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所属成套资源：【中考二轮】2023年中考数学高频考点突破讲义（含解析）
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2023年中考数学高频考点突破-二次函数的最值问题
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这是一份2023年中考数学高频考点突破-二次函数的最值问题，共24页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
2023年中考数学高频考点突破-二次函数的最值问题
一、综合题
1．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
2．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2+2x+c，y2＝cx2+2x+a（a，c是实数且ac≠0）．
（1）若函数y1的对称轴是直线x＝1且函数y1的图象经过点（0，3），求函数y1的表达式．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤0时，y2的取值范围．
（3）设函数y1和函数y2的最大值分别为m和n．若m+n＝0，探究实数a，c满足的关系式．
3．已知x=t2−3，y=1+t，S=x+8y.
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当t=2时，求S的值；
（3）求S的最大值或最小值.
4．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
5．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求 EFAK 的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
6．表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x
…
﹣1
﹣ 12
0
12
1
32
2
52
3
…
y
…
m
14
﹣1
−74
﹣2
−74
﹣1
14
2
…
（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）当x＞0时，y的取值范围是 ；
（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ．
7．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点(不与点A，C重合)，以A为圆心，AD长为半径作⊙A交AB于点E，连结BD并延长交⊙A于点F，连结ED，EF，AF.
（1）求证：∠EAF=2∠BDE；
（2）如图②，若∠EBD=2∠EFD，求证：DF=2CD；
（3）如图③，BC=6，AC=8.
①若∠EAF=90°，求⊙A的半径长；
②求BE⋅DE的最大值.
8．我县某公司参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量 y （单位：个）与销售单价 x （单位：元/个）之间的关系式为 y=−30x+600 ．
（1）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润 w （单位：元）与销售单价 x （单位：元/个）之间的函数关系式；
（2） 在（1）问的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
9．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）求点P在运动的过程中，线段PD的最大值；
（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（4）在题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y=ax2+bx+c经过点A(0，−74)，点B(1，14)，点C(−1，−74)，点P(m，n)为抛物线L上任意一点．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）当−2≤m≤2时，求n的最大值和最小值；
（3）过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为−2m+1．已知点P与点Q不重合．
①求线段PQ的长；（用含m的代数式表示）
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与抛物线L：y=ax2+bx+c(−2≤x<13)的图象只有一个交点时m的取值范围．
11．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣8）两点.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当2≤x≤5时，函数在点C处取得最大值，在点D处取得最小值，求△BCD的面积.
12．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
13．新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销售量y（件）
200
180
160
140
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）日销售纯利润为W（元），求出W与x的函数表达式；
（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．
14．已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）．
（1）若二次函数的对称轴是直线x＝3，求m的值．
（2）当m＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．
15．如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) .
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为 x(2
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当x=60时，y= 12060 =2，
∴当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），
设y=kx+b，则 30k+b=560k+b=2 ，
解得： k=−0.1b=8 ，
∴y=-0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）解：根据题意，当30≤x≤60时，W=（x-20）y-50=（x-20）（-0.1x+8）-50= −0.1x2 +10x-210，
当60＜x≤80时，W=（x-20）y-50=（x-20）• 120x -50= −2400x +70，
综上所述：W= −0.1x2+10x−210(30≤x≤60)−2400x+70(60≺x≤80) ；
（3）解：当30≤x≤60时，W= −0.1x2 +10x-210= −0.1(x−50)2+40 ，
当x=50时， W最大 =40（万元）；
当60＜x≤80时，W= −2400x +70，
∵-2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x=80时， W最大 = −240080 +70=40（万元），
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）考的是利用待定系数法求一次函数的表达式，当30≤x≤60时，图像是一条直线的一部分，是一次函数的图象，图象过（60，2）和（30，5）代入即可；
（2）纯利润=销售总收入-总支出，这个总支出既包括每件生产成本×销售量，又包括销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用，题目还应考虑到销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系即当30≤x≤60时和当60＜x≤80时的区别；
（3）当30≤x≤60时运用二次函数的性质进行解决，当60＜x≤80时运用反比例函数的性质进行解答，据此算出利润最大值。
2．【答案】（1）解：∵二次函数 y1=ax2+2x+c 的对称轴为直线 x=1 ，
∴−22a=1 ，
∴a=−1 ，
∵点（0，3）在二次函数 y1=ax2+2x+c 图像上，
∴c=0 ，
∴函数 y1 的表达式为 y1=−x2+2x+3 ；
（2）解：由（1）得 y2=3x2+2x−1=3(x2+23x+19)−43=3(x+13)2−43 ，
∵3>0 ，
∴当 x=−13 时， y2 有最小值，最小值为 −43 ，
∵−1≤x≤0 ，
∴当 x=0 时， y2=−1 ，当 x=−1 时， y2=0 ，
∴当 −1≤x≤0 时， −43≤y2≤0 ；
（3）解：∵函数 y1=ax2+2x+c ， y2=cx2+2x+a 有最大值 m ， n
∴m=4ac−44a ， n=4ac−44c ， c<0 ， a<0 ，
∵m+n=0 ，
∴4ac−44a+4ac−44c=0 ，
∴a+c−(1a+1c)=0 ，
∴a+c−a+cac=0 ，
∴(a+c)(1−1ac)=0 ，
∵c<0 ， a<0 ，
∴1−1ac=0 ，
∴ac=1 ．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出 −22a=1 ， 再求出 a=−1 ， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 当 x=−13 时， y2 有最小值，最小值为 −43 ， 再求出 当 x=0 时， y2=−1 ，当 x=−1 时， y2=0 ， 最后求解即可；
（3）先求出 4ac−44a+4ac−44c=0 ， 再求解即可。
3．【答案】（1）解：将x=t2−3，y=1+t代入S=x+8y得：
S=(t2−3)+8(1+t)=t2+8t+5，
∴S与t的函数关系式为：S=t2+8t+5.
（2）解：将t=2代入S=t2+8t+5得：S=22+8×2+5=25，
∴当t=2时S=25.
（3）解：S=t2+8t+5=(t+4)2−11，
∴当t=−4时，函数S有最小值-11.
【知识点】函数值；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）将第一个与第二个函数解析式代入第三个函数解析式中即可得出 S与t的函数关系式；
（2）将t=2代入（1）所得函数解析式，即可算出s的值；
（3）将（1）所得函数解析式配成顶点式，由于二次项系数a=1＞0，图象开口向上，故可得出该函数的最小值.
4．【答案】（1）解：由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系，
设y=kx+b，将(10，200)，(15，150)代入解析式，可得
10k+b=20015k+b=150，解得k=−10b=300
即y=−10x+300，
由题意可得，x≥10，−10x+300≥0，解得10≤x≤30
即y=−10x+300，10≤x≤30，
（2）解：设利润为w元，
则w=(x−10)(−10x+300)=−10x2+400x−3000，
∵−10<0，开口向下，对称轴为x=20，10≤x≤30
∴当x=20时，w有最大值，为1000元，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式，根据题意求出自变量取值范围：销售单价大于10，销售量不小于0
（2）列出利润关于单价的二次函数，根据二次函数开口向下时，对称轴处函数值最大的性质，求出单价和最大利润
5．【答案】（1）解：①∵EF∥BC，
∴AKAD=EFBC ，
∴EFAK=BCAD = 128=32 ，
即 EFAK 的值是 32 ．
②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8﹣x，
∵EFAK = 32 ，
∴EF= 32(8−x) ，
∴S=EH•EF= 32 x（8﹣x）=﹣ 32(x−4)2 +24，
∴当x=4时，S的最大值是24．
（2）解：设正方形的边长为a，
① 当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
8−aa=812 ，
解得a= 245 ．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12÷2=6，
∴AB=AC= AD2+BD2=62+82=10 ，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
=8×12÷10
= 485
∴485−aa=48510 ，
解得a= 24049 ．
综上，可得
正方形PQMN的边长是 245 或 24049
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据EF∥BC，可得 AKAD=EFBC ，所以 EFAK=BCAD ，据此求出 EFAK 的值是多少即可．②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据 EFAK = 32 ，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可．
6．【答案】（1）上；（1，﹣2）；2
（2）y≥﹣2
（3）n＞﹣3
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得
c=−1a+b+c=−24a+2b+c=−1 ，解得 a=1b=−2c=−1 ，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），
令x=﹣1，代入可得m=2，
故答案为：上；（1，﹣2）；2；
2）∵y=（x﹣1）2﹣2，
∴当x=1时，y有最小值﹣2，
∴当x＞0时，y≥﹣2，
故答案为：y≥﹣2；
3）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，
∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，
故答案为：n＞﹣3．
【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令x=﹣1代入可求得m的值；（2）由二次函数的解析式可求得其增减性，当x＞0时，可知其有最小值，无最大值，可求得y的取值范围；（3）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．
7．【答案】（1）证明：在优弧EF上任意取一点G，连接GE，GF，
∵四边形EDCG是圆内接四边形，
∴∠EDF+∠G=180°，
∵∠EDB+∠EDF=180°，
∴∠G=∠BDE，
∵∠EAF=2∠G，
∴∠EAF=2∠BDE
（2）证明：作AH⊥DF于H，
∵∠EBD=2∠EFD，2∠EFD=∠BAD，
∴∠EBD=∠BAD，
∴BD=AD，
在△BDC和△ADH中，
∠C=∠AHD∠BDC=∠ADHBD=AD，
∴△BDC≌△ADH(AAS)，
∴CD=DH，
∵AH⊥DF，
∴DF=2DH，
∴DF=2CD
（3）解：①在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=10，
∵∠BDC=∠ADF=∠AFD，∠C=∠EAF=90°，
∴△CDB∽△AFB，
∴BCAB=CDAF，
∴610=8−rr，
解得r=5；
②作EG⊥AD于G，
∴EG//BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴AG=45r，EG=35r，DG=15r，
在Rt△EDG中，由勾股定理得，
DE=105r，
∴BE⋅DE=(10−r)⋅105r=−105r2+210r，
当r=−b2a=2102×105=5时，BE⋅DE最大值为510
【知识点】二次函数的最值；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在优弧EF上任意取一点G，连接GE、GF，根据圆内接四边形的性质可得∠EDF+∠G=180°，根据邻补角的性质可得∠EDB+∠EDF=180°，则∠G=∠BDE，根据圆周角定理可得∠EAF=2∠G，据此证明；
（2）作AH⊥DF于H，根据圆周角定理可得∠BAD=2∠EFD，结合已知条件可得∠EBD=∠BAD，则BD=AD，证明△BDC≌△ADH，得到CD=DH，根据等腰三角形的性质可得DF=2DH，据此证明；
（3）①由勾股定理可得AB，证明△CDB∽△AFB，然后根据相似三角形的性质就可求出r的值；
②作EG⊥AD于G，易证△AEG∽△ABC，根据相似三角形的性质可得AG、EG、DG，根据勾股定理可得DE，然后表示出BE·DE，再根据二次函数的性质可得最大值.
8．【答案】（1）解：由题意得：w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，∴w与x的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600
（2）解：由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得：x≥15，在w=﹣30x2+780x﹣3600中，对称轴为：x=﹣ 7802×(−30) =13．∵a=﹣30，∴当x＞13时，w随x的增大而减小，∴x=15时，w最大为：（15﹣6）（﹣30×15+600）=1350，∴销售单价定为每个15元时，利润最大为1350元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）销售利润=单个利润X销售量可列出函数关系式；
（2）总成本=单个成本X总销售量，根据总成本≤900可列不等式求得x的范围，再把（1）中的解析式配成顶点式即可求解；
9．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a(0-2)2-1，a=1；
∴y=(x-2)2-1，
y=x2−4x+3
（2）解：设点P (x， x2−4x+3 ) 直线PD的解析式为 y=−x+3
设PD=m， 则m= (−x+3)− ( x2−4x+3 )= −x2+3x = −(x−32)2+94
PD的最大值 94
（3）解：分两种情况：
①当P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
，∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A(3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2；
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系为y=kx+b（k≠0）。
将A（3，0），C(0，3）代入上式得：
3k+b=0b=3，
解得k=−1b=3；
∴y=-x+3；
设D2（x，-x+3），P2(x，x2-4x+3)，
则有：（-x+3）+(x2-4x+3)=0，
即x2-5x+6=0；
解得x1=2，x2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；
∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）。
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；
（4）解：由（3）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P2（2，-1）(即顶点Q）时，
平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
∵P（2，-1），
可设F（x，1）；
∴x2-4x+3=1，
解得x1=2−2，x2=2+2；
∴符合条件的F点有两个，
即F（ 2+2，1) 或 (2−2，1)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标特点，设函数解析式为顶点式，将点C的坐标代入求出函数解析式即可。
（2）利用待定系数法求出直线PD的函数解析式，设点P的坐标，求出PD与x 的函数解析式，求出其顶点坐标即可。
（3）根据题意分两种情况：①当P1为直角顶点时，点P1与点B重合，求出点P1的坐标；②当点A为△AP2D2的直角顶点时，根据已知条件证明AO平分∠D2AP2，再证明P2、D2关于x轴对称，求出直线AC的函数解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，因此求出P点的坐标。
（3）由（3）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；因此只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质可得出P、F的纵坐标互为相反数，可得出求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标。
10．【答案】（1）解：将A（0，﹣74），点B（1，14），点C（﹣1，﹣74），
代入y＝ax2+bx+c得：c=74a+b+c=14a+b+c=74，解得，a=1b=1c=−74，
∴y=x2+x−74
（2）解：∵y=x2+x−74＝（x+12）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣12．
∴当x＝﹣12 时，n的最小值为﹣2，
∵2﹣(﹣12)＞﹣12﹣(﹣2)，
∴当x＝2时，n取最大值22+2﹣74＝174．
（3）解：①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，即m＜13时，PQ＝﹣3m+1，
当﹣3m+1＜0时，即m＞13时，PQ＝3m﹣1；
②﹣2≤m≤﹣43或﹣12≤m＜13时，PQ与图象交点个数为1．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】(3)②当m＞13时，与抛物线L：y＝ax2+bx+c（﹣2≤x＜13）的图象不会有交点．
∴讨论m＜13时，
∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜13．
如图，当x＝﹣12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣12＜m＜13，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝13关于抛物线对称轴直线x＝﹣12对称后直线为x＝﹣43 ，
∴﹣43＜m＜﹣12时，PQ与图象有2个交点．
当﹣2≤m≤﹣43时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣43或﹣12≤m＜13时，PQ与图象交点个数为1．
【分析】（1）用待定系数法求解
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解
（3）①点Q的横坐标与点P横坐标作差
②通过数形结合求出m的取值范围
11．【答案】（1）解：将（2，0），（0，﹣8）代入y＝﹣x2+bx+c，
得 −4+2b+c=0c=−8 ，
解得 b=6c=−8 ，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+6x﹣8.
（2）解：∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
∴当x＝3时，函数取得最大值，且最大值为1，
∴C（3，1）.
当x＝5时，函数在2≤x≤5的范围内取得最小值，最小值为﹣3，
∴D（5，﹣3）.
如图，连接BC，CD，BD，过点C作CM⊥x轴，交BD于点M.
设直线BD的表达式为y＝kx+b，
将（0，﹣8），（5，﹣3）代入y＝kx+b，
得 b=−85k+b=−3 ，
解得 k=1b=−8 ，
∴直线BD的表达式为y＝x﹣8.
∵CM⊥x轴，
∴点M的横坐标为3，
将x＝3代入y＝x﹣8，
得y＝﹣5，
∴M（3，﹣5），
∴CM＝6，
∴S△BCD=12×5×6=15 .
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可以直接求出b和c的值，二次函数表达式也就求出来了；（2）先对二次函数进行配方，得到最大值为x＝3时取到，从而求的C的坐标，x＝5时，有最小值，这样D的坐标能得到，最后过点C作x轴垂线，交BD于点M，以CM为底，分别求出 △ACM 和 △CDM 的面积，相加即为 △BCD 的面积.
12．【答案】（1）解：∵2x＋y=30，∴y=30-2x，∵长边不能超过墙长，即y=30-2x≤18，∴x≥6，又∵长边大于0，即30-2x>0，∴x<15，∴6≤x<15，∴y=30-2x，（6≤x<15）
（2）解：设矩形苗圃园的面积为Ｓ，则Ｓ=xy＝x（30-2x）=－2ｘ2＋30x∴Ｓ=-2（x-7.5）2＋112.5，由（1）知，6≤x<15∴当ｘ=7.5时，Ｓ最大值＝112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5
（3）解：∵Ｓ=-2（x-7.5）2＋112.5，∴-2（x-7.5）2＋112.5≥88，解：（x-7.5）2≤12.25，∴-3.5≤x-7.5≤3.5，即4≤x≤11．
又因为6≤x<15所以6≤x≤11
【知识点】二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据另外三边长为30米可得函数关系式；由墙长为18米可得自变量的取值范围；
（2）由（1）中的结论易得s=xy=x（30-2x），整理即可得解析式，配成顶点式可求解；
（3）由（2）中的解析式，令s≥88，即可求解。
13．【答案】（1）解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式
得 200=150k+b180=160k+b ，解得 k=−2b=500 ．
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500．
（2）解：∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
由题意得：
W＝y（x﹣100）﹣2000
＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000
＝﹣2x2+700x﹣52000
（3）解：W＝﹣2x2+700x﹣52000
∵﹣2＜0，故W有最大值．
当x＝﹣ b2a ＝175（元/件）时
W的最大值为= 4ac−b24a =9250（元）．
【知识点】二次函数的最值；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可得到答案；
（2）根据日销售纯利润的公式，即可得到函数关系式；
（3）根据函数的性质，计算得到函数的最大值即可。
14．【答案】（1）解：在y＝（x﹣1）（x﹣m）中，令y＝0得0＝（x﹣1）（x﹣m），
解得x＝1或x＝m，
∵对称轴为直线x＝3，
∴1+m2 ＝3，
解得m＝5，
故m的值为5；
（2）解：①当 1+m2 ≥ 32 时，即m≥2，
则x＝0时，y取得最大值，即m＝7；
∴此时y＝（x﹣1）（x﹣7）＝x2﹣8x+7．
②当 1+m2 ≤ 32 时，即﹣1＜m≤3，
当x＝3时，y取得最大值，即6﹣2m＝7，解得m＝ 12 ．
∴此时y＝（x﹣1）（x﹣ 12 ）＝x2﹣ 32 x+ 12 ．
综上，y＝x2﹣8x+7或y＝x2﹣ 32 x+ 12 ．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）令y=0，可得x=1或x=m，结合对称轴为直线x=3可得1+m2＝3，求解可得m的值；
（2）①当1+m2≥ 32 ，即m≥2时，函数在x＝0处y取得最大值，据此可得m的值，进而可得函数表达式；②当1+m2≤32，即-1＜m≤3时，函数在x＝3处取得最大值，求出m的值，进而可得函数表达式.
15．【答案】将 A(2,4) 与 B(6,0) 代入 y=ax2+bx ， 得 36a+6b=04a+2b=4 ，解得： b=3a=−12 ； (2) 点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为 x(2
将 A(2,4) 与 B(6,0) 代入 y=ax2+bx ，
得 36a+6b=04a+2b=4 ，解得： b=3a=−12 ；
（2）解：
如图，过A作x轴的垂直，垂足为 D(2,0) ，连接CD、CB，过C作 CE⊥AD ， CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，
S△OAD=12OD⋅AD=12×2×4=4 ；
S△ACD=12AD⋅CE=12×4×(x−2)=2x−4 ；
S△BCD=12BD⋅CF=12×4×(−12x2+3x)=−x2+6x ，
则 S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x−4−x2+6x=−x2+8x ，
∴S 关于x的函数表达式为 S=−x2+8x(2
∴ 当 x=4 时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将 A（2,4） 与B（6,0） 代入 y=ax2+bx ，用待定系数法可求得；
（2）过A作x轴的垂直，垂足为D（2,0） ，连接CD、CB，过C作 CE⊥AD ， CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，则 S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x−4−x2+6x=−x2+8x ， S 关于x的函数表达式为 S=−x2+8x(2
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得： 20k+b=1530k+b=12.5 ，
解得： k=−14b=20 ，
∴y与x之间的函数关系式为 y=−14x+20 ；
（2）解：设销售收入为P（万元），
∴P=(1−20%)xy=45×(−14x+20)x=−15x2+16x ，
∴P与x之间的函数关系式为 P=−15x2+16x ；
（3）解：设销售总利润为W，
∴W=P−6.2x−m=−15x2+16x−6.2x−(50+0.2x) ，
整理，可得： W=−15x2+485x−50=−15(x−24)2+3265 ，
∵﹣ 15 ＜0，
∴当 x＝24 时，W有最大值为 3265 ，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是 3265 万元.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（20，15），（30，12.5）代入求出k、b，据此可得函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），根据销售收入=销售价×原料的质量×(1-20%)就可得到P与x之间的函数关系式 ；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润=销售收入-进价-加工费可得W与x的函数关系式，然后结合二次函数的性质可得最大值.
中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
2023年中考数学高频考点突破-二次函数的最值问题
一、综合题
1．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
2．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2+2x+c，y2＝cx2+2x+a（a，c是实数且ac≠0）．
（1）若函数y1的对称轴是直线x＝1且函数y1的图象经过点（0，3），求函数y1的表达式．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤0时，y2的取值范围．
（3）设函数y1和函数y2的最大值分别为m和n．若m+n＝0，探究实数a，c满足的关系式．
3．已知x=t2−3，y=1+t，S=x+8y.
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当t=2时，求S的值；
（3）求S的最大值或最小值.
4．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
5．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求 EFAK 的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
6．表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x
…
﹣1
﹣ 12
0
12
1
32
2
52
3
…
y
…
m
14
﹣1
−74
﹣2
−74
﹣1
14
2
…
（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）当x＞0时，y的取值范围是 ；
（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ．
7．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点(不与点A，C重合)，以A为圆心，AD长为半径作⊙A交AB于点E，连结BD并延长交⊙A于点F，连结ED，EF，AF.
（1）求证：∠EAF=2∠BDE；
（2）如图②，若∠EBD=2∠EFD，求证：DF=2CD；
（3）如图③，BC=6，AC=8.
①若∠EAF=90°，求⊙A的半径长；
②求BE⋅DE的最大值.
8．我县某公司参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量 y （单位：个）与销售单价 x （单位：元/个）之间的关系式为 y=−30x+600 ．
（1）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润 w （单位：元）与销售单价 x （单位：元/个）之间的函数关系式；
（2） 在（1）问的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
9．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）求点P在运动的过程中，线段PD的最大值；
（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（4）在题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y=ax2+bx+c经过点A(0，−74)，点B(1，14)，点C(−1，−74)，点P(m，n)为抛物线L上任意一点．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）当−2≤m≤2时，求n的最大值和最小值；
（3）过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为−2m+1．已知点P与点Q不重合．
①求线段PQ的长；（用含m的代数式表示）
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与抛物线L：y=ax2+bx+c(−2≤x<13)的图象只有一个交点时m的取值范围．
11．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣8）两点.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当2≤x≤5时，函数在点C处取得最大值，在点D处取得最小值，求△BCD的面积.
12．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
13．新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销售量y（件）
200
180
160
140
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）日销售纯利润为W（元），求出W与x的函数表达式；
（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．
14．已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）．
（1）若二次函数的对称轴是直线x＝3，求m的值．
（2）当m＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．
15．如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) .
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为 x(2
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当x=60时，y= 12060 =2，
∴当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），
设y=kx+b，则 30k+b=560k+b=2 ，
解得： k=−0.1b=8 ，
∴y=-0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）解：根据题意，当30≤x≤60时，W=（x-20）y-50=（x-20）（-0.1x+8）-50= −0.1x2 +10x-210，
当60＜x≤80时，W=（x-20）y-50=（x-20）• 120x -50= −2400x +70，
综上所述：W= −0.1x2+10x−210(30≤x≤60)−2400x+70(60≺x≤80) ；
（3）解：当30≤x≤60时，W= −0.1x2 +10x-210= −0.1(x−50)2+40 ，
当x=50时， W最大 =40（万元）；
当60＜x≤80时，W= −2400x +70，
∵-2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x=80时， W最大 = −240080 +70=40（万元），
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）考的是利用待定系数法求一次函数的表达式，当30≤x≤60时，图像是一条直线的一部分，是一次函数的图象，图象过（60，2）和（30，5）代入即可；
（2）纯利润=销售总收入-总支出，这个总支出既包括每件生产成本×销售量，又包括销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用，题目还应考虑到销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系即当30≤x≤60时和当60＜x≤80时的区别；
（3）当30≤x≤60时运用二次函数的性质进行解决，当60＜x≤80时运用反比例函数的性质进行解答，据此算出利润最大值。
2．【答案】（1）解：∵二次函数 y1=ax2+2x+c 的对称轴为直线 x=1 ，
∴−22a=1 ，
∴a=−1 ，
∵点（0，3）在二次函数 y1=ax2+2x+c 图像上，
∴c=0 ，
∴函数 y1 的表达式为 y1=−x2+2x+3 ；
（2）解：由（1）得 y2=3x2+2x−1=3(x2+23x+19)−43=3(x+13)2−43 ，
∵3>0 ，
∴当 x=−13 时， y2 有最小值，最小值为 −43 ，
∵−1≤x≤0 ，
∴当 x=0 时， y2=−1 ，当 x=−1 时， y2=0 ，
∴当 −1≤x≤0 时， −43≤y2≤0 ；
（3）解：∵函数 y1=ax2+2x+c ， y2=cx2+2x+a 有最大值 m ， n
∴m=4ac−44a ， n=4ac−44c ， c<0 ， a<0 ，
∵m+n=0 ，
∴4ac−44a+4ac−44c=0 ，
∴a+c−(1a+1c)=0 ，
∴a+c−a+cac=0 ，
∴(a+c)(1−1ac)=0 ，
∵c<0 ， a<0 ，
∴1−1ac=0 ，
∴ac=1 ．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出 −22a=1 ， 再求出 a=−1 ， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 当 x=−13 时， y2 有最小值，最小值为 −43 ， 再求出 当 x=0 时， y2=−1 ，当 x=−1 时， y2=0 ， 最后求解即可；
（3）先求出 4ac−44a+4ac−44c=0 ， 再求解即可。
3．【答案】（1）解：将x=t2−3，y=1+t代入S=x+8y得：
S=(t2−3)+8(1+t)=t2+8t+5，
∴S与t的函数关系式为：S=t2+8t+5.
（2）解：将t=2代入S=t2+8t+5得：S=22+8×2+5=25，
∴当t=2时S=25.
（3）解：S=t2+8t+5=(t+4)2−11，
∴当t=−4时，函数S有最小值-11.
【知识点】函数值；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）将第一个与第二个函数解析式代入第三个函数解析式中即可得出 S与t的函数关系式；
（2）将t=2代入（1）所得函数解析式，即可算出s的值；
（3）将（1）所得函数解析式配成顶点式，由于二次项系数a=1＞0，图象开口向上，故可得出该函数的最小值.
4．【答案】（1）解：由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系，
设y=kx+b，将(10，200)，(15，150)代入解析式，可得
10k+b=20015k+b=150，解得k=−10b=300
即y=−10x+300，
由题意可得，x≥10，−10x+300≥0，解得10≤x≤30
即y=−10x+300，10≤x≤30，
（2）解：设利润为w元，
则w=(x−10)(−10x+300)=−10x2+400x−3000，
∵−10<0，开口向下，对称轴为x=20，10≤x≤30
∴当x=20时，w有最大值，为1000元，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式，根据题意求出自变量取值范围：销售单价大于10，销售量不小于0
（2）列出利润关于单价的二次函数，根据二次函数开口向下时，对称轴处函数值最大的性质，求出单价和最大利润
5．【答案】（1）解：①∵EF∥BC，
∴AKAD=EFBC ，
∴EFAK=BCAD = 128=32 ，
即 EFAK 的值是 32 ．
②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8﹣x，
∵EFAK = 32 ，
∴EF= 32(8−x) ，
∴S=EH•EF= 32 x（8﹣x）=﹣ 32(x−4)2 +24，
∴当x=4时，S的最大值是24．
（2）解：设正方形的边长为a，
① 当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
8−aa=812 ，
解得a= 245 ．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12÷2=6，
∴AB=AC= AD2+BD2=62+82=10 ，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
=8×12÷10
= 485
∴485−aa=48510 ，
解得a= 24049 ．
综上，可得
正方形PQMN的边长是 245 或 24049
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据EF∥BC，可得 AKAD=EFBC ，所以 EFAK=BCAD ，据此求出 EFAK 的值是多少即可．②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据 EFAK = 32 ，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可．
6．【答案】（1）上；（1，﹣2）；2
（2）y≥﹣2
（3）n＞﹣3
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得
c=−1a+b+c=−24a+2b+c=−1 ，解得 a=1b=−2c=−1 ，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），
令x=﹣1，代入可得m=2，
故答案为：上；（1，﹣2）；2；
2）∵y=（x﹣1）2﹣2，
∴当x=1时，y有最小值﹣2，
∴当x＞0时，y≥﹣2，
故答案为：y≥﹣2；
3）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，
∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，
故答案为：n＞﹣3．
【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令x=﹣1代入可求得m的值；（2）由二次函数的解析式可求得其增减性，当x＞0时，可知其有最小值，无最大值，可求得y的取值范围；（3）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．
7．【答案】（1）证明：在优弧EF上任意取一点G，连接GE，GF，
∵四边形EDCG是圆内接四边形，
∴∠EDF+∠G=180°，
∵∠EDB+∠EDF=180°，
∴∠G=∠BDE，
∵∠EAF=2∠G，
∴∠EAF=2∠BDE
（2）证明：作AH⊥DF于H，
∵∠EBD=2∠EFD，2∠EFD=∠BAD，
∴∠EBD=∠BAD，
∴BD=AD，
在△BDC和△ADH中，
∠C=∠AHD∠BDC=∠ADHBD=AD，
∴△BDC≌△ADH(AAS)，
∴CD=DH，
∵AH⊥DF，
∴DF=2DH，
∴DF=2CD
（3）解：①在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=10，
∵∠BDC=∠ADF=∠AFD，∠C=∠EAF=90°，
∴△CDB∽△AFB，
∴BCAB=CDAF，
∴610=8−rr，
解得r=5；
②作EG⊥AD于G，
∴EG//BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴AG=45r，EG=35r，DG=15r，
在Rt△EDG中，由勾股定理得，
DE=105r，
∴BE⋅DE=(10−r)⋅105r=−105r2+210r，
当r=−b2a=2102×105=5时，BE⋅DE最大值为510
【知识点】二次函数的最值；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在优弧EF上任意取一点G，连接GE、GF，根据圆内接四边形的性质可得∠EDF+∠G=180°，根据邻补角的性质可得∠EDB+∠EDF=180°，则∠G=∠BDE，根据圆周角定理可得∠EAF=2∠G，据此证明；
（2）作AH⊥DF于H，根据圆周角定理可得∠BAD=2∠EFD，结合已知条件可得∠EBD=∠BAD，则BD=AD，证明△BDC≌△ADH，得到CD=DH，根据等腰三角形的性质可得DF=2DH，据此证明；
（3）①由勾股定理可得AB，证明△CDB∽△AFB，然后根据相似三角形的性质就可求出r的值；
②作EG⊥AD于G，易证△AEG∽△ABC，根据相似三角形的性质可得AG、EG、DG，根据勾股定理可得DE，然后表示出BE·DE，再根据二次函数的性质可得最大值.
8．【答案】（1）解：由题意得：w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，∴w与x的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600
（2）解：由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得：x≥15，在w=﹣30x2+780x﹣3600中，对称轴为：x=﹣ 7802×(−30) =13．∵a=﹣30，∴当x＞13时，w随x的增大而减小，∴x=15时，w最大为：（15﹣6）（﹣30×15+600）=1350，∴销售单价定为每个15元时，利润最大为1350元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）销售利润=单个利润X销售量可列出函数关系式；
（2）总成本=单个成本X总销售量，根据总成本≤900可列不等式求得x的范围，再把（1）中的解析式配成顶点式即可求解；
9．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a(0-2)2-1，a=1；
∴y=(x-2)2-1，
y=x2−4x+3
（2）解：设点P (x， x2−4x+3 ) 直线PD的解析式为 y=−x+3
设PD=m， 则m= (−x+3)− ( x2−4x+3 )= −x2+3x = −(x−32)2+94
PD的最大值 94
（3）解：分两种情况：
①当P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
，∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A(3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2；
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系为y=kx+b（k≠0）。
将A（3，0），C(0，3）代入上式得：
3k+b=0b=3，
解得k=−1b=3；
∴y=-x+3；
设D2（x，-x+3），P2(x，x2-4x+3)，
则有：（-x+3）+(x2-4x+3)=0，
即x2-5x+6=0；
解得x1=2，x2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；
∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）。
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；
（4）解：由（3）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P2（2，-1）(即顶点Q）时，
平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
∵P（2，-1），
可设F（x，1）；
∴x2-4x+3=1，
解得x1=2−2，x2=2+2；
∴符合条件的F点有两个，
即F（ 2+2，1) 或 (2−2，1)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标特点，设函数解析式为顶点式，将点C的坐标代入求出函数解析式即可。
（2）利用待定系数法求出直线PD的函数解析式，设点P的坐标，求出PD与x 的函数解析式，求出其顶点坐标即可。
（3）根据题意分两种情况：①当P1为直角顶点时，点P1与点B重合，求出点P1的坐标；②当点A为△AP2D2的直角顶点时，根据已知条件证明AO平分∠D2AP2，再证明P2、D2关于x轴对称，求出直线AC的函数解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，因此求出P点的坐标。
（3）由（3）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；因此只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质可得出P、F的纵坐标互为相反数，可得出求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标。
10．【答案】（1）解：将A（0，﹣74），点B（1，14），点C（﹣1，﹣74），
代入y＝ax2+bx+c得：c=74a+b+c=14a+b+c=74，解得，a=1b=1c=−74，
∴y=x2+x−74
（2）解：∵y=x2+x−74＝（x+12）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣12．
∴当x＝﹣12 时，n的最小值为﹣2，
∵2﹣(﹣12)＞﹣12﹣(﹣2)，
∴当x＝2时，n取最大值22+2﹣74＝174．
（3）解：①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，即m＜13时，PQ＝﹣3m+1，
当﹣3m+1＜0时，即m＞13时，PQ＝3m﹣1；
②﹣2≤m≤﹣43或﹣12≤m＜13时，PQ与图象交点个数为1．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】(3)②当m＞13时，与抛物线L：y＝ax2+bx+c（﹣2≤x＜13）的图象不会有交点．
∴讨论m＜13时，
∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜13．
如图，当x＝﹣12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣12＜m＜13，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝13关于抛物线对称轴直线x＝﹣12对称后直线为x＝﹣43 ，
∴﹣43＜m＜﹣12时，PQ与图象有2个交点．
当﹣2≤m≤﹣43时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣43或﹣12≤m＜13时，PQ与图象交点个数为1．
【分析】（1）用待定系数法求解
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解
（3）①点Q的横坐标与点P横坐标作差
②通过数形结合求出m的取值范围
11．【答案】（1）解：将（2，0），（0，﹣8）代入y＝﹣x2+bx+c，
得 −4+2b+c=0c=−8 ，
解得 b=6c=−8 ，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+6x﹣8.
（2）解：∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
∴当x＝3时，函数取得最大值，且最大值为1，
∴C（3，1）.
当x＝5时，函数在2≤x≤5的范围内取得最小值，最小值为﹣3，
∴D（5，﹣3）.
如图，连接BC，CD，BD，过点C作CM⊥x轴，交BD于点M.
设直线BD的表达式为y＝kx+b，
将（0，﹣8），（5，﹣3）代入y＝kx+b，
得 b=−85k+b=−3 ，
解得 k=1b=−8 ，
∴直线BD的表达式为y＝x﹣8.
∵CM⊥x轴，
∴点M的横坐标为3，
将x＝3代入y＝x﹣8，
得y＝﹣5，
∴M（3，﹣5），
∴CM＝6，
∴S△BCD=12×5×6=15 .
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可以直接求出b和c的值，二次函数表达式也就求出来了；（2）先对二次函数进行配方，得到最大值为x＝3时取到，从而求的C的坐标，x＝5时，有最小值，这样D的坐标能得到，最后过点C作x轴垂线，交BD于点M，以CM为底，分别求出 △ACM 和 △CDM 的面积，相加即为 △BCD 的面积.
12．【答案】（1）解：∵2x＋y=30，∴y=30-2x，∵长边不能超过墙长，即y=30-2x≤18，∴x≥6，又∵长边大于0，即30-2x>0，∴x<15，∴6≤x<15，∴y=30-2x，（6≤x<15）
（2）解：设矩形苗圃园的面积为Ｓ，则Ｓ=xy＝x（30-2x）=－2ｘ2＋30x∴Ｓ=-2（x-7.5）2＋112.5，由（1）知，6≤x<15∴当ｘ=7.5时，Ｓ最大值＝112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5
（3）解：∵Ｓ=-2（x-7.5）2＋112.5，∴-2（x-7.5）2＋112.5≥88，解：（x-7.5）2≤12.25，∴-3.5≤x-7.5≤3.5，即4≤x≤11．
又因为6≤x<15所以6≤x≤11
【知识点】二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据另外三边长为30米可得函数关系式；由墙长为18米可得自变量的取值范围；
（2）由（1）中的结论易得s=xy=x（30-2x），整理即可得解析式，配成顶点式可求解；
（3）由（2）中的解析式，令s≥88，即可求解。
13．【答案】（1）解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式
得 200=150k+b180=160k+b ，解得 k=−2b=500 ．
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500．
（2）解：∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
由题意得：
W＝y（x﹣100）﹣2000
＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000
＝﹣2x2+700x﹣52000
（3）解：W＝﹣2x2+700x﹣52000
∵﹣2＜0，故W有最大值．
当x＝﹣ b2a ＝175（元/件）时
W的最大值为= 4ac−b24a =9250（元）．
【知识点】二次函数的最值；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可得到答案；
（2）根据日销售纯利润的公式，即可得到函数关系式；
（3）根据函数的性质，计算得到函数的最大值即可。
14．【答案】（1）解：在y＝（x﹣1）（x﹣m）中，令y＝0得0＝（x﹣1）（x﹣m），
解得x＝1或x＝m，
∵对称轴为直线x＝3，
∴1+m2 ＝3，
解得m＝5，
故m的值为5；
（2）解：①当 1+m2 ≥ 32 时，即m≥2，
则x＝0时，y取得最大值，即m＝7；
∴此时y＝（x﹣1）（x﹣7）＝x2﹣8x+7．
②当 1+m2 ≤ 32 时，即﹣1＜m≤3，
当x＝3时，y取得最大值，即6﹣2m＝7，解得m＝ 12 ．
∴此时y＝（x﹣1）（x﹣ 12 ）＝x2﹣ 32 x+ 12 ．
综上，y＝x2﹣8x+7或y＝x2﹣ 32 x+ 12 ．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）令y=0，可得x=1或x=m，结合对称轴为直线x=3可得1+m2＝3，求解可得m的值；
（2）①当1+m2≥ 32 ，即m≥2时，函数在x＝0处y取得最大值，据此可得m的值，进而可得函数表达式；②当1+m2≤32，即-1＜m≤3时，函数在x＝3处取得最大值，求出m的值，进而可得函数表达式.
15．【答案】将 A(2,4) 与 B(6,0) 代入 y=ax2+bx ， 得 36a+6b=04a+2b=4 ，解得： b=3a=−12 ； (2) 点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为 x(2
将 A(2,4) 与 B(6,0) 代入 y=ax2+bx ，
得 36a+6b=04a+2b=4 ，解得： b=3a=−12 ；
（2）解：
如图，过A作x轴的垂直，垂足为 D(2,0) ，连接CD、CB，过C作 CE⊥AD ， CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，
S△OAD=12OD⋅AD=12×2×4=4 ；
S△ACD=12AD⋅CE=12×4×(x−2)=2x−4 ；
S△BCD=12BD⋅CF=12×4×(−12x2+3x)=−x2+6x ，
则 S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x−4−x2+6x=−x2+8x ，
∴S 关于x的函数表达式为 S=−x2+8x(2
∴ 当 x=4 时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将 A（2,4） 与B（6,0） 代入 y=ax2+bx ，用待定系数法可求得；
（2）过A作x轴的垂直，垂足为D（2,0） ，连接CD、CB，过C作 CE⊥AD ， CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，则 S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x−4−x2+6x=−x2+8x ， S 关于x的函数表达式为 S=−x2+8x(2
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得： 20k+b=1530k+b=12.5 ，
解得： k=−14b=20 ，
∴y与x之间的函数关系式为 y=−14x+20 ；
（2）解：设销售收入为P（万元），
∴P=(1−20%)xy=45×(−14x+20)x=−15x2+16x ，
∴P与x之间的函数关系式为 P=−15x2+16x ；
（3）解：设销售总利润为W，
∴W=P−6.2x−m=−15x2+16x−6.2x−(50+0.2x) ，
整理，可得： W=−15x2+485x−50=−15(x−24)2+3265 ，
∵﹣ 15 ＜0，
∴当 x＝24 时，W有最大值为 3265 ，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是 3265 万元.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（20，15），（30，12.5）代入求出k、b，据此可得函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），根据销售收入=销售价×原料的质量×(1-20%)就可得到P与x之间的函数关系式 ；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润=销售收入-进价-加工费可得W与x的函数关系式，然后结合二次函数的性质可得最大值.
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