高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.6 解三角形优秀作业ppt课件

1.6　解三角形

1.6.1　余弦定理

必备知识基础练

1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,∠A=60°,则c=(　　)

A.1 B.2 C.4 D.6

答案C

解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由余弦定理,得cos C=.因为∠C∈(0,π),所以∠C=,sin C=.故选C.

3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案ACD

解析若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,

∴a<,若c为最大边,则a2+b2>c2,

即a2>3,∴a>,故<a<.

4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.由增加的长度确定

答案A

解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,

设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cos θ=.因为m2>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.

5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)

A. B. C. D.3

答案B

解析在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cos A=,

∴∠A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=.故选B.

6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为　　　　　. 

答案

解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cos C==-,且0<∠C<π,

∴∠C=.

7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠B=∠C,2b=a,则cos A=　　　. 

答案

解析由∠B=∠C,得b=c=a.由余弦定理,得cos A=.

8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为　　　;最小角的余弦值为　　　　　. 

答案30　

解析由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为∠C,cos C=.

9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为　　　. 

答案60°或120°

解析由余弦定理,得2accos B·tan B=ac,整理,得sin B=,所以B=60°或120°.

关键能力提升练

10.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是(　　)

A.- B.- C.- D.-

答案C

解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A==-.

11.(2020吉林长春高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若>0,则△ABC(　　)

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.是锐角或直角三角形

答案C

解析由>0得-cos C>0,

所以cos C<0,从而∠C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.

12.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则∠B的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析cos B=,当且仅当a=c时取等号.

∵0<∠B<π,∴∠B∈.

13.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=　　　. 

答案

解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=,

所以sin∠ABD=.

14.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　. 

答案

解析因为sin∠BAC=,且AD⊥AC,

所以sin,

所以cos∠BAD=.

在△BAD中,由余弦定理,得

BD=

=.

15.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.

解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,

所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=<0,解得<a<8.

综上可知实数a的取值范围是(2,8).

学科素养创新练

16.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.

(1)求角C的大小;

(2)求AB的长.

解(1)∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且∠C∈(0,π),∴∠C=.

(2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根,

∴∴AB2=b2+a2-2abcos C=(a+b)2-ab=10,∴AB=.