2023年中考数学高频考点突破-二次函数与四边形实际问题

这是一份2023年中考数学高频考点突破-二次函数与四边形实际问题，共19页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。


2023年中考数学高频考点突破-二次函数与四边形实际问题

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，点D为直线AE上方抛物线上的一点

（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）求△ADE面积的最大值和此时点D的坐标；
（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
2．小莉的爸爸一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），其余三面用长为40m的塑料网围成矩形鸡圈（其俯视图如图所示矩形ABCD），设鸡圈的一边AB长为xm，面积ym2．

（1）写出y与x的函数关系式；
（2）如果要围成鸡圈的面积为192m2的花圃，AB的长是多少？
3．现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场.

（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使 BC//AD ， ∠C=90° .新建围墙为BCD.怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由.
4．数学综合实践课上，老师提出问题：如图，有一张长为 4dm ，宽为 3dm 的长方形纸板，在纸板四个角剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来（实线为剪裁线，虚线为折叠线），做成一个无盖的长方体盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？为了解决这个问题，小明同学根据学习函数的经验，进行了如下的探究：

（1）设小正方形的边长为 xdm ，长方体体积为 ydm3 ，根据长方体的体积公式，可以得到y与x的函数关系式是　 　，其中自变量x的取值范围是　 　；
（2）列出y与x的几组对应值如下表：
x/dm
…
18
14
38
12
58
34
78
1
98
54
…
y/dm3
…
1.3
2.2
2.7
　 　
3.0
2.8
2.5
　 　
1.5
0.9
…
（注：补全表格，保留1位小数点）
（3）如图，请在平面直角坐标系中描出以补全后表格中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（4）结合函数图象回答：当小正方形的边长约为　 　dm 时，无盖长方体盒子的体积最大，最大值约为　 　.
5．如图，抛物线y=﹣ 12 x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴交x轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求sin∠ABC的值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标．
6．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃 AB 边为 x 米，面积为 y 平方米．

（1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（2）如果要围成面积为 45m2 的花圃，求 AB 的长度．
（3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少 m2 ．
7．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.

（1）若花园的面积为192m2， 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
8．某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）
现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.

（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求 0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
9．图1中窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形，如图2.如果制作一个窗户（如图2）边框的材料总长度为 10m ，设小正方形的边长为 x(m) ，窗户的透光面积为 y(m2) .

（1）求 y 关于 x 的函数表达式.
（2）x 取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
10．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏．

（1）若a＝26，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
11．为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米．

（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
12．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
13．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=x米.

（1）求花园的面积S与x的函数关系式；
（2）在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内；（含边界，不考虑树的粗细）
①若花园的面积为216m2，求x的值；
②求花园面积S的最大值.
14．如图1是一块长为60cm的正方体薄铁片制作的一个长方体盒子，如果要做一个没有盖的长方体盒子，可先在薄铁片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图2），然后把四边折合起来．

（1）求做成的盒子底面积y（cm2）与截去小正方形边长x（cm2）之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900cm2时，试求该盒子的容积．
15．某农场造一个矩形饲养场ABCD，如图所示，为节省材料，一边靠墙(墙足够长)，用总长为77m的木栏围成一块面积相等的矩形区域：矩形AEGH，矩形HGFD，矩形EBCF，并在①②③处各留1m装门(不用木栏)，设BE长为x(m)，矩形ABCD的面积为y(m2)

（1）∵S矩形AEGH＝S矩形HGFD＝S矩形EBCF，∴S矩形AEFD＝2S矩形EBCF，∴AE：EB＝　 　.
（2）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？最大值为多少？

答案解析部分
1．【答案】（1）解：
∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3），
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3，分别代入二次函数表达式得：
c=33=−4+2b+c ，解得： b=2c=3 ，
∴抛物线对应函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3
（2）解：连接DF、DE、DA，

∵点D在直线AE上方的抛物线上，∴D（x，﹣x2+2x+3），
令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0）、B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴S△ADE＝（S△ADF+S△DEF）﹣S△AEF
＝ 12 （1+2）（﹣x2+2x+3）+ 12 ×3×（2﹣x）﹣ 12 ×3×3，
＝﹣ 32 （x﹣ 12 ）2+ 278 ，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝ 12 时，y＝ 154
∴△ADE面积的最大值是 278 ，此时点D的坐标为（ 12 ， 154 ）
（3）解：△AOC绕点C逆时针旋转90°，OC落在CE所在的直线上，
由（2）知OA＝1，
∴点A的对应点G的坐标为（3，2），
当x＝3时，y＝﹣32+2×3+3＝0≠2，
∴点G不在该抛物线上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质及矩形的边长，就可求出点C、E的坐标，再将点C、E的坐标分别代入抛物线的解析式，求出b、c的值，就可解答此题。
（2）连接DF、DE、DA，点D在直线AE上方的抛物线上，因此设D（x，﹣x2+2x+3），由y=0，解关于x的方程，求出x的值，就可得到点A、B的坐标，因此 S△ADE＝（S△ADF+S△DEF）﹣S△AEF，利用三角形的面积公式，就可求出S△ADE关于x的函数解析式，再将此函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，就可求出△ADE的最大面积及点D的坐标。
（3） △AOC绕点C逆时针旋转90°，OC落在CE所在的直线上，由A的坐标，就可取出对应点G的坐标，再求出当x=3时的函数值，将函数值与点G的纵坐标比较大小，就可作出判断。
2．【答案】（1）解：由题意得：矩形ABCD的面积=x（40﹣2x），即矩形ABCD的面积y=﹣2x2+40x
（2）解：当矩形ABCD的面积为192时，﹣2x2+40x=192．
解此方程得x1=8，x2=12＞11（不合题意，舍去）．
∴当AB的长为8m时，花圃的面积为192m2．
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用含x的代数式表示出BC的长，再利用矩形的面积公式，可得出y与x的函数关系式。
（2）由y=192，建立关于x的方程，解方程求出x的值，再根据BC≤11，确定出AB的长。
3．【答案】（1）解：过点 A 作 AH⊥BC 于点 H .

∵∠BAD=135° ， BC//AD ， ∠C=90° ，
∴∠ABC=45° ， CD⊥AD .
设 CD=x ，则 AH=BH=CD=x ，
∴AD=HC=15−2x ，
设储料场的面积为 S ，则 S=x(15−2x)+12x2 ，
∴S=−32(x−5)2+752 .
∴当 x=5 时，储料场的面积最大，最大面积为 37.5m2 .此时 AD=15−2×5=5 .
故当 AD=DC=5 米， BC=10 米时，所建储料场的面积最大，最大面积为 37.5m2 .
（2）解：小聪建议合理.理由如下：

由题意得 135⋅π⋅AD180=15 ，
∴AD=20π .
∴S=12×15×20π=150π .
∵150π≈47.7>37.5 ，
∴小聪的建议是合理的.
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)过点A作AH⊥BC于点H，设CD=x ,由∠BAD=135° ，BC∥AD，∠C=90°，可得∠ABC=45° ,
CD⊥AD .则AH=BH=CD=x , 可得AD=HC=15-2x ,设储料场的面积为S , 可得S关于x的函数关系式，配方，当x=5时, 储料场的面积最大, 求出这个最大面积即可;
(2)由扇形弧长公式求出AD的长，求出这个扇形面积，再和37.5m2比较即可.
4．【答案】（1）y=4x3−14x2+12x；0﹤ x ﹤ 32
（2）3.0；2.0
（3）解：补全表格如下表，
x/dm
…
18
14
38
12
58
34
78
1
98
54
…
y/dm3
…
1.3
2.2
2.7
3.0
3.0
2.8
2.5
2.0
1.5
0.9
…
根据补全的表格画出函数图象，如下图

（4）0.55；3.03
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由已知得， y=x(4−2x)(3−2x)=4x3−14x2+12x
根据题意得 x>04−2x>03−2x>0 解得：0﹤ x ﹤ 32
故答案为： y=4x3−14x2+12x ，0﹤ x ﹤ 32
（ 2 ）当x= 12 时，y= 12 ×(4-2× 12 )(3-2× 12 )=3.0
当x=1时，y=1×(4-2×1)(3-2×1)=2.0
（ 4 ）根据图象，当x=0.55dm时，盒子的体积最大，最大值约为3.03dm3
【分析】（1）根据题意，列出y与x的函数关系式，根据盒子长、宽、高值为正数，求出自变量的取值范围；
（2）把x= 12 ，x=1分别代入（1）中所求的函数式，从而求出y的值；
（3）根据（2）求得的y的值补全表格，根据上表描点画出图象；
（4）利用（3）画出的图象求出盒子最大体积.
5．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣ 12 x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（0，2），
−12−b+c=0c=2
b=32c=2 ．
∴解析式为y=﹣ 12 x2+ 32 x+2
（2）解：当y=0时，﹣ 12 x2+ 32 x+2=0解得x=﹣1（舍），x=4，
点B的坐标为（4，0），C（0，2），
BC= OB2+OC2 =2 5 ．
∴sin∠ABC=sin∠OBC= OCBC = 55
（3）解：存在．
∵对称轴是x= 32 ，
∴点D的坐标为（ 32 ，0），
∴CD= OD2+OC2 = 52 ．
PD=CD= 52 ，得P（ 32 ， 52 ）或（ 32 ，﹣ 52 ），
PC=CD= 52 ，即P点与D点关于底边的高对称，得
D点的纵坐标为4，即P（ 32 ，4），
综上所述：点P的坐标为（ 32 ， 52 ）或（ 32 ，﹣ 52 ），（ 32 ，4）
（4）解：设直线BC的解析式为y=mx+n
∵B、C两点坐标分别为（4，0）、（0，2），
4m+n=0n=2 解得 m=−12n=2 ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ 12 x+2．
设E点坐标为（x，﹣ 12 x+2），则F点坐标为（x，﹣﹣ 12 x2+ 32 x+2），
EF=﹣ 12 x2+ 32 x+2﹣（﹣ 12 x+2）
=﹣ 12 x2+2x
=﹣ 12 （x﹣2）2+2，
当x=2时，EF最长，
∴当点E坐标为（2，1）时，线段EF最长
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦函数的定义，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得P点坐标；（4）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
6．【答案】（1）解：由题可知，花圃的边 AB 为 x 米，则 BC 为 (24−3x) 米
这时面积 y=x(24−3x)=−3x2+24x ．
又 x>00