新湘教版高中数学必修二《 4.5.1 几种简单几何体的表面积 》课件PPT+作业
展开4.5 几种简单几何体的表面积和体积
4.5.1 几种简单几何体的表面积
必备知识基础练
1.已知球的表面积为16π,则它的内接正方体的表面积S的值是( )
A.4π B.32 C.24 D.12π
答案B
解析设球的内接正方体的棱长为a,球的半径为R,因为4πR2=16π,所以R=2.因为正方体内接于球,所以2R=,所以3a2=16,所以a2=,
所以正方体的表面积S=6a2=32.故选B.
2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π
C.8π D.10π
答案B
解析过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2,r=,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.
3.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图,已知扇形所在圆的半径R=,扇形弧长l=4π,则该圆锥的表面积为( )
A.2π
B.(4+2)π
C.(3+)π
D.8π+
答案B
解析设圆锥底面圆半径为r,则2πr=4π,解得r=2,∴圆锥的表面积S表=S底面圆+S侧=πr2+lR=π×22+×4π×=(4+2)π.
4.(2021甘肃民勤四中高一期末)已知正四棱锥的高为4,侧棱长为3,则该棱锥的侧面积为 .
答案4
解析如图,正四棱锥P-ABCD,PO是高,M是BC中点,则PM是△PBC的高.
由已知PO=4,PC=3,则OC=.∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=2,OM=1,PM=.则该棱锥的侧面积S侧=4××2×=4.
5.正四棱柱的一条体对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有 个.
答案2
解析设底面边长为a,高为h,
由题意得这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.
6.如图所示的空间图形是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞,求挖洞后空间图形的表面积是多少?(π≈3.14)
解因为正方体的棱长为4 cm,而洞深只有1 cm,所以正方体没有被打透,打洞后所得空间图形的表面积等于原来正方体的表面积,再加上圆柱的侧面积,这个圆柱的高为1 cm,底面圆的半径为1 cm.
正方体的表面积为4×4×6=96(cm2),
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2),
则挖洞后空间图形的表面积约为96+6.28=102.28(cm2).
关键能力提升练
7.(2021甘肃白银高三模拟)木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示),呈正棱台形,一般由四块梯形木和一块正方形木组成,其上口是一个正方形,下面是一个封口较小的正方形.现有一木升子(厚度忽略不计),其上口周长为52 cm,下口周长为40 cm,侧面等腰梯形腰长为8 cm,则该木升子的侧面积约为( )(结果精确到0.1 cm2,参考数据:≈15.72)
A.90.4 cm2 B.180.8 cm2
C.361.6 cm2 D.368.0 cm2
答案C
解析由题意可得该木升子上口边长为13 cm,下口边长为10 cm,故侧面等腰梯形的高h=(cm),所以该木升子的侧面积为S=4×≈361.6(cm2).故选C.
8.(2021甘肃天水一中高三模拟)如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底面半径为1,母线长为3,则该几何体的表面积为( )
A.18π
B.20π
C.π
D.26π
答案A
解析由题意得球的半径R=2,圆柱的底面半径r=1,母线l=3,则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrl=8π+4π+2π×1×3=18π.故选A.
9.一块边长为10 cm的正方形铁片如图所示,将它的阴影部分截下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,则这个正四棱锥的外接球的表面积为( )
A.π B.π C.π D.π
答案A
解析由题设知底面ABCD的外接圆半径为r=3,且EO=4.设正四棱锥外接球的半径为R,外接球的球心必在射线EO上,
所以(R-EO)2+r2=R2,解得R=.所以正四棱锥的外接球的表面积为4πR2=.故选A.
10.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R,AB=AC=3,∠BAC=120°,则球O的表面积为( )
A.48π B.16π C.64π D.36π
答案A
解析∵在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°,∴平面ABC截球所得圆的半径(即△ABC的外接圆半径)为r=3.又球心到平面ABC的距离d=R,∴R2=9+R2,解得R2=12.
故球O的表面积S=4πR2=48π.故选A.
11.(多选题)已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径都与一个球的直径2R相等,圆柱的母线长为2R,圆锥顶点到底面的距离为2R,则下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆锥的表面积最小
答案CD
解析圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,故A错误;
圆锥的侧面积为S=πR·πR2,故B错误;
由于圆柱的侧面积为S=4πR2,球面面积为S=4πR2,则圆柱的侧面积与球的表面积相等,故C正确;
由于圆柱的表面积为S1=4πR2+2πR2=6πR2,圆锥的表面积为S2=πR2+πR2=(+1)πR2,球的表面积为S3=4πR2,则圆锥的表面积最小,故D正确.故选CD.
12.已知母线长为4的圆锥的侧面展开图为半圆.
(1)求圆锥的底面积;
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的母线长.
解(1)设OB=R,由题意可得2πR=4π,
所以R=2,
故圆锥的底面积为S=πR2=12π.
(2)设圆柱的母线D1D=OO1=l,OD=r,在Rt△AOB中,AO==6.
因为△AO1D1∽△AOB,所以,即,l=6-r.S圆柱侧面积=2πrl=2πr(6-r)=-2π(r2-2r)
=-2+6π,
所以当r=时,圆柱的侧面积最大,此时圆柱的母线长为3.
学科素养创新练
13.已知一正四棱锥的高的2倍的平方等于它的侧面积,则该正四棱锥高的平方与底面棱长的平方的比值为( )
A. B.
C. D.
答案B
解析设该正四棱锥的底面棱长为2a,高为h,如图所示,
设H为BC的中点,O为底面的中心,连接SO,OH,SH,AC,
在正四棱锥S-ABCD中,SO⊥平面ABCD,OH⊂平面ABCD,所以SO⊥OH.因为O,H分别为AC,BC的中点,所以OH=AB=a.则由题意可得SH=.
因为正四棱锥S-ABCD的高的2倍的平方等于它的侧面积,即4××2a×=4h2,所以整理可得h4-a2h2-a4=0,即4-2-1=0,解得,所以.故选B.
