新湘教版高中数学必修二《 4.5.2 几种简单几何体的体积 》课件PPT+作业

4.5.2　几种简单几何体的体积

必备知识基础练

1.(2021甘肃兰州高一期末)用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为 (　　)

A. B. C.8π D.

答案D

解析截面半径r=1,所以球的半径R=,所以球的体积V=πR3=.故选D.

2.将圆锥的高缩短到原来的,底面半径扩大到原来的2倍,则圆锥的体积(　　)

A.缩小到原来的一半 B.缩小到原来的

C.不变 D.扩大到原来的2倍

答案D

解析设圆锥原来的高和底面半径分别为h和r,圆锥原来体积为V1,变化后为V2,∴V1=πr2h,

∴V2=π·(2r)2πr2h=2V1,即圆锥的体积扩大到原来的2倍.故选D.

3.

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中《商功》有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及为粟几何?”意思是:“有粟若干,堆积在平地上,底面圆周长为12丈,高为2丈,问它的体积和粟各为多少?”如图,主人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为3,一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1 000钱,则主人卖后可得银子              (　　)

A.800两 B.1 600两

C.2 400两 D.3 200两

答案A

解析底面半径为r==2(丈),V=×3×22×2=8(立方丈)=8×106(立方寸)=(斛),故×270÷1 000=800(两).

4.(2021甘肃天水一中高一期末)一个长方体从一个顶点出发的三条棱长分别是,这个长方体的八个顶点都在同一个球面上,这个球的体积是　　　　　. 

答案4π

解析设球的半径为R,所以(2R)2=()2+()2+()2,解得R=,则球的体积V球=·π·()3=4π.

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心.若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为　　　　　. 

答案

解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心,棱长为a,

易得对角线AC⊥平面BDD1B1,故三棱锥O-AB1D1的体积为·AO=B1D1·BB1·AO=.

6.如图,一个四棱柱形容器中盛有水,在底面ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,侧棱AA1=4.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过边AD,BC,B1C1,A1D1的中点,则当底面ABCD水平放置时,水面高为　　　　. 

答案

解析设四棱柱的底面梯形的高为2a,AD,BC的中点分别为F,E,所求的水面高为h,则水的体积V水=S四边形ABEF·AA1=·4=S四边形ABCD·h=·h,解得h=.

7.(2021甘肃民勤四中高一期末)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥.

(1)求剩余部分的体积;

(2)求三棱锥A-A1BD的高.

解(1)由题意,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则正方体的体积为V正方体=a3.根据三棱锥的体积公式,可得三棱锥A1-ABD的体积·S△ABD·AA1=a3.故剩余部分的体积V=V正方体-=a3-a3=a3.

(2)由(1)知三棱锥A-A1BD的体积a3.

设三棱锥A-A1BD的高为h,则·h=×(a)2×h=a2h,故a2h=a3,解得h=a.

关键能力提升练

8.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,若E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积为(　　)

A.10 

B.20 

C.30 

D.40

答案A

解析V三棱锥E-BCD=×120=10.故选A.

9.长、宽、高分别为8 cm,6 cm,10 cm的长方体水槽置于水平桌面上,该水槽内装有高度为8 cm的水,若将一半径为3 cm的球放入该水槽中(假设球与水槽的底面相切),则水槽内溢出的水的体积约为(　　)(π≈3)

A.16cm3 B.12cm3

C.10 cm3 D.2 cm3

答案B

解析该长方体的体积为6×8×10=480(cm3),放入的球的体积约为×3×27=108(cm3),原先长方体内水的体积为6×8×8=384(cm3),放入球后长方体内剩余的水量为480-108=372(cm3),所以溢出的水量为384-372=12(cm3).故选B.

10.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)

A.3π B. C.π D.1

答案B

解析如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.

11.如图是我国古代米斗,若将某个米斗近似看作一个四棱台,上、下两个底面都是正方形,侧棱均相等,下底面边长为25 cm,上底面边长为15 cm,侧棱长为10 cm,则该米斗的容积约为(　　)

A.2 400 cm3 B.2 600 cm3

C.2 900 cm3 D.3 100 cm3

答案C

解析如图,设下底面、上底面的中心分别为O1,O,过点C作CH⊥O1C1,垂足为H.由题意易知O1C1=,OC=,故C1H=5,故CH==5.故该四棱台的体积V=(252+152+25×15)×5≈2 887.故选C.

12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面AB1C1,AA1=1,底面△ABC是边长为2的等边三角形,则此三棱柱的体积为　　　　　. 

答案

解析如图,连接B1C,

则.

∵,

∴=3=3.

∵AA1⊥平面AB1C1,AA1=1,底面三角形ABC是边长为2的等边三角形,

∴=3××2××1=.

13.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为　　　　　 cm. 

答案29

解析设半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱的高分别为h1 cm和h2 cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.

14.

如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为 2 cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?

(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100 g,那么共需胶多少g?

解(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm,所以两个半球的体积之和为

V球=πR3=π·27=36π(cm3).

又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).

所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).

(2)根据题意,上下两个半球的表面积是

S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),

又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为

S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),

所以1个“浮球”的表面积为S=(m2).

因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为

2 500S=2 500×=12π(m2).

因为每平方米需要涂胶100 g,

所以共需要胶的质量为100×12π=1 200π(g).

学科素养创新练

15.在三棱台ABC-A1B1C1中,三棱锥A-A1B1C1的体积为4,三棱锥A1-ABC的体积为8,则该三棱台的体积为(　　)

A.12+3 B.12+4

C.12+4 D.12+4

答案B

解析设S△ABC=S1,=S2,棱台高为h.由已知S2h=4,得S2=;

由S1h=8,得S1=.

三棱台ABC-A1B1C1的体积为

V=h(S1+S2+)=h=12+4.故选B.

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,PA=,AB=2,则四棱锥P-ABCD内切球的体积为(　　)

A. B. 

C. D.

答案B

解析连接OA.由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形,侧棱长都为,

∴S正方形ABCD=2×2=4,S△PAD=S△PCD=S△PBC=S△PAB=×2×2=2.

∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥AO.

∴AO=.

∴PO=.

设四棱锥的内切球的半径为R,球心为O',

由V四棱锥P-ABCD=V四棱锥O'-ABCD+V三棱锥O'-PAD+V三棱锥O'-PAB+V三棱锥O'-PBC+V三棱锥O'-PCD,

得S正方形ABCD·PO=S正方形ABCD·R+S△PAD·R+S△PAB·R+S△PBC·R+S△PCD·R,

即4×=4R+4×2R=12R,解得R=.

故四棱锥P-ABCD内切球的体积为

V=πR3=π×3=π.