湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数优秀作业ppt课件

第2章三角恒等变换

2.1　两角和与差的三角函数

2.1.1　两角和与差的余弦公式

必备知识基础练

1.(2021黑龙江哈尔滨香坊高一期末)化简cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案C

解析cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°=cos 16°cos 44°-sin 16°sin 44°=cos(16°+44°)=cos 60°=,故选C.

2.计算的值是(　　)

A. B.- C. D.-

答案C

解析

=.

3.已知sin α=,α∈0,,则cos+α等于 (　　)

A. B. C.- D.-

答案B

解析由题意可知cos α=,cos+α=cos2π-+α=cosα-=cos αcos+sin αsin.

4.(2021重庆高一期末)若α∈(0,π),且cos α+=,则cos α等于(　　)

A. B.

C. D.

答案C

解析因为α∈(0,π)且cos α+=,

所以sin α+=.

cos α=cos α+-=.

5.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=　　　　　. 

答案0

解析由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.

6.若cos θ=-,θ∈,则cos=　　　　　. 

答案-

解析∵cos θ=-,θ∈,∴sin θ=-.

∴cos=cos θcos+sin θsin

=-=-.

7.(2021山东威海高一期末)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值.

解由α-β∈,π,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=.

由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-.

∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

=×-+-×=-1.

又α+β∈,2π,α-β∈,π,

∴2β∈.∴2β=π,则β=.

关键能力提升练

8.(2021河南洛阳高一期末)已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.1

答案B

解析因为sin α-sin β=1-,

所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=. ①

又因为cos α-cos β=,

所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=. ②

所以①+②得2cos(α-β)=.

所以cos(α-β)=.故选B.

9.

(2020云南玉溪一中高一检测)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.0

答案A

解析设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9,所以小正方形的边长为,可得cos α-sin α=,              ①

sin β-cos β=, ②

由图可得:cos α=sin β,sin α=cos β,

①×②可得:=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),

解得cos(α-β)=.

10.(多选题)下列满足sin αsin β=-cos αcos β的有 (　　)

A.α=β=90° B.α=-18°,β=72°

C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°

答案BC

解析由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.

11.(多选题)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的值可能是(　　)

A.- B.- C. D.

答案AC

解析对比公式特征知,cos φ=,sin φ=-,故φ=-都合适.

12.(多选题)已知α,β,γ∈0,,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是 (　　)

A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=-

C.β-α= D.β-α=-

答案AC

解析由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1,

∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,

∴A正确,B错误.

∵α,β,γ∈0,,

∴sin γ=sin β-sin α>0,

∴β>α,∴β-α=,∴C正确,D错误.

13.化简:=　　　　　. 

答案

解析原式=

=

=

=.

14.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则sin=　　　　　,cos=. 

答案

解析因为0<α<,所以+α<,

又cos,

所以sin,

因为-<β<0,所以,

又cos,

所以sin.于是cos=cos

=coscos+sin+αsin

=.

15.已知向量a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β),且a·b=2.

(1)求cos(α+β)的值;

(2)若0<α<,0<β<,且sin α=,求2α+β的值.

解(1)因为a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β),

所以a·b=sin α(cos β-sin β)+(cos α-sin α)cos β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β).

因为a·b=2,所以cos(α+β)=2,

即cos(α+β)=.

(2)因为0<α<,sin α=,

所以cos α=.

因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π.

因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,

所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=.

因为0<α<,0<β<,

所以0<2α+β<,所以2α+β=.

学科素养创新练

16.已知函数f(x)=Asinx+(x∈R),且f(0)=1.

(1)求A的值;

(2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos α.

解(1)依题意得f(0)=AsinA=1,故A=.

(2)由(1)得f(x)=sinx+,

由f(α)=-可得f(α)=sinα+=-,则sinα+=-,∵α是第二象限角,

∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),

∴2kπ+<α+<2kπ+(k∈Z),

又∵sinα+=-<0,∴α+是第三象限角,∴cosα+=-=-,∴cos α=cos

=cosα+cos+sinα+sin

=-=-.