湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.6 解三角形优秀作业ppt课件

1.6.3　解三角形应用举例

必备知识基础练

1.

如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是(　　)

A.角A,B和边AC

B.角A,B和边BC

C.边BC,AC和角C

D.边BC,AC和角A

答案D

解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.

2.

如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(　　)

A.6(3+)m B.6(3-)m

C.6(3+2)m D.6(3-2)m

答案B

解析由

⇒

⇒AB=AD+BD=CD=12⇒CD=6(3-)m,故选B.

3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析在△ADC中,∠DAC=β-α.

由正弦定理,得,

∴AC=,

∴AB=ACsin β=.

4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是(　　)注:sin 105°=

A.8()n mile/h 

B.8()n mile/h

C.16()n mile/h 

D.16()n mile/h

答案D

解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得,

即,解得AB=8(),故此船的航速为=16()(n mile/h).

5.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 n mile,则x的值为　　　　　. 

答案或2

解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即x2+9-2·x·3cos 30°=()2,

即x2-3x+6=0,解得x=2或x=.

6.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h 的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是　　　h. 

答案

解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°==-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h.

7.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.(参考数据:sin 36°≈0.588,sin 104°≈0.970,sin 54°≈0.809,sin 56°≈0.829)

解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,

∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.

∵OC=3,由正弦定理,得,

则BO=.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得,

则AO=.

在△ABO中,由余弦定理,得AB=≈1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m.

关键能力提升练

8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　)

A. B.-1

C.2- D.

答案B

解析在△ABC中,由正弦定理,得BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1.由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故选B.

9.如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为              (　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案A

解析在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=2,

由正弦定理得,sin∠ADB=,∠BDC=90°-∠ADB,cos∠BDC=sin∠ADB=;

在△BCD中,DC=4,BD=2,

由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=(2)2+(4)2-2×2×4=48,所以BC=4.故选A.

10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.

解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.

由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile.在△ADC中,

∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=.

∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向.

学科素养创新练

11.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.注:sin 15°=

解(方法1)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.

由正弦定理,得AD=.

在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,

由正弦定理,得AB=.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=

=.

即点B,D间的距离为 km.

(方法2)如图,记AD与BC的交点为M.由外角定理,得∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°,

所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,且CB⊥AD.

M为AD的中点,所以BA=BD.

又AB=,

所以BD=.所以点B,D间的距离为 km.