中考数学二轮专题复习：图形中动点的运动培优 (含答案)

我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.

1. 圆中点的运动产生函数图象问题

【例1】         ⑴ 如图，是的直径，为圆上一点．点从点出发，沿运动到点，然后从点沿运动到点．假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是（    ）

A．              B．               C．             D．

⑵ 如图，点、、、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动．设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是（    ）

A．              B．              C．               D．

⑶ 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（    ）

⑷ 如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与的函数关系的图象大致是（    ）             

            A                  B                    C                   D

【解析】       ⑴ B．⑵ C．⑶ A．⑷ B．

2. 因动点产生的面积问题

【例2】         如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．

（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．

（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．

（1）BP=2t，则AP=10-2t．

∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，

∴当t=s时，PQ∥BC．

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．

∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6-t．

S=×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，

∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．

由（2）可知，S△AQP=-t2+6t，

∴-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，

∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．

如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，

∴，即，

解得：PD=6-t，AD=8-t，

∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t．

在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，

即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，

化简得：13t2﹣90t+125=0，

解得：t1=5，t2=，

∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．

由（2）可知，S△AQP=-t2+6t

∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-t2+6t）=2×[-×()2+6×]=cm2．

所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．

1. 因动点产生的等腰三角形问题

【例3】         如图，四边形为矩形，，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点作交于点，连接．已知动点运动了秒．

⑴ 请直接写出的长；（用含的代数式表示）

⑵ 试求的面积与时间秒的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；

⑶ 在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形．若能，求出所有的对应值；若不能，请说明理由．

【解析】       ⑴ ；

⑵

其中，

∴当时，取得最大值．

⑶ 由⑴可知：．

①若，则，解得，

②若，则过点作于，

易得是矩形，，

又，则，

∴，解得（舍去）

∴，

另解：过点作.

∴，∴

又，∴，解得.

③若，则过点作于，

易得是矩形，，且，

∴，解得．

综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的的值可以为．

2. 因动点产生的直角三角形问题

【例4】         如图，已知是线段上的两点，，．以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合成一点，构成，设．

⑴求的取值范围；

⑵若为直角三角形，求的值.

【解析】       ⑴ 在中，∵，，．

∴，解得．

⑵ ①若为斜边，则，即，无解．

②若为斜边，则，解得，满足．

③若为斜边，则，解得，满足．

∴或．

3. 因动点产生的特殊四边形问题

【例5】         如图，在矩形中，，，，，分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，CM=3xcm，．

⑴当为何值时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形；

⑵当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形；

⑶以，，，为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求的值；如果不能，请说明理由．

【解析】       ⑴当点与点重合或点与点重合时，

以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点与点重合时，

由得，（舍去）

因为，

此时点与点不重合．

所以符合题意．

②当点与点重合时，

由得

此时，不符合题意．

故点与点不能重合．

所以所求的值为．

⑵ 由⑴知，点只能在点的左侧，

①当点在点的左侧时，

由，

解得．

当时，四边形是平行四边形． 

②当点在点的右侧时，

由， 

解得．

当时四边形是平行四边形．

所以当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．

⑶ 过点，分别作的垂线，垂足分别为点，．

由于，

所以点一定在点的左侧．

若以，，，为顶点的四边形是等腰梯形， 

则点一定在点的右侧，且，  

即．

解得．

由于当时， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，

所以以，，，为顶点的四边形不能为等腰梯形． 

【例6】         如图，在中，，，．动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止．过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒()．

⑴直接写出用含的代数式表示线段、的长；

⑵在这个运动过程中，能否为等腰三角形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；

⑶设、分别是、的中点，求整个运动过程中，所扫过的面积．

【解析】⑴，

．

⑵分三种情况讨论：

①当时，

有，

∴点与点重合，

∴．

②当时，

∴，

解得：．  

③当时，

有，

∴．

∴，即，

解得：． 

综上所述，当、或秒时，为等腰三角形．

⑶设是的中点，连接，

∵，

∴．

∴，∴．

又，∴，

∴．

∴点沿直线运动，也随之平移．

如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形．

∵、分别是、的中点，∴，且．

分别过点、作，垂足为，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，

当时，，；

当时，，．

∴．

∴．

∴整个运动过程中，所扫过的面积为．

题型一  因动点产生的函数关系问题  巩固练习

【练习1】   如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，边长为2的正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形与△AOB重叠部分的面积为．则表示与的函数关系的图象大致是（   ）  

【解析】       D.

题型二  因动点产生的特殊图形问题  巩固练习

【练习2】   如图，在矩形中，（是大于的常数），，为线段上的动点（不与、重合）．连结，作，与射线交于点，设，．

⑴求关于的函数关系式；

⑵若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？

⑶若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

【解析】       ⑴ 因为与都是的余角，所以．

又因为，所以．

因为，即．

整理，得关于的函数关系为．

⑵ 如图1，当时，．

因此当时，取得最大值为2．

⑶ 若，那么．整理，得．

解得或．

要使为等腰三角形，只存在的情况．

因为，所以，即．

将代入，得（如图2）；

将代入，得（如图3）．

【练习3】   如图，已知中，，，，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与B、C重合，当CQ的长取不同的值时，是否可能为直角三角形？若可能，请求出CQ的范围；若不能，说明理由．

【解析】 为直角三角形，可能有三种情况，但点P不与点A重合，所以么不可能为直角，因此有两种情况：

⑴ 若为直角，如图，则CQ的范围为

⑵ 若为直角，则点P在以CQ为直径的上，而点P在边AB上，就必须与边AB有公共点，即与边AB相切或相交，我们先从与边AB相切入手求出CQ的长：如图，连结OP，则，

得．设，得，

解得，∴

∴若为直角，CQ的范围为．

【点评】       从相等到不等求范围，要抓住变化中图形的特殊位置，而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口．

【练习4】   已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．

⑴求直线的解析式；

⑵若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？

⑶动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

⑷当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由．

【解析】       ⑴ 直线的解析式为．

⑵ 如图1，过点作轴，垂足为．

在中，，，．

所以．

梯形的面积．

解方程，解得．

因此，当时，四边形的面积是梯形的面积的．

⑶ 如图1，① 当在线段上时，，；

② 如图2，当在线段上时，，；

③ 如图3，当在线段上时，，．

⑷ 四边形不可能成为矩形．说理如下：

如图4，当时，作交轴于．

在中，，．

在中，，．

所以，因此四边形不是矩形．

【练习5】   已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（）

如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

【解析】       如图过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，

∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，∴，

∴， ∴，

∴，解得：．

∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．     

此时，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C边长为．

【测试1】如图：等边中，边长，点在线段上，点在射线上，点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动，点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动，当点停止时点也停止运动，设运动时间为秒，若、、三点围成的图形的面积为来表示，则与的图象是（）

A          B           C          

【解析】B

【测试2】 矩形中，点是线段上一动点，为的中点，的延长线交于．

⑴ 求证：；

⑵ 若厘米，厘米，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合）．设点运动时间为秒，请用表示的长；并求为何值时，四边形是菱形．

【解析】    ⑴ 证明：∵四边形是矩形，

∴，

∴，又，，

∴

⑵

∵四边形是矩形，∴，

∵，，∴，∴．

当四边形是菱形时，，∴，又，

∴，

∴，即，

解得，即运动时间为秒时，四边形是菱形．