M的横坐标；
②过点M作，垂足为E，求线段的最大值及此时点M的坐标．
17．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点在点的左侧，且．直线与轴的交点为点，与轴的夹角，与抛物线交于点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴交直线于点，点是抛物线上一点，且位于第三象限，连接．点为抛物线对称轴上动点，过点作轴交轴于点N（M、N位于直线的下方）．当面积最大时，求的最小值．
(3)点为平面内一点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得点B、D、R、S构成的四边形为菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
18．综合与探究如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式．
(2)E是线段上的动点．过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当的长度最大时，求E点坐标．
(3)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，点Q到达终点B时，两点同时停止运动连接，当是等腰三角形时，请求出运动的时间．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)不变，值为8
2．(1)
(2)①；②是定值，理由见解析
3．(1)
(2)
(3)
4．(1)抛物线的解析式为，M的坐标为
(2)
(3)点G的坐标为或
5．(1)
(2)最大值为
(3)或或
6．(1)，；
(2)；
(3)存在，；
(4)P的坐标为或或或．
7．(1)
(2)
(3)当时，的最大值为3
8．(1)
(2)存在，的最大值为3，此时，点
(3)存在，点的坐标为：或
9．(1)
(2)
(3)或或或
10．(1)
(2)存在，
(3)3
(4)
11．(1)
(2)最小值为，点；
(3)或或或．
12．(1)，，；
(2)当四边形的周长最大时，点的坐标为；
(3)所有符合条件的点的坐标为，．
13．(1)
(2)
(3)符合条件的点是，或
14．(1)
(2)，理由见解析
(3)P点坐标为或；
(4)存在，
15．(1)①；②存在点P，使得点M是线的三等分点或；
(2)或．
16．(1)点B的坐标为，点C的坐标为；
(2)点D的坐标为；
(3)①点M的横坐标为或；②当时，线段的最大值为．此时点M坐标为．
17．(1)
(2)
(3)或或或或
18．(1)
(2)
(3)4或或