2023年中考数学高频考点突破二次函数与一次函数综合2附答案

这是一份2023年中考数学高频考点突破二次函数与一次函数综合2附答案，共48页。试卷主要包含了定义，我们不妨规定等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学高频考点突破二次函数与一次函数综合2附答案
1．如图，已知抛物线经过轴上的、两点，直线经过点交抛物线于点，点为轴下方抛物线上的动点．
（1）求一次函数的解析式和点、的坐标；
（2）如图，过点作轴的平行线，与直线、轴分别交于点、，当点为抛物线的顶点时，点关于直线的对称点为，求的面积；
（3）在（2）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？









2．如图，已知一次函数与抛物线都经过轴上的点和轴上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，试求出点的坐标和△的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把△分成的两部分面积之比为1∶3，请求出点的坐标．




3．如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过两点

（1）求抛物线的解析式；
（2）作直线垂直于轴，在第一象限交直线于点，交抛物线于点，交轴于点．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标．



4．如图，二次函数的图像与x轴交于点，两点．交y轴于点，C，D是二次函数上的一组对称点，一次函数的图像过点B，D．

（1）求二次函数的表达式．
（2）求D的坐标，并根据图像直接写出当x取何值时，一次函数的值大于二次函数的值．
（3）当时，直接写出二次函数y值取值范围．





5．如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，已知一次函数分别交x、y轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一交点为C．

（1）求b、c的值及点C的坐标；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，过P作x轴的垂线交抛物线于点D，交线段AB于点E．设运动时间为t（t＞0）秒．
①当t为何值时，线段DE长度最大，最大值是多少？（如图1）
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结BD，若△BOC与△BDF相似，求t的值．（如图2）





7．定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点的相关函数． 例如：当时，函数关于点的相关函数为．
当，时
①一次函数关于点的相关函数 ；
②点在函数关于点的相关函数的图象上，求的值．
函数关于点的相关函数，则 ；
当时，函数关于点的相关函数的最大值为，求的值．

8．我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由：若不为定值，试确定其取值范围．





9．如图，已知抛物线过点、顶点为，一次函数的图像交轴于点是抛物线上一点，点关于的对称点恰好落在抛物线的对称轴上，对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求点、的坐标；
（3）连接，若平面内关于的对称点为，求面积的最大值．





10．如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点是抛物线上不与，重合的一个动点，点是轴上的一个动点．

（1）直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于的不等式的解集；
（2）当点在直线上方时，求出面积最大时点的坐标；
（3）是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．





11．在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．





12．若一次函数的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接交于点F，连接，．
①当时，求点P的坐标；
②求的最大值．







13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点．

（1）求出抛物线解析式的一般式；
（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．





14．已知二次函数的图像与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．一次函数的图像与y轴相交于点D，其中．
（1）分别求出A、B、C三点的坐标（可以用含有字母a的代数式表示）．
（2）点P与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，点Q为抛物线上的一个动点．
①试说明点P在直线的图像上．
②若点Q在抛物线上有且只有三个位置满足，求a的值．


15．已知抛物线与轴交于和两点，与轴正半轴交于点，若的面积，
（1）求抛物线的对称轴及解析式．

（2）若为对称轴上一点，且，以、为顶点作正方形（、、、顺时针排列），若正方形有两个顶点在抛物线上，求的值．

（3）如图，、两点关于对称轴对称，一次函数过点，且与抛物线只有唯一一个公共点，平移直线交抛物线于、两点（点在点上方），请你猜想与的数量关系并加以证明．


16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（2，﹣1），与x轴交于A，B两点，OA=3；

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，一次函数y＝﹣x+3图象交x轴于点A，交y轴于点D，连结AC、BD，在x轴上有一点Q，使△AQC 与△ABD相似，求出点Q坐标；
（3）如图2，在直线y＝kx -1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90°？若存在，请直接写出此时k的值；若不存在，请说明理由．








17．我们规定，以二次函数的二次项系数的2倍为一次项系数，一次项系数为常数项构造的一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来，二次函数叫做一次函数的“母函数”．

（1）若一次函数是二次函数的“子函数”，且二次函数经过点，求此二次函数的解析式．
（2）如图，已知二次函数的“子函数”图象直线与轴、轴交于、两点，点是直线上方的抛物线上任意一点，求的面积的最大值．
（3）已知二次函数与它的“子函数”的函数图象有两个交点，，且，求的值；






18．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求一次函数（直线）的表达式和的面积；
（3）如图2，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求四边形最大面积时点的坐标和最大面积．


参考答案：
1．（1），，；（2）；（3）当点H坐标为时，点在整个运动过程中用时最少．
【分析】（1）由，解方程，求出，，由直线经过点求出即可；
（2）由直线与抛物线交于两点构造方程，解方程，利用直线求出点，利用顶点坐标公式求，由点关于直线的对称点为，的纵坐标与E相同，由DE=D′E=6，求出，利用割补法求三角形BCD′面积=矩形面积-三个三角形面积；
（3）过点作轴，可求，过点作于点，可求，由动点运动的路径为折线，可求运动时间：，由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．当点C，H，L三点共线时，则，与直线的交点，即为所求点，由点横坐标为，直线的解析式为：，可求H坐标即可．
【解析】：（1）抛物线经过轴上的两点，
令，即
，
，
或，
，，
直线经过点，
，
，
；
（2）直线与抛物线交于两点，
，
，
，
或，
当时，，
，
为抛物线的顶点，
∴，，
∴，
F（-2，0），
当x=-2时，，
E（-2，3），
点关于直线的对称点为，
的纵坐标与E相同，
DE=3-（-3）=6，
D′E=6，
D′横坐标为：6-2=4，
∴，
则，
，
；

（3）过点作轴，则，
过点作于点，
在Rt△BHL中，由勾股定理，BL=HL,
∴，
则，
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
∴，即运动时间等于折线的长度．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
当点C，H，L三点共线时，则，与直线的交点，即为所求点
∵点横坐标为，直线的解析式为：，
∴．
综上所述：当点H坐标为时，点在整个运动过程中用时最少．

【点评】本题考查抛物线与一元二次方程，一次函数解析式，直线与抛物线的交点，轴对称性质，三角形面积，动点在折线运动时间最短问题，本题难度较大，涉及的知识较多，要求学生有较强的解题能力．
2．（1）y=x2-2x-8；（2）6；（3）N ．
【分析】（1）首先求出A，B点坐标进而利用待定系数系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先利用配方法求出二次函数顶点坐标，再利用S△ABD=S四边形AOBD-S△AOB=S梯形OBDG+S△AGD-S△AOB，求出答案；
（3）根据题意可得：，进而利用直线AB把△MAN分成的两部分面积之比为1：3，讨论得出答案．
【解析】解：（1）∵在y=2x-8中，当y=0时，0=2x-8，得x=4，
∴A（4，0），
∵在y=2x-8中，当x=0时，y=2×0-8=-8，
∴B（0，-8），
又∵抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点
∴，
∴，
∴抛物线为：y=x2-2x-8；
（2）由（1）可得：y=x2-2x-8=（x-1）2-9，
故顶点坐标为：D（1，-9），
如图，过D作x轴的垂线，交x轴于G，

则OG=1，
故S△ABD=S四边形AOBD-S△AOB
=S梯形OBDG+S△AGD-S△AOB
= ×（8+9）×1+ ×（4-1）×9- ×4×8
=6；
（3）如图，过M作MN⊥x轴，交AB于H，交抛物线于N，设M（t，0），
则H（t，2t-8）；N（t，t2-2t-8），
由图可知：，
①当时，
解得：t1=4，t2=6都不合题意，舍去，
②当时，
解得：t1=，t2=4（不合题意，舍去），
由①和②可得：t=，
∴t2-2t-8= ，
∴N ．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及三角形面积求法和待定系数法求二次函数解析式等知识，利用数形结合以及分类讨论是解题关键．
3．（1）；（2）当时，有最大值，最大值是；（3）或
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）根据点M、N所在的函数解析式得到点M及N的坐标，计算，并化为顶点式形式，根据函数的性质解答；
（3）先确定M（2,1），N（2,5），设点D的坐标为（m，n），分三种情况，①当MD为对角，②当AM为对角线时，③当MN为对角线时，根据直角坐标系中平行四边形的点坐标的性质解答．
【解析】（1）令中y=0，得，解得x=4，
令中x=0，得y=2，
点的坐标为，
将点A、B的坐标代入中，得
，
解得，
抛物线解析式为；
轴于点，且点，

点在直线上，点在抛物线上，
，




当时，有最大值，最大值是；
(3）∵t=2，
∴M（2,1），N（2,5），
设点D的坐标为（m，n），
∵以为顶点作平行四边形，
∴①当MD为对角线时，m+2=0+2，n+1=2+5，
解得m=0，n=6，
∴D（0,6）；
②当AM为对角线时，m+2=0+2，n+5=2+1，
解得m=0，n=-2，
∴D（0，-2）；
③当MN为对角线时，m+0=2+2，n+2=1+5，
解得m=4，n=4，
∴D（4,4），
综上，所求的点坐标为或．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，二次函数与最值问题，直角坐标系中平行四边形对角顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，（3）根据平行四边形的性质解答更为简便，同时运用分类思想解决问题．
4．（1）；（2），或；（3）
【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A、B、C，即可解答本题；
（2）根据题意可以求得点D的坐标，再根据函数图象即可解答本题；
（3）观察函数图象即可得出结论．
【解析】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
，
解得，a=-1，b=-2，c=3，
即二次函数的解析式是y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3，
∴该函数的对称轴是直线x=-1，
∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D（-2，3），
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1；
（3）对于得
故当x=-1时，二次函数的最大值为4
∴当时，y的最大值是4；y的最小值是-5，
即y的取值范围是：
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
5．（1）；；（2）的最大值为；此时，；（3）或或．
【分析】（1）根据待定系数法得出，，的值，即可求解；
（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点，连接．根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【解析】（1）将代入，得：，
∴；
由题意得：，解得：，
∴；
（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点，

，，
，，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
过点作于，作于．则，，
，．



．
，，，
当时，的值最大．
当时，，，
即面积的最大值为，此时点的坐标为，
（3）存在三组符合条件的点，

当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
，，，，
可得坐标如下：
①的横坐标为，代入二次函数表达式，
解得：，；
②的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：，；
③的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：，．
故：的坐标为或或．
【点评】主要考查二次函数综合，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．（1）b=2，c=3，C点坐标为（-1，0）；（2）①；②
【分析】（1）由一次函数求出点A、B坐标，代入抛物线解析式可求出b、c的值，令y=0可求出点C的坐标；
（2）①由题意可知P(t,0),D(t, )、E（t,-t+3），然后表示出DE，利用二次函数的最值即可求出DE最大值；
②分别用t表示出AP、EP、AE、DE、EF、BF，然后分类讨论相似的两种情况，或，列式求解即可.
【解析】解：（1）在中令x=0,得y=3, 令y=0,得x=3,
∴A（3，0），B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y=0则0=﹣x2+2x+3，
解得，
∴C点坐标为（-1，0）；
（2）①由题知P(t,0),D(t, )、E（t,-t+3）;
∴DE=()-()
∴当时，DE长度最大，最大值为；
②∴A（3，0），B（0，3），
∴OA=OB,
∴∠BAO=45°，
在Rt△PAE中，∠PAE=45°，；
在Rt△DEF中，∠DEF=45°，；
∴
若△BDF∽△CBO相似，则，即：,
解得：(舍去)；，
若△BDF∽△BCO相似，则，即：,
解得：(舍去)；，；
综上，或时，△BOC与△BDF相似.
【点评】本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质、三角形相似、一次函数、解方程等知识点，难度较大．最后一问为探索题型，注意进行分类讨论．
7．（1）①；②；（2） ；（3）m的值为或
【分析】（1）①由相关函数的定义，将y=x-1旋转变换可得相关函数为y=x+1；
②将（，−）代入y＝a(x−)2−1−a可得a的值，
（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
（3）在相关函数中，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
【解析】解：（1）①当时，则，∴关于原点对称的函数为y=x+1；
②∵y＝−ax2−ax+1＝−a(x+)2+1+a，
∴y=-ax2-ax+1关于点P(0，0)的相关函数为y＝a(x−)2−1−a，
∵点A(，−)在函数y＝a(x−)2−1−a的图象上，
∴−＝a(−)2−1−a，
解得a=，
（2）∵函数y=(x-1)2+2的顶点为(1，2)，函数y=-(x+3)2-2的顶点为(-3，-2)，这两点关于点P中心对称，
∴＝m，
∴m=-1，
故答案为：-1．
（3）∵y＝x2−mx−m2＝(x−m)2−m2，
∴y＝x2−mx−m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝−(x−m)2+m2，
①当m≤m−1，即m≤-2时，y有最大值是6，
∴−(m−1−m)2+m2＝6，
∴m1＝1−，m2＝1+（不符合题意，舍去），
②当m−1≤m≤m+2时，即-2＜m≤4时，当x＝m时，y有最大值是6，
∴m2＝6∴m1＝2，m2＝−2（不符合题意，舍去），
③当m＞m+2，即m＞4时，当x=m+2时，y有最大值是6，
∴−(m+2−m)2+m2＝6，
∴m＝−2±2（不符合题意，舍去），
综上，m的值为1−或2．
【点评】本题考查了新定义问题，二次函数的性质以及中心对称，（3）是本题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题．
8．（1）（1，6），（6，1）；（2）b＝±﹣3；（3）不为定值，2＜＜．
【分析】（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标；
（2）先求顶点坐标，代入解析式可求b的值；
（3）先求点A，点B，点C，点D坐标，由四边形的面积公式可求S，即可求解．
【解析】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7的“次生函数”为y＝
∴
∴  或
∴交点坐标为（1，6），（6，1）
（2）∵一次函数y＝x+b的“再生函数”为y＝x2+bx﹣（1+b），
∴顶点坐标为（﹣，﹣﹣1﹣b）
∵一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，
∴﹣﹣1﹣b＝﹣+b
∴b＝±﹣3
（3）∵
∴，
∴点A（﹣1﹣，﹣a），B（1，a+b）
∵y＝ax2+bx﹣（a+b）过点（﹣2，3）
∴3＝4a﹣2b﹣a﹣b
∴a＝1+b
∴y＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∵与x轴交于点C，点D，
∴0＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∴x＝1，x＝﹣
∴点C（﹣，0），点D（1，0）
∵a＝1+b，
∴b＝a﹣1
∴点A（﹣2+，﹣a），点B（1，2a﹣1），点C（﹣，0），点D（1，0）
∴S＝（2a﹣1+a）（1﹣）＝，
∴＝＝（﹣3）2
∵a＝1+b，a＞2b＞0，
∴1+b＞2b
∴0＜b＜1，
∴1＜a＜2
∴2＜＜
【点评】本题考查函数的综合、一元二次方程组的解法、一元一次不等式的解法等知识，是重要考点，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
9．（1）；（2）N(-2，4)，P(2，6)；（3）
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）连接NM交AP于点E，设点P（m， ），先表示出直线AP的解析式y= ，MN的解析式y= ，由M，N关于AP对称，将点E代入AP即可求解．
（3）如图，依题意可知 在以点A为圆心AM为半径的圆上运动，过点A作HM的垂线交圆A于点，交MH于点F，连接 、AM， 此时面积最大，求出MH问题可解．
【解析】解：（1）∵二次函数y=x2+bx的图象经过点A（-4，0），
∴0=8-4b，
∴b=2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x．
（2）如图，

过连接MN交AP于点E，设点P的坐标为(m， )，m
点A（-4，0）
设直线AP的解析式为：y=kx+b，（k 0），
将A，P代入上式，得 ，
解，得 ，
设直线AP的解析式为：y=，
M，N关于直线AP对称，
直线MN的解析式为： ，
点N在抛物线的对称轴上，
点N在对称轴x=-2上，
把x=-2代入，得 ，
点N的坐标为（-2，），
点E是MN的中点， M的坐标为（0，2）
点E的坐标为（-1， ），
把点E代入直线AP：y=，得=- ，
解，得m1=-1，m2=2，
经检验：m1=-1，m2=2是原方程的解，但m1=-1不合题意舍去，
点N的坐标(-2，4)，点P的坐标为(2，6)；
（3）如图，

连接AM，以点A为圆心AM为半径作圆A，过点A作于点F，交圆A于，则，
在 中，OM=2，OA=4，
，
，
,
是直角三角形， ，
，
在 中，AH=OA-OH=4-2=2,
，
，

所以面积的最大值是 .
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称，圆的性质及图像上的动点问题，解题的关键是学会用建模的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程或方程组解决问题，属于中考压轴题．
10．（1），；或  （2）   （3）存在；或或
【分析】（1）根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出函数解析式，再根据图象可得不等式的解集；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【解析】（1）解：（1）把A（-1，-1），代入y=ax2中，可得：a=-1，
把A（-1，-1），B（2，-4）代入y=kx+b中，可得：
解得：
抛物线的解析式为：，一次函数的解析式：
由图象可得：关于x的不等式ax2＜kx-2的解集是x＜-1或x＞2，
（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点．

，
，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
过点作于，作于．则，，
，．




，，，
当时，的值最大．
当时，
即面积的最大时点的坐标为
（3）存在三个符合条件的点，

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP=BQ，AQ=BP，A（-1，-1），B（2，-4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为-3，代入二次函数表达式，解得：P'（-3，-9），；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，解得：P″（3，-9）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，解得：P（1，-1）．
故：P的坐标为（-3，-9）或（3，-9）或（1，-1），
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
11．（1）；（2）①4；②点，或点，
【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；
（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
∴．
∴  
，
解得：
∴抛物线的解析式为

（2）①设直线l的解析式为，交点，
由，
可得，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴当时，取最小值4．
∴的最小值是4．
②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴，即
解得：，，，
∵，，（不合题意，舍去．）
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：．
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：

综上：点，或点，．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．
12．（1）；（2）；（3）①点或；②
【分析】（1）先求的点A、C的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）设交于点M．由可得，．再由，根据平行线的性质可得，所以．已知平分，根据角平分线的定义可得．利用AAS证得．由全等三角形的性质可得． 由此即可求得点M的坐标为（0，-1）．再由，即可求得直线解析式为；
（3）①由可得．过点P作交于点N，则．根据相似三角形的性质可得．由此即可求得．设，可得．所以．由此即可得=2，解得．即可求得点或；②由①得．即．再根据二次函数的性质即可得．
【解析】（1）解：令，得．令时，．
∴．
∵抛物线过点，
∴．
则，将代入得
解得
∴二次函数表达式为．

（2）解：设交于点M．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
由条件得：．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴直线解析式为．

（3）①，
∴．
过点P作交于点N，则．
∴．
∵，
∴．
∵直线的表达式为，
设，
∴．
∴．
∴，则，解得．
∴点或．
②由①得：．
∴．
∴有最大值，．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M的坐标是关键；解决（3）①问时，作出辅助线求得是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键．
13．（1）；（2）当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为；（3）的最小值是3．
【分析】（1）利用函数求解的坐标，再把的坐标代入二次函数解析式可得答案，
（2）过点作轴交于，得到，利用二次函数的性质可得答案，
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，从而得到，从而可得答案．
【解析】（1）令，解得：，
∴点，∴，
∴，∴，
即.
（2）如图，过点作轴交于，
设，则，
∴，
所以：①当时，
；
②当时，
；
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，
此时点坐标为.

（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点.
∵，，
∴，，
∴，
设 则
∴ ，
∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小.
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是3.

【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查利用轴对称求线段和的最小值，同时考查锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
14．（1）；（2）①见解析；②或
【分析】（1）令 求解的坐标，令 求的坐标；
（2）①根据抛物线是解析式求解抛物线的对称轴，由轴对称求解的坐标，把的坐标代入可得结论，②点Q在抛物线上有且只有三个位置满足得到在直线PB上方只能存在一个位置，即此时的面积最大，利用函数的性质求解面积的最大值，分情况建立方程求解即可．
【解析】（1）令则
解得：

令


A（-3，0）、B（a，0）、C（0，3）
（2）①
抛物线的对称轴为，
点P与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，
则中点坐标公式得：P坐标为（a-3,3）
将点P坐标（a-3,3）代入到中，得
   成立
∴点P在直线的图像上
② 由题意得：
在直线PB下方始终存在两个位置，使得
则在直线PB上方只能存在一个位置，使得，
即最大时成立
由点Q在直线PB上方，过点Q作x轴垂线，垂足为点M，
交PB于点H，交PC于点N，如图，则

，

设点

都在上，
为：，

则
当时，QH有最大值=，所以此时面积最大为
当时，，得
，则
当时，，得
，则（舍去）
综上所述：或   

【点评】本题考查的二次函数，考查二次函数与一元二次方程的关系，考查利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．（1）对称轴是直线，；（2）或；（3）或，证明见解析
【分析】（1）根据对称轴公式可求得对称轴，由面积以及点的坐标可求得抛物线解析式；
（2）分情况讨论，设P（1，n），根据旋转的性质可以得到D，E点坐标，代入解析式即可求得n值；
（3）分情况讨论，求出关于D点的切线方程，平移切线与抛物线联立，可得关于交点的坐标关系式，利用直角三角形性质即可求得角度之间关系．
【解析】（1）解：对称轴为直线，
∵，，
∴，即，，
由面积，得，
∴，
、代入可得；，
即抛物线解析式为；；
（2）解：由题意知，
①如左图， 过P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，

设D点坐标为（a，b）,由旋转90°可得△CMP≌△DNP，
∴CM=DN，PM=PN，
∴，，
∴，，
∴，
将D点代入，
∴，解得或4（舍），
②如图，

同理可求得，
代入抛物线解析式，，
解得（舍去）或，
∴或；
（3）①若点在左侧，，理由如下

易知D（2,3），过点的抛物线的切线为，
设平移后的解析式为，
与抛物线联立得：，
，，

∴；
②若点在右侧，，理由如下

同理可得，
所以，
综上所述，或．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合，该题用到了待定系数法求抛物线解析式，正方形性质，直角三角形性质以及二次函数性质，熟练掌握抛物线性质以及一次函数性质是解题的关键．
16．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）存在，k=1，k=，k=．
【分析】（1）由顶点坐标为C（2，﹣1）可得对称轴为x=2，然后再根据二次函数图像的对称性，确定A、B的坐标，然后使用待定系数法即可解答；
（2）先通过等腰三角形和相似三角形的性质得到∠CAQ＝∠DAB＝45°，然后分＝和＝两种情况解答即可；
（3）设P点坐标为（a，ka-1），以AB的中点O为圆心作⊙O，以AB为直径画圆恰好与直线y＝kx-1(k＞0）相切与P点，然后确定圆的半径长度，然后运用两点间距离公式列方程，最后根据条件即可确定k的取值．
【解析】解（1）∵函数图像的顶点坐标为C（2，﹣1）
∴对称轴为x=2
∵OA=3
∴B点的横坐标为:2-(3-2)=1,A点的横坐标为3
∴A(3,0),B(1,0)
∴解得
∴函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：连接AC、QC、BD,
令x=0,则y＝﹣0+3=3，即点D坐标为（0,3）
∴OA=OD
∴∠DAB＝45°
要使△AQC∽△ADB，则∠CAQ＝∠DAB＝45°，
①当＝时，△AQC∽△ADB，即＝，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；
②当＝时，△AQC∽△ABD，即＝，解得AQ＝，此时Q（，0）；
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；
（3）连接设P点坐标为（a，ka-1），以AB的中点O为圆心作⊙O，以AB为直径画圆恰好与直线y＝kx-1(k＞0）相切与P点，即AP⊥BP
∵A(3,0),B(1,0)
∴AO=BO=AB=1
∴即：（k-1）a2-（2k+2）a+1=0
∵在直线y＝kx-1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90°
∴①当（k-1）a2-（2k+2）a+1=0为关于a的一元一次方程时，则k-1=1，即k=1；
②①当（k-1）a2-（2k+2）a+1=0为关于a的一元二次方程时，则：
（2k+2）2-4（k-1）=0解得：k=，k=；
综上，存在满足题意得k且取值为k=1，k=，k=．

【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图像与性质、解方程、两点间距离公式、直线与圆的位置关系、相似等知识点，综合应用所学知识是解答本题的关键．
17．（1）；（2）13；（3），-6，6
【分析】（1）由题意得：，，故抛物线的表达式为：，将点C的坐标代入即可求解；
（2）连接DP，过点P作y轴的平行线交CD于点H，设点P（，），则点H（，），由S△PCD=S△PHC-S△PHD=构造关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）由二次函数的“子函数”为，知，，联立与得，利用根与系数的关系结合已知条件即可求解．
【解析】（1）由题意得：，，
故抛物线的表达式为：，将点C(3，0)的坐标代入得：，
解得：c=3，
故抛物线的表达式为：；
（2）如图所示，连接DP，

设点P（，），
二次函数中，，，
∴“子函数”图象直线的表达式为：，
令，则；令，则；
∴点C、D的坐标分别为（-2，0）、（0，-4），
过点P作y轴的平行线交CD于点H，则点H（，），
∴S△PCD=S△PHC-S△PHD=


，
∵，∴S△PCD有最大值，
当时，其最大值为13；
（3）由二次函数的“子函数”为，
知：，，
∴二次函数的解析式为，其“子函数”为，
联立，
消去得，
由根与系数的关系得：，，
∵，
整理得：，
∴，
解得：．
故的值分别为：，，．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数的最值、三角形面积、一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是读懂题意，理解“母函数”与“子函数”的系数之间的关系．
18．（1）；（2），面积为6；（3），最大值为
【分析】（1）把，代入解方程即可求出解析式；
（2）先由解析式求出，，再求AC解析式及的面积；
（3）利用铅锤法求出,当最大时，最大此时四边形面积最大．
【解析】（1）把，代入，
得，解，∴．
（2）当时，解得，，
∴，，，
过，，得，得，
∴一次函数关系式为，
．
（3）设，，
则，
当时，最大．
当最大时，最大，
，
此时．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是利用铅锤法解决二次函数面积最值问题，属于中考压轴题．