2023年中考数学高频考点突破-反比例函数的实际问题

这是一份2023年中考数学高频考点突破-反比例函数的实际问题，共17页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。


2023年中考数学高频考点突破-反比例函数的实际问题
一、综合题
1．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系 S=ka （k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式；
（2）当平均耗油量少于0.07升/千米时，该轿车至少可以行驶多少千米？
2．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为15﹣20℃的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y= kx 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

（1）恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）恒温系统在一天24小时内大棚温度在15﹣20℃的时间有多少小时？
3．反比例函数y= kx （x＞0）的图像经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= 32 ，将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y= kx （x＞0）的图像恰好经过DC的中点E．

（1）求k的值和直线AE的函数表达式；
（2）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．
4．已知一辆货车上装有20吨货物，货车到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）.
（1）求v关于t的函数表达式.
（2）若要求不超过4小时卸完车上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
5．大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x（天）
1
2
3
…
50
p（件）
118
116
114
…
20
销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ 1125x ．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
6．验光师测得一组关于近视眼镜的度数 y (度) 与镜片焦距 x (米) 的对应数据如下表：
镜片焦距 x (米)
1.00
0.50
0.25
0.20
0.10
近视眼镜的度数 y (度)
100
200
400
500
1000
（1）请写出适当的函数解析式描述近视眼镜的度数 y 与镜片焦距 x 的关系：
（2） 验光师测得小明同学的近视度数是 250 度， 给小明配的眼镜的焦距应该是多少米?


7．放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300 km 的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70 L ，请回答下列问题：
（1）写出油箱注满油后，汽车能够行使的总路程 s(km) 与平均耗油量 x(L/km) 之间的函数关系式；
（2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1 L 的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？
8．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．

（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
9．某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：


第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价
x（元/千克）
20
18
15
12
10
9
销售量
y（千克）
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
10．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表：
镜片焦距x（米）
1.00
0.50
0.25
0.20
0.10
近视眼镜的度数y（度）
100
200
400
500
1000
（1）请写出适当的函数表达式描述近视眼镜的度数y与镜片焦距x的关系；
（2）小张同学通过科学的视力矫正和良好的用眼习惯，有效抑制近视度数增长.一年来他的近视眼镜的度数从原来的150度变化到现在的175度，则他所佩戴眼镜的镜片焦距增加还是减少了？增加或减少多少？
11．李叔叔驾驶小汽车从 A 地匀速行驶到 B 地，行驶里程为 480km ，设小汽车的行驶时间为 t(ℎ) ，行驶速度为 v(kmℎ) ，且全程速度限定不超过 120kmℎ .
（1）求 v 与 t 之间的关系式；
（2）李叔叔上午8点驾驶小汽车从 A 地出发，需要在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的范围.
12．如图，在▱ABCD中，设BC边的长为x（cm），BC边上的高线AE长为y（cm），已知▱ABCD的面积等于24cm2．

（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求当3＜y＜6时x的取值范围．
13．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移 5 个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
14．如图，在物理知识中，压强p与受力面积S成反比例，点 (2， 7.5) 在该函数图象上.

（1）试确定P与S之间的函数解析式；
（2）求当 P=4Pa 时，S是多少 m2 ？
15．为了节能减排，某公司从2018年开始投入技术改进资金，经技术改进后产品的成本不断降低，具体数据如表：
年度
2018
2019
2020
2021
投入技术改进资金x万元
2.5
3
4
4.5
产品成本y万元
14.4
12
9
8
（1）分析表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，求出y与x的函数关系式，并说明理由；
（2）若2022年公司打算投入技术改进资金5万元，预计2022年产品成本比2021年降低多少万元？
（3）若2023年公司打算把投入技术改进资金x和产品成本y之和控制在12万元，请分别求出投入技术改进资金和产品成本.
16．某养猪场对猪舍进行喷药消毒.在消毒的过程中，先经过 5min 的药物集中喷洒，再封闭猪舍 10min ，然后再打开窗户进行通风.已知室内每立方米空气中含药量 y （ mg/m3 ）与药物在空气中的持续时间 x （ min ）之间的函数图象如图所示，其中在打开窗户通风前 y 与 x 分别满足两个一次函数，在通风后 y 与 x 满足反比例函数.

（1）求反比例函数的关系式；
（2）当猪舍内空气中含药量不低于 5mgm3 且持续时间不少于 21min ，才能有效杀死病毒，问此次消毒是否有效？

答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意得：a=0.1，S=700，代入反比例函数关系 S=ka 中，
解得：k=Sa=70，
所以函数关系式为： S=70a ．
（2）解：将 a=0.07 代入 S=70a 得： S=700.07 ＝1000，
故该轿车至少可以行驶 1000 千米．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系 S=ka 中即可求得k的值，从而确定解析式；（2）将a=0.07代入求得的函数的解析式即可求得S的值．
2．【答案】（1）解：恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间为：12﹣2=10（小时）
（2）解：把B（12，20）代入y= kx 中得：
k=12×20=240
（3）解：设AD的解析式为：y=mx+n
把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：
n=102m+n=20
解得， n=10m=5
∴AD的解析式为：y=5x+10，
当y=15时，15=5x+10，x=1，
15= 240x ，x= 24015 =16，
∴16﹣1=15，
答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在15～20℃的时间有15小时
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度20℃的时间为12﹣2=10（小时）；（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（3）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y=20，所以计算AD和BC两段当y=15时对应的x值，相减就是结论．
3．【答案】（1）解：由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= 32 ，
∴AB=3，
∴A点的坐标为（2，3），
∴k=xy=6，
∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，
∴点E的纵坐标为 32 ，
又∵点E在y= kx （x＞0）的图像上，
∴点E的坐标为（4， 32 ），
设直线MN的函数表达式为y=k1x+b，
则 2k1+b=34k1+b=32 ，
解得 k1=−34b=92 ，
∴直线MN的函数表达式为y=﹣ 34 x+ 92
（2）解：结论：AN=ME，
理由：在表达式y=﹣ 34 x+ 92 中，
令y=0可得x=6，令x=0可得y= 92 ，
∴点M（6，0），N（0， 92 ），
延长DA交y轴于点F，

则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON﹣OF=x，∵CM=6﹣4=2=AF，EC= 32 =NF，
在△ANF与△MEC中， AF=CM∠AFN=∠MCEFN=CE ，
∴△ANF≌△MEC，
∴AN=ME．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= 32 ，求得AB=3，代入y= kx 得到k=xy=6，根据已知条件得到点E的纵坐标为 32 ，由点E在双曲线y= kx （x＞0）的图像上，得到点E的坐标为（4， 32 ），解方程组即可得到结论；（2）根据y=﹣ 34 x+ 92 求得点M（6，0），N（0， 92 ），延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，根据全等三角形的性质即可得到结论．
4．【答案】（1）解：由 vt=20 ，
得： v=20t(t>0) ，
（2）解：∵v=20t(t>0) ，
当t=4时， v=204=5 ，
∵k=20>0 ，
∴在第一象限，v随t的增大而减小，
当 t⩽4 时，
∴v⩾5
答：平均每小时至少卸货5吨.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据 平均卸货速度v×卸完这批货物所需的时间t=货车上的总货物可求解；
（2）由题意把t=4代入（1）中的解析式计算可求得v的值，再根据反比例函数的性质“当k＞0时，在第一象限，v随t的增大而减小”可求解.
5．【答案】（1）解：设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，
代入（1，118），（2，116）得
k+b=1182k+b=116
解得 k=−2b=120
因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=﹣2x+120
（2）解：当1≤x＜25时，
y=（60+x﹣40）（﹣2x+120）
=﹣2x2+80x+2400，
当25≤x≤50时，
y=（40+ 1125x ﹣40）（﹣2x+120）
= 135000x ﹣2250
（3）解：当1≤x＜25时，
y=﹣2x2+80x+2400，
=﹣2（x﹣20）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x=20时，y有最大值y1，且y1=3200；
当25≤x≤50时，
y= 135000x ﹣2250；
∵135000＞0，
∴135000x 随x的增大而减小，
当x=25时， 135000x 最大，
于是，x=25时，y= 135000x ﹣2250有最大值y2，且y2=5400﹣2250=3150．
∵y1＞y2
∴这50天中第20天时该超市获得利润最大，最大利润为3200元
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由表格可以看出销售量p件与销售的天数x成一次函数，设出函数解析式，进一步代入求得答案即可；（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x＜25和25≤x≤50时，求得y与x的函数关系式；（3）利用（2）中的函数解析式分别求得最大值，然后比较两者的大小得出答案即可．
6．【答案】（1）解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y=kx，
∵y=100，x=1.00，
∴100=k1.00，
∴k=100，
∴y关于x的函数关系式是y=100x；
（2）解：当 y=250 时， 250=100x 解得：x=0.4
答：给小明配的眼镜的焦距为0.4m
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由于xy的乘积是一个定值，故近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，设y关于x的函数关系式是y=kx，把y=100，x=1.00代入y=kx，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）把y=250代入所求的函数解析式，得出x的值，即可得出给小明配的眼镜的焦距.
7．【答案】（1）解：由题意可得出总路程 s(km) 与平均耗油量 x(L/km) 的函数关系式为： s=70x ；
（2）解：小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油不能够回到家
小明爸爸去时用油量是： 300×0.1=30 （ L ）
油箱剩下的油量是： 70−30=40 （ L ）
返回每千米用油量是： 0.1×2=0.2 （ L/km ）
返回时用油量是： 300×0.2=60 （ L ） >40L .
所以，油箱里的油不能够回到家，至少要加油： 60−40=20（L）
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据总路程 s(km) ×平均耗油量 x(L/km) =油箱总油量求解即可；（2）先计算去时所用油量，再计算返回时用油量，与油箱中剩余油量作比较即可得出答案．
8．【答案】（1）解：停止加热时，设 y=kx ，
由题意得：50＝ k18 ，
解得：k＝900，
∴y＝ 900x ，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ 900x (9＜x≤45)；
（2）解：把y＝90代入y＝ 900x ，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数的一般式利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，从而求得答案。
9．【答案】（1）解：y与x之间满足反比例函数关系，y关于x的函数表达式为 y=900x
（2）解：①试销6天共销售水蜜桃45+50+60+75+90+100=420千克，水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，由题意得， 1920−42060=25 （天）.
∴余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；
②农户按15元/千克的售价销售20天后，
还剩下水蜜桃 1500−60×20=300 （千克），
∵要在不超过2天内全部售完，∴每天的销售量至少为150千克，
把y=150代入 y=900x 中得x=6.
∴新的售价最高可以定为6元/千克.。
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）从表格数据来看，每天的售价与销售量的乘积是一个定值900，从而得出y与x之间满足反比例函数关系，及函数表达式；
（2）①首先算出试销6天共销售水蜜桃的总质量，然后算出还剩水蜜桃的质量，根据表格水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，然后用总质量除以每天的销量即可得出余下的水蜜桃预计全部售完的时间；②首先算出农户按15元/千克的售价销售20天后，还剩水蜜桃的质量，又要在不超过2天内全部售完，从而得出每天的销售量至少保证的量，即y的量，再把y的量代入函数解析式，即可得出答案
10．【答案】（1）解：根据表格可知100×1.00=200×0.50=400×0.25=500×0.20=1000×0.10=100，
∴y与x成反比例关系，
∴y与x的函数关系式为y=100x；
（2）解：当y=150时，即150=100x，
解得：x=23.
当y=175时，即175=100x，
解得：x=47.
23−47=221（米）
答：他所佩戴眼镜的镜片焦距减少了221米.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1） 根据表格中的数据可得y与x成反比例关系，设y=kx，将（1，100）代入求出k的值，据此可得对应的关系式；
（2）令y=150、y=175，求出x的值，然后作差即可.
11．【答案】（1）解：∵vt=480 ，且全程速度限定不超过 120kmℎ ，
∴v 与 t 之间的关系式为 v=480t(t≥4) .
（2）解：∵8点至12点48分的时间长为 4.8ℎ ，8点至14点的时间长为 6ℎ ，
∴将 t=6 代入 v=480t 中，得 v=80 ，
将 t=4.8 代入 v=480t 中，得 v=100 .
∴小汽车行驶速度 v 的范围为 80≤v≤100 .
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据速度=路程÷时间，可得到v与t之间的函数解析式.
（2）分别将t=6和t-4.8代入函数解析式，分别求出对应的函数值，即可得到v的取值范围.
12．【答案】（1）解：∵BC边的长为x（cm），BC边上的高线AE长为y（cm），已知▱ABCD的面积等于24cm2．
∴根据平行四边形的面积计算方法得：xy＝24，
∴y＝24x（x＞0）；
（2）解：当y＝3时x＝8，当y＝6时x＝4，
所以当3＜y＜6时x的取值范围为4＜x＜8．
【知识点】反比例函数的实际应用；平行四边形的面积；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的面积公式可得xy=24，变形可得y关于x的函数表达式；
（2） 令y=3、6，求出相应的x的值，结合反比例函数的性质可得x的范围.
13．【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为y= kx （k＞0），
∵A（m，﹣2）在y=2x上，
∴﹣2=2m，
∴m=﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在y= kx 上，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y= 2x
（2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1
（3）解：四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA= 12+22 = 5 ，
由题意知：CB∥OA且CB= 5 ，
∴CB=OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y= 2x 上，
∴n=1，
∴C（2，1），
OC= 22+12 = 5 ，
∴OC=OA，
∴四边形OABC是菱形
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为y= kx （k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB= 5 ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．
14．【答案】解：设 P=kS ， 把 (2， 7.5) 代入得 k=2×7.5=15 ， ∴P=15S ， (2) 求当 P=4Pa 时，S是多少 m2 ？ 解：当 P=4 Pa 时，有 4=15S ， ∴S=154m2 .
（1）解：设 P=kS ，
把 (2， 7.5) 代入得 k=2×7.5=15 ，
∴P=15S ，
（2）解：当 P=4 Pa 时，有 4=15S ，
∴S=154m2 .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设P=kS，将（2，7.5）代入求解可得k，进而可得P与S之间的函数解析式；
（2）将P=4代入（1）中的关系式中求解就可得到S.
15．【答案】（1）解：根据已知数据可得：xy=36，
∴y与x的函数关系式是： y=36x ；
（2）解：当x=5时， y=365=7.2 ，
则8-7.2=0.8（万元），
答：预计2022年产品成本比2021年降低0.8万元；
（3）解：由题意，得：
x+y=12xy=36 ，
解得 x=6y=6 ，
答：投入技术改进资金为6万元，产品成本为6万元.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可求出y与x之间的函数解析式.
（2）将x=5代入函数解析式，求出y的值，然后可求出结果.
（3）利用已知条件建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
16．【答案】（1）解：设反比例函数关系式为 y=kx .
∵反比例函数的图象过点 (15，8) ，
∴k=120 .
∴y=120x .

（2）解：设正比例函数关系式为 y=kx .
把 x=5 ， y=10 代入上式，得 k=2 .
∴y=2x .
当 y=5 时， x=52 .
把 y=5 代入 y=120x ，得 x=24 .
∴24−52=21.5>21 .
答：此次消毒能有效杀死该病毒.
【知识点】一次函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设反比例函数关系式为y=kx，将（15，8）代入求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）设正比例函数关系式为y=kx，将x=5，y=10代入可得k，据此可得对应的函数解析式，令y=5，求出x的值，令反比例函数解析式中的y=5，求出x，据此求解.