2023年中考数学二轮专项练习：二次函数实际应用几何问题附答案

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数实际应用几何问题附答案

一、单选题

1．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为30m，围成鸡场的最大面积为（　　）平方米．

A．800 B．750 C．600 D．2400

2．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（　　）

A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2

3．如图1，矩形 中， ，点 分别是 上两动点，将 沿着对折得，将沿着 对折得 ，将 沿着 对折，使 三点在一直线上，设 的长度为x， 的长度为y，在点p的移动过程中，y与x的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（　　） 

A． B． C． D．

4．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　） 

A．193 B．194 C．195 D．196

5．如图，用20m长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为（　　）m2
 

A．45 B．50 C．60 D．65

6．如图，矩形ABCD中，AB=9，BC=6，点E．F分别是边BC，CD上的点．且AE⊥EF，则AF的最小值是(　　)

A．10 B． C． D．9

7．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿   轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 三顶点的抛物线解析式为（　　）

A． B．

C． D．

8．已知一个直角三角形的两边长分别为a和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x轴交点间的距离，则a的值为(　　)  

A．3 B． C．3或  D．不能确定

9．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（　　）

A． B． C． D．

10．已知：如图，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别以1个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；过E点作EG∥OA交抛物线y=a（x﹣1）2+h（a＜0）于E、G两点，交AB于点F，连结DE、BG．若抛物线的顶点M恰好在BG上且四边形ADEF是菱形，则a、h的值分别为（　　）

A．-、 B．-、 C．-、 D．-、

11．如图，在平面直角坐标系响，抛物线y=a（x-m）2+1（a<0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB=45°，点C绕O逆时针旋转90°得到点C'，当 ≤m≤ 之时，BC'的长度范围是（　　） 

A．0≤BC'≤  B． ≤BC'≤

C． ≤BC'≤  D．0≤BC'≤

12．某人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的路S（米）与时间t（秒）间的关系式为S=10t+t2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为(　　)
 

A．24米 B．12米 C．12米 D．11米

二、填空题

13．已知过点的抛物线与坐标轴交于点A，C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P，当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为　                       　.

14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝　     　m时，矩形土地ABCD的面积最大.

15．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是　          　 . 

16．如图，正方形 的边长为1，点E为 边上的一动点（不与B，C重合），过点E作 ，交 于F.则线段 长度的最大值为　     　. 

17．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为　     　m.

18．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　     　

三、综合题

19．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． 

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； 

（2）求出这条抛物线的函数解析式； 

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上，B，C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下． 

20．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点 、 ，与y轴交于点 ，点P是第一象限内抛物线上的一点． 

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；  

（2）设四边形 的面积为S，求S的最大值．  

21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．

解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4

∵（y＋2）2≥0，

∴（y＋2）2＋4≥4

∴y2＋4y＋8的最小值是4．

（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；

（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；

（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

22．已知，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 分别交 轴于 、 两点（点 在点 的侧），与 轴交于点 ，连接 ， .

（1）如图1，求 的值；

（2）如图2， 是 轴上一点（不与点 、 重合），过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ，交直线 于点 .

①当点 在点 右侧时，连接AF，当 时，求 的长.

②当点 在运动时，若 、 、 中有两条线段相等，求此时点 的坐标.

23．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．

（1）求S关于x的函数表达式．

（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．

24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】A

10．【答案】A

11．【答案】A

12．【答案】B

13．【答案】或

14．【答案】150

15．【答案】 cm2　

16．【答案】

17．【答案】1.6

18．【答案】6

19．【答案】（1）解：M（12，0），P（6，6）

（2）解：∵顶点坐标（6，6） 

∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）

又∵图象经过（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6

∴

∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣ （x﹣6）2+6，即y=﹣ x2+2x

（3）解：设A（x，y） 

∴A（x，﹣ （x﹣6）2+6）

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC=﹣ （x﹣6）2+6，

根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，

∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，

∴令L=AB+AD+DC=2[﹣ （x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣ x2+2x+12=﹣ （x﹣3）2+15．

∴当x=3，L最大值为15

∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．

20．【答案】（1）解：∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4）， 

设抛物线表达式为： ，

将C代入得：，

解得：a=-2，

∴该抛物线的解析式为： ；

（2）解：连接OP， 

设点P坐标为（m， ），m＞0，

∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），

可得：OA=1，OC=4，OB=2，

∴S=S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB

=

=

当m=1时，S最大，且为8.

21．【答案】（1）解：x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3

∵（x＋1）2≥0，

∴（x＋1）2＋3≥3

∴x2＋2x＋4的最小值是3

（2）解：4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5

∵（x－1）2≥0，

∴－（x－1）2≤0

∴－（x－1）2＋5≤5

∴4－x2＋2x的最大值是5

（3）解：设花园的面积为S（m2），根据题意，得

S＝AB·BC

＝x（20－2x）

＝－2x2＋20x

＝－2（x2－10x）

＝－2（x2－10x＋25－25）

＝－2（x－5）2＋50

∵－2（x－5）2≤0

∴－2（x－5）2＋50≤50

∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．

22．【答案】（1）解：

令 ，即 ，解得 ， ，

∴ ， ，

∴ ，

又∵ ，

∴

（2）解：①由（1）得抛物线 ，BC所在直线 ，

设 ，

∴ ，

∵ ， 轴，

∴ 为等腰直角三角形，

又∵ ，

∴ ，

∴ 而 ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴

②当

，

∴ ，∴

当

，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴D（-2，0），

综上， 的坐标为 ，

23．【答案】（1）解：∵AB=xm，铝合金材料长为18m，
∴AD=BC=，
∴S＝x·＝x2+9x，

即S与x的函数表达式为：S＝x2+9x.

（2）解：由题意得：2≤x＜，

解得：2≤x＜3.6，

∵S＝x2+9x＝（x-3）2+，

∵＜0，对称轴是直线x＝3，且2≤x＜3.6，

∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝，

当x＝2时，S取得最小值，此时S＝（2-3）2+＝12，

答：窗户总面积S的最大值m2，最小值是12m2．

24．【答案】（1）解：∵直线y=x+4经过A，C两点，

∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），

又∵抛物线过A，C两点，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为．

（2）解：①如图1∵，∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，∴PQ∥AO，PQ=AO=4．∵P，Q都在抛物线上，∴P，Q关于直线x=﹣1对称，∴P点的横坐标是﹣3，∴当x=﹣3时，，∴P点的坐标是；

②过P点作PF∥OC交AC于点F，如图2

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，∴．又∵，∴，设点F（x，x+4），

∴，

化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．当x=﹣1时，；当x=﹣3时，，即P点坐标是或．又∵点P在直线y=kx上，∴或．