中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题27 相似（教师版）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题27 相似（教师版），共46页。
专题27 相似
知识点1：相似三角形定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形
知识点2：相似三角形的判定:
定理1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
知识点3：相似三角形的性质:
性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
性质2.相似三角形周长的比等于相似比。
性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
知识点4：位似
1.位似图形、位似中心、位似的定义
每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。
2.位似比
两个相似图形的相似比，成为位似比。
3.位似图形的性质。
4.要知道用位似将一个图形放大或者缩小的办法。能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同，并举出一些他们的实际应用的例子。

一、用思维导图记忆本单元知识内在联系







二、以一道几何题解法为例，说明添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
求证： BC2＝2CD·AC．

整体分析：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．
证法一（构造2CD）：如图，我们很容易想到，在AC截取DE＝DC，（或者说在AC上取一点E，使得CD=DE, 这样就有CE=2CD）

∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵ AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
∴ △BCE∽△ACB．
∴， ∴
∴BC2＝2CD·AC．
证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，得到△EBC．

∵ AB＝AC，
∴ AB＝AC=AE．
∴∠EBC=90°，
又∵BD⊥AC．
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△EBC∽△BDC
∴即
∴BC2＝2CD·AC．
证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．

又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD．
∴即．
∴BC2＝2CD·AC．
证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= ．

∵BD⊥AC，∴BE=EC=ED，
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△EDC．
∴，即．
∴BC2＝2CD·AC．
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．
【例题1】（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（　　）

A． B．2 C．4 D．2
【答案】D
【解析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF2．
【例题2】（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为　 　．

【解析】2
【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果．
【解析】∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴AB•DE＝16，
∵AB+DE＝10，
∴AB＝2，DE＝8，
∴
【例题3】（辅助线添法）已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
求证：AB/AC=BD/CD

【答案】见解析。
【解析】比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．
证法1：如图，过C点作CE∥AD，交BA的延长线于E．
 
在△BCE中，∵ DA∥CE，
∴BD/DC=BA/AE
又∵ CE∥AD，
∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，
∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，
∴ AC=AE．
∴BD/DC=BA/AC
证法2： 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线．
如图，过D作DE∥AC交AB于E，则∠2=∠3．
 
∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3．
于是EA=ED．
又∵，
∴ ，
∴ .
证法3： 欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置．如图，过B作BE∥AC，交AD的延长线于E，则∠2=∠E．
 
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠E，AB=BE．
又∵，
∴ .
证法4：由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证．如图，过D点作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
 
易证四边形AEDF是菱形．则DE=DF．
由△BDE∽△DFC，得
．
又∵ ，
∴ .
《相似》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2019湖南邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′=1：2
D．AB∥A′B′
【答案】C
【解析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
2．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴AF，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．
3.（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）

A. B． C． D．
【答案】B．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝
4．（2020•嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【解析】∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
5．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为（　　）

A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．
【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA，
∴AB，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A，
∴
6．（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD，线段PQ在边BA上运动，PQ，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3．
其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【答案】D
【解析】①利用图象法可知PC＞DQ，故①错误．
②∵∠A＝∠B＝60°，∴当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC，故②正确．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积32x3×（3﹣x）x，
∵x的最大值为3，
∴x时，四边形PCDQ的面积最大，最大值，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°，HJDD′，CJ，FH，
∴CH＝CJ+HJ，
∴CF，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3，故④错误。
7．（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解析】∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴，
∴DE
8．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．
【解析】∵EF∥BC，
∴，
∵EG∥AB，
∴，
∴

9．（2020•遵义）如图，△ABO的顶点A在函数y（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【解析】
∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴，，
∴，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴，
∴S△ANQ＝1，
∵（）2，
∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18
10．（2020•铜仁市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【答案】C
【解析】如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF，∴AH＝HF＝1＝BE．∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴HEF+∠BEC＝90°，∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECFEF•ECEC2，故①正确；
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，∴矩形AHFP是正方形，∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，∴△FPG∽△FQC，
∴，∴，∴PG，∴AG＝AP+PG，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE3＝8，故②正确；
∵AD＝4，∴DG＝AD﹣AG，
∴DG2+BE21，
∵EG2＝（）2，
∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，
∴正确的有①②，

二、填空题（每空3分，共30分）
11.（2019广西百色）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为　 　．

【答案】18．
【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），
∴A′（4，4），C′（12，2），
∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．
【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
12．（2020•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　 　．

【解析】5．
【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，

若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：22＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
13．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．

【解析】．
【解析】如图，过点D作DF∥AE，

则，
∵，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DODC，
∴S△ADOS△ADC，S△BDOS△BDC，
∴S△ABOS△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：4．
14.（2019•浙江宁波）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为　　．

【答案】6.5或3．

【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．

15. 2019黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________．
【答案】3或.
【解析】在△BDE中，∠B是锐角，∴有两种可能，∠DEB或∠EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.
如图1，∠DEB是直角时，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,设CD=x，则BD=8-x，由折叠
知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;
如图2，∠EDB是直角时，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，综上，CD的长
为3或.

图1 图2
16．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　 　．

【答案】2．
【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．
连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．
如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∵EC＝＝＝3，
∴，
∴FE＝2

17.（2019江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__________．


【答案】6．
【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD＝10，然后由“AD＝3AB＝3．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝，CE＝2，这样由tan∠DEC＝；第四步过点P作PH⊥BD于点H，在BD上依次取点M、N，使MH＝NH＝2PH，于是因此△PMN是所求符合条件的图形；第五步由△DPH∽△DBA，得，即，得PH＝，于是MN＝4PH＝6，本题答案为6．


18.（2019•山东省滨州市）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有　 　（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，
∴∠DCB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB＝∠DCB＝60°，
∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，
∴△ECB是等边三角形，
∴EB＝BC，
∵AB＝2BC，
∴EA＝EB＝EC，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，EA＝EB，
∴OE∥BC，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴EO⊥AC，故①正确，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴OF＝OB，
∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，
设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，
∴BD＝a，
∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正确，
∵OF＝OB＝a，
∴BF＝a，
∴BF2＝a2，OF•DF＝a•（a+a）＝a2，
∴BF2＝OF•DF，故④正确，
故答案为①③④．

19.（2019四川泸州）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为　 　．

【答案】9
【解析】过D作DH⊥AC于H，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，
∴AC＝BC＝15，
∴∠CAD＝45°，
∴AH＝DH，
∴CH＝15﹣DH，
∵CF⊥AE，
∴∠DHA＝∠DFA＝90°，
∴∠HAF＝∠HDF，
∴△ACE∽△DHC，
∴，
∵CE＝2EB，
∴CE＝10，
∴，
∴DH＝9，
∴AD＝9，
故答案为：9．

20.（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是　 　．
【答案】4：25或9：25．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
①当AE：ED＝2：3时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，
∴△AEF∽△CBF，
∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；
②当AE：ED＝3：2时，
同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25。
三、解答题（6个小题，每题10分，共60分）
21．（2020•菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．

【解析】见解析。
【解析】（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，
又∵OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，

由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，
∴∠ABD'＝∠ABD，
∴∠ABD'＝∠BAE，
∴BD'∥AE，
又∵AE∥CD
∴BD'∥CD．
②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，

∵AD'∥BC，BD'∥AE，
∴四边形AD'BF为平行四边形．
∴∠D'＝∠AFB，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
∴∠D'＝∠ADB，
∴∠AFB＝∠ADB，
又∵∠AED＝∠BEF，
∴△AED∽△BEF，
∴，
∵AE＝CD，
∴，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴，
∴，
∴CD2＝DE•BD，
∵△AOE≌△COD，
∴OD＝OE，
∴DE＝2OD，
∴CD2＝2OD•BD．
22．（2020•武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．

【解析】见解析。
【解析】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝26，
∴AM2，
∴AD．
23．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，．

（1）当时，求证△ABC∽△A'B'C．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
【解析】见解析。
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴△ADC∽△A′D′C，
∴∠A＝∠A′，
∵，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为：，∠A＝∠A′．
（2）如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝90°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′B′C′，
∵，
∴△ABC∽△A′B′C′．
24.（2019•湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

【答案】楼的高度OE为32米．
【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴，
即：，
∴，
∴OE＝32

25.（2019•四川省凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

【答案】见解析。
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
证明：（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD•CD
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28
∴MC＝2
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴，且MC＝2
∴MN＝

26．(2019安徽)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．

【答案】见解析。
【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC.AC于点D，E，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴，∴
∴．
即：h12＝h2•h3．