2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与四边形

这是一份2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与四边形，共28页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与四边形
一、综合题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴和x轴的正半轴上的动点，正方形ABCD的顶点C，D在第一象限．
（1）当AB=2，∠OAB=30°时，正方形ABCD的顶点D恰好在反比例函数y=kx（k为常数，x>0）的图象上，求k的值；
（2）保持AB=2不变，移动点A，B，使OA：OB=1：2，求此时点D的坐标，并判断点D是否在（1）中的反比例函数图象上．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）.
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=kx（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.
3．如图，在直角坐标中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，反比例函数y=kx是的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．
（3）若点P在y轴上，且△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，求点P的坐标．
4．四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．
（1）如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线；
（2）如图2，直线y=−33x+433分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝kx（k＜0）上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；
（3）如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为（3，1），AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连接BD，△BCD的面积为3．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于E，F两点，记|m|＝AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．
5．综合与探究
如图1，反比例函数的图象y=−8x经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．
（1）判断点B是否在反比例函数y=−8x的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y=−8x的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
6．如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
7．如图，矩形AOBC中，OB=4，OA=3，F是BC边上一动点，过点F的反比例函数y=kx的图象与边AC相交于点E．
（1）点F运动到边BC的中点时，求反比例函数的表达式；
（2）连接EF，求tan∠EFC的值．
8．如图1，点A（1，0），B（0，m）都在直线y＝﹣2x+b上，四边形ABCD为平行四边形，点D在x轴上，AD=3，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过点C．
（1）求k的值；
（2）将图1的线段CD向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段EF，线段EF和反比例函数y=kx（x>0）的图象交于点M．
①在平移过程中，如图2，若点M为EF的中点，求△ACM的面积；
②在平移过程中，如图3，若AM⊥EF，求n的值．
9．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数y=kx(x＞0)的图象与边AB交于点E(8，m)，AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
10．如图1，已知A(−1，0)，B(0，−2)，平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y=kx(k为常数，k≠0)上经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)图像于点M，交反比例函数y=−32x(x0)的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若CD＝2OD，求四边形OABC的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为(4，0)，(4，m)，直线CD：y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于C，P(−8，−2)两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
13．如图，在正方形ABCD中，B点的坐标为（2，﹣1），经过点A，D的一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y =kx 的图象交于点D（2，a），E（﹣5，﹣2）．
（1）求一次函数及反比例函数的解析式；
（2）判断点C是否在反比例函数y =kx 的图象上，并说明理由；
（3）当mx+n ≤kx 时，请直接写出x的取值范围．
14．如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，CD边所在直线y1=mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2=kx(x0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，
∴设点A的坐标为(m，8 m)，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
连接CE交AD于H，如图所示：
∴CH=EH，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，∠ADB=90°，
∴∠CDO+∠ADC=90°，
∵CB=CD，
∴∠CBO=∠CDO，
在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠CDA，
∴CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，
∴H(m，4m)，
∴E(2m，4m)，
∵2m×4m=8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD=CE，AD垂直平分CE，
∴CH=12AD，
设点A的坐标为(m，8 m)，
∴CH=m，AD=8m，
∴m=12×8m，
∴m=2（负值舍去），
∴A(2，4)，C(0，2)，
把A(2，4)，C(0，2)代入y=kx+b得2k+b=4b=2，
∴k=1b=2；
②延长ED交y轴于P，如图所示：
∵CB=CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，
由①知，A(2，4)，C(0，2)，
∴D(2，0)，E(4，2)，
设直线DE的解析式为y=ax+n，
∴2a+n=04a+n=2，解得a=1n=−2，
∴直线DE的解析式为y=x−2，
当x=0时，y=−2，即(0，−2)，故当|PE−PB|最大时，点P的坐标为(0，−2)．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）设A（m，8m），根据轴对称的性质可得AD⊥CE，AD平分CE，连接CE交AD于点H，则CH=EH，由等腰三角形的性质得∠CBO=∠CDO，根据等角的余角相等推出∠CAD=∠CDA，得到AH=HD，表示出点H、E的坐标，据此判断；
（2）①根据正方形的性质可得AD=CE，AD垂直平分CE，则CH=12AD，设A（m，8m），则CH=m，AD=8m，根据CH=12AD可得m的值，表示出A、C的坐标，代入y=kx+b中可得k、b的值；
②延长ED交y轴于P，则|PE-PD|=|PE-PB|，根据点A、C的坐标可得D、E的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，令x=0，求出y的值，可得点P的坐标.
7．【答案】（1）解：∵F是BC的中点，
∴BF=12BC=12×3=32，
∴点F的坐标为(4，32)，
将点F的坐标为(4，32)代入y=kx得：
∴k=xy=4×32=6，
∴反比例函数的表达式y=6x；
（2）解：∵点F的横坐标为4，代入y=kx，
∴y=k4，
∴BF=k4，
∴CF=BC−BF=3−k4=12−k4，
∵点E的纵坐标为3，代入y=kx，
∴3=kx，即x=k3，
∴AE=k3，
∴CE=AC−AE=4−k3=12−k3，
所以tan∠EFC=CECF=43．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出BF的值，再求出F点的坐标，最后求函数解析式即可；
（2）先求出BF=k4，再利用锐角三角函数计算求解即可。
8．【答案】（1）解：将点A的坐标代入直线表达式得0=﹣2+b，解得b=2．
故直线的表达式为y=﹣2x+2．
将点B的坐标代入上式得m=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAO=∠CDE．
∵∠AOB=∠CED==90°，
∴△ABO≌△DCE（AAS），
∴DE=AO=1，
∴OE=3，CE=OB=2，
则点C的坐标为（3，2）．
将点C的坐标代入反比例函数表达式y=kx，
解得k=6．
（2）解：①连接CE，则CE=DF．
设点F的坐标为（x，0），则点E（x﹣1，2）．
所以，点M的坐标为（2x−12，1）．
由k=6，可得2x−12=6，解得x=132．
所以，点E，F的坐标分别为（112，2），（132，0）．
所以，AF=112，DF=52=CE．
所以，△ACM的面积=S梯形CEFA﹣S△CEM﹣S△AMF
=12（2.5+5.5）×2﹣12×2.5×1﹣12×5.5×1
=4．
②过点M作MT⊥x轴于点T，
∵AB∥EF，AM⊥EF，
∴AB⊥AM．
∵∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠TAM=90°，
∴∠ABO=∠TAM．
∴tan∠ABO=tan∠TAM=12．
设MT=x，则AT=2x，
所以，点M的坐标为（2x+1，x）．
由x（2x+1）=6，解得x=﹣2（舍去）或32．
所以MT=32，AT=3（即点T与D重合）．
可求得FT=34．
所以，n的值为34．
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）作CE⊥x轴于点E，先利用“AAS”证明△ABO≌△DCE，可得OE=3，CE=OB=2，即可得到点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）①连接CE，设点F的坐标为（x，0），则点E（x﹣1，2），点M的坐标为（2x−12，1），再结合k的值，求出x的值，可得点E、F的坐标，再求出AF=112，DF=52=CE，最后利用割补法可得△ACM的面积=S梯形CEFA﹣S△CEM﹣S△AMF，再计算即可；
②过点M作MT⊥x轴于点T，设MT=x，则AT=2x，点M的坐标为（2x+1，x），再列出方程x（2x+1）=6，求出x的值，可得MT=32，AT=3，再求出FT=34，即可得到n的值。
9．【答案】（1）解：①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E(8，1)，
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y=8x；
②当y＝4时，x＝2，
∴F(2，4)，
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
(4﹣x)2+22＝x2，
解得x=52，
∴OG=52；
（2）解：∵点E、F在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4−12×4×2m−12×(8−2m)×(4−m)
=-m2+4m+16＝﹣(m−2)2+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①利用BE=3AE，AB=4，可证得AB=4AE，可求出AE，BE的长，由此可得到点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到此函数解析式；②利用函数解析式求出点F的坐标，可得到CF的长；利用折叠的性质，设OG＝x，可表示出CG，FG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特点，可表示出CF的长，再表示出四边形OAEF的面积与m之间的函数解析式，将其解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及m的取值范围，可求出四边形OAEF的面积的最值.
10．【答案】（1）解：如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴ OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴ △EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，
∵点D在第一象限，且在反比例函数y=kx(k≠0)上，∴D（1，k）．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2（-2+k），解得k=4．
（2）解：如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，根据FM=FN，∴MH=HN即xM−1=1−xN，设点G（0，t），则xM=4t，xN=−32t=−32t，∴4t−1=1−(−32t)=1−(−32t)=1+32t，∴4−32t=2，解得t=54，故点G坐标为（0，54）．
（3）解：∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，4m），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数y=4x上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时点Q（0，6）；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数y=4x上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6（舍去），此时点Q（0，-6）；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m，4m），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，
故点P（-1，-4），即点A向下平移4个单位，
当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），
当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q（0，-6）或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先求出点B平移后的对应点C的坐标，再将点C的坐标代入y=kx求出k的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式，设点G（0，t），根据FM=FN可得4t−1=1−(−32t)=1−(−32t)=1+32t，求出t的值，即可得到点G的坐标；
（3）分情况讨论，利用平行四边形的性质分别画出图象并列出方程求解即可。
11．【答案】（1）解：将点A的坐标（2，4）代入y=kx(x>0)，
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
（2）解：∵k的值为8，
∴函数y=kx的解析式为y=8x，
∵CD＝2OD，OD＝2，
∴CD＝4，
∴OC＝6，
∴点B的横坐标为6，
将x＝6代入y=8x，得y=43，
∴点B的坐标为（6，43），
∴S四边形OABC＝S△AOD＋S梯形ABCD＝12×2×4＋12×(43＋4)×4＝443．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=kx(x>0)求出k的值即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用割补法求出四边形的面积即可。
12．【答案】（1）解：将点 P(−8，−2) 代入 y=kx 中，得 k=−8×(−2)=16 ，
∴ 反比例函数的解析式为 y=16x ，
将点 C(4，m) 代入 y=16x 中，
得 m=164=4
（2）解：∵
因为四边形 ABCD 是菱形， A(4，0) ， C(4，4) ，
∴m=4 ， B(8，12m) ，
∴B(8，2) ，
由（1）知双曲线的解析式为 y=16x ，
∵2×8=16 ，
∴ 点 B 在双曲线上．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数函数关系式，再把点C的坐标代入反比例函数式求出m值，即可解答；
(2)根据菱形的性质，结合A、C两点的坐标，先求出点B的坐标，再代入函数式进行验证，即可进行判断.
13．【答案】（1）解：由E（﹣5，﹣2）可得反比例函数关系式为y =10x ，
∴D（2，5），
∵一次函数y＝mx+n的图象经过D、E，
∴−5k+b=−22k+b=5 ，解得 k=1b=3 ，
∴一次函数函数解析式为y＝x+3，反比例函数的解析式为y =10x ；
（2）解：连接DB，AC交于点F，如图，
∵四边形ABCD是正方形，B（2，﹣1），D（2，5），
∴AC＝BD＝6，DF＝CF＝3，
∴C（5，2），
当x＝5时，y =10x= 2，
∴点C在反比例函数y =10x 的图象上；
（3）解：x≤﹣5或0＜x≤2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）由图象可得，当x≤﹣5或0＜x≤2时，直线在反比例函数下方，
∴x≤﹣5或0＜x≤2时，mx+n ≤kx
【分析】（1）将E（﹣5，﹣2）代入y =kx 中求出k=10，即得y =10x，然后将D（2，a） 代入解析式中求出a=5，即得D（2，5） ，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）连接DB，AC交于点F，由正方形的性质及点B、D的坐标，可得AC＝BD＝6，DF＝CF＝3，即得C（5，2），将其代入 反比例函数解析式中进行检验即可；
（3）由图象可得，当x≤﹣5或0＜x≤2时，直线在反比例函数下方，据此即得结论.
14．【答案】（1）解：∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，
∴AB=32+42=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=5，
∴D(-5，4)，C(-2，0)，
把C、D两点坐标代入直线解析式，可得−5m+n=4−2m+n=0 ，解得m=−43n=−83 ，
∴直线CD的函数表达式为y1=−43x−83，
∵D点在反比例函数的图象上，
∴4=k−5
∴k=-20
（2）解：∵C(-2，0)，
把x=-2代入y2=−20x (x