2023年江苏省徐州市第十三中学中考数学质检试卷（二）（含答案）

这是一份2023年江苏省徐州市第十三中学中考数学质检试卷（二）（含答案），共29页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省徐州十三中中考数学质检试卷（二）
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）9的相反数是（　　）
A．﹣9 B．9 C．±9 D．
2．（3分）下列倡导节约的图案中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（3分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．8 B．2 C．16 D．4
5．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
6．（3分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是（　　）
A．56 B．60 C．63 D．72
7．（3分）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（　　）

A．（2，0） B．（2，0） C．（2+1，0） D．（2+1，0）
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分
9．（3分）分解因式：xy﹣x＝　 　．
10．（3分）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　 　．
11．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝　 　．
12．（3分）已知x＝4﹣y，xy＝5，则3x+3y﹣4xy的值为 　 　．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为　 　．

14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为 　 　．

15．（3分）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为　 　m．

16．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 　 　．
17．（3分）如图，反比例函数y＝的图象上有A、B两点，过点B作BD⊥y轴于点D，交
OA于点C．若AC＝2OC，△BOC的面积为2，则k的值为　 　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是 　 　．

三.解答题（共10小题，满分86分)
19．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
20．（10分）（1）化简：，
（2）解不等式组
21．（6分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．

22．（8分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
23．（8分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中，求最喜欢A套餐的人数及求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
24．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．

26．（8分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
62
68
销售量y（万件）
40
36
24
（1）直接写出y与x之间的函数表达式为 　 　；
（2）批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
（3）批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为（，﹣），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结AD，作直线BD．
（1）求b、c的值；
（2）求点A、B的坐标；
（3）求证：∠ADO＝∠DBO；
（4）点P在抛物线上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．

28．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．



2023年江苏省徐州十三中中考数学质检试卷（二）
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）9的相反数是（　　）
A．﹣9 B．9 C．±9 D．
解：9的相反数是﹣9，
故选：A．
2．（3分）下列倡导节约的图案中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故选：B．
4．（3分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．8 B．2 C．16 D．4
解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF＝AC，DE＝BC，EF＝AC，
故△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（BC+AB+AC）＝16＝8．
故选：A．

5．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，
∴m只能为，
故选：D．
6．（3分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是（　　）
A．56 B．60 C．63 D．72
解：由题意知，这组数据中60出现3次，次数最多，
∴这组数据的众数是60，
故选：B．
7．（3分）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（　　）

A．（2，0） B．（2，0） C．（2+1，0） D．（2+1，0）
解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，

∵A（1，2），
∴AD＝1，OD＝2，
∴OA＝．
由题意：△OA′D′≌△OAD，
∴A′D′＝AD＝1，OA′＝OA＝，OD′＝OD＝2，∠A′D′O＝∠ADO＝90°，∠A′OD′＝∠DOD′．
则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，
∴△A′OE为等腰三角形．
∴OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1．
∵EO⊥OC，OD′⊥EC，
∴△OED′∽△CEO．
∴．
∴．
∴OC＝2．
∴C（2，0）．
故选：B．
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分
9．（3分）分解因式：xy﹣x＝　 　．
解：xy﹣x＝x（y﹣1）．
故答案为：x（y﹣1）．
10．（3分）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　 　．
解：320000000＝3.2×108，
故选：3.2×108．
11．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝　 　．
解：∵单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝3+1＝4．
故答案为：4．
12．（3分）已知x＝4﹣y，xy＝5，则3x+3y﹣4xy的值为 　 　．
解：∵x＝4﹣y，
∴x+y＝4，
∵xy＝5，
∴3x+3y﹣4xy
＝3（x+y）﹣4xy
＝3×4﹣4×5
＝12﹣20
＝﹣8，
故答案为：﹣8．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为　 　．

解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
故答案为45°．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为 　 　．

解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，
∴BD＝3×＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为　 　m．

解：如图，连接OA，OB，OC，

则OB＝OA＝OC＝1m，
因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：m，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr＝，
解得，r＝（m），
故答案为：．
16．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 　 　．
解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：
＝．
故答案为：＝．
17．（3分）如图，反比例函数y＝的图象上有A、B两点，过点B作BD⊥y轴于点D，交
OA于点C．若AC＝2OC，△BOC的面积为2，则k的值为　 　．

解：作AM⊥x轴于M，AE⊥y轴于E，BN⊥x轴于N
设A（m，n），
∵AE∥BD，AC＝2OC，
∴
∴BN＝OD＝，CD＝m，
∴B（3m，n），
∵AC＝2OC，△BOC的面积为2，
∴△AOB的面积为6，
∵S△AOB＝S梯形ABNM+S△AOM﹣S△BON＝S梯形ABNM，
∴（BN+AM）（ON﹣OM）＝6，即×（n+n）（m﹣3m）＝6，
∴mn＝﹣，
∴k﹣1＝﹣，
∴k＝﹣，
故答案为﹣．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是 　 　．

解：如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．

∵DG⊥OA，HE⊥DG，
∴∠EHD＝∠DGA＝90°．
∴∠GDA+∠DAG＝90°．
∵四边形ADEF为正方形，
∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．
∴∠HDE＝∠GAD．
在△HED和△GDA中，
，
∴△HED≌△GDA（AAS）．
∴HE＝DG＝3，HD＝AG．
设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．
∴E（a+3，7﹣a）．
∴OE＝＝．
当a＝2时，OE有最小值，最小值为5．
故答案为：5．
三.解答题（共10小题，满分86分)
19．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）原式＝2﹣1﹣2+2＝1；

（2）原方程可化为：＝1+，
方程的两边同乘（2x﹣1），
得：x＝2x﹣1+2，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入（2x﹣1）＝﹣3≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣1．
20．（10分）（1）化简：，
（2）解不等式组
解：（1）原式＝•＝；
（2）不等式组整理得：，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
21．（6分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．

解：（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图所示：∠BCE即为所求；
（3）连接（5，0），（0，5），可得与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：

22．（8分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
23．（8分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中，求最喜欢A套餐的人数及求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×＝108°；

（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336（人）；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为．
24．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．

（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴＝，
∴PB＝＝＝，
∴DP＝﹣6＝．
故答案为：．

26．（8分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
62
68
销售量y（万件）
40
36
24
（1）直接写出y与x之间的函数表达式为 　 　；
（2）批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
（3）批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将（60，40），（62，36）代入得：
，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160；
故答案为：y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣50）（﹣2x+160）＝352，
解得x＝58或x＝72，
∵尽量给客户实惠，
∴x＝58，
答：每件冰墩墩定价为58元；
（3）设销售冰墩墩的总利润为W万元，
则W＝（x﹣50）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣65）2+450，
∵，
∴55≤x≤80﹣10a，
在W＝﹣2（x﹣65）2+450中，
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
①若80﹣10a≥65，当x＝65时，W取最大值450，
而450≠400，
∴不符合题意，舍去；
②若55＜80﹣10a＜65，则1.5＜a＜2.5，
当55≤x≤80﹣10a时，W随x的增大而增大，
∴x＝80﹣10a时，W取最大值，
即（80﹣10a﹣50）[﹣2（80﹣10a）+160]＝400，
解得a＝2或a＝1（舍去），
∴a的值为2．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为（，﹣），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结AD，作直线BD．
（1）求b、c的值；
（2）求点A、B的坐标；
（3）求证：∠ADO＝∠DBO；
（4）点P在抛物线上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．

（1）解：设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x﹣2，
即b＝﹣，c＝﹣2；
（2）解：令y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝4或﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）；
（3）证明：由抛物线的表达式知：点C（0，﹣2），
则点D（0，2），
则OD＝2，OB＝4，OA＝1，
∴tan∠ADO＝，tan∠DBO＝＝tan∠ADO，
∴∠ADO＝∠DBO；
（4）解：设点Q（m，﹣m+2），点P（m，n），n＝m2﹣m﹣2，
当CD为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，
整理得：m2＝m，
解得：m＝0（舍去）或2，
则t＝﹣2，
即点Q（﹣2，3）；
当CQ是平行四边形的对角线时，可得：，
解得：m＝t＝2，
即点Q（2，1）；
当CP是平行四边形的对角线时，可得：，
解得：t＝m＝1，
即点Q的坐标为（1+，）或（1﹣，），
综上，点Q的坐标为：（1+，）或（1﹣，）或（﹣2，3）或（2，1）．
28．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．


（1）解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴BC＝AB＝4，
∴DP＝2；

（2）证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵AB⊥AC，HE⊥AC，
∴AB∥HE，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；

（3）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝，
根据勾股定理得，BE＝＝，
由折叠知，BE＝B'E＝，
∴点B'是以点E为圆心，为半径的圆上，
由旋转知，EF＝EG，
∴点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，
∴B'G的最小值为B'E﹣EG，
要B'G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为，
∴线段B′G的长度的最小值﹣．



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