中考数学二轮复习压轴题培优专题18 创新型与新定义综合问题（教师版）

这是一份中考数学二轮复习压轴题培优专题18 创新型与新定义综合问题（教师版），共84页。

专题18创新型与新定义综合问题


【考点1】几何综合探究类阅读理解问题
【例1】综合与实践：
阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
如图1，作，使，，延长至点，使，连接.
设，则，..

请解决下列问题：
（1）类比求解：求出的值；
（2）问题解决：如图2，某住宅楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，住宅在建筑物的墙上留下高的影子；而当光线与地面的夹角是时，住宅楼顶在地面上的影子与墙角有的距离（，，在一条直线上）.求住宅楼的高度（结果保留根号）；
（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在中，，，；在中，，，.他将的斜边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动.在移动过程中，，两点始终在边上（移动开始时点与点重合）.探究在移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，直接写出的长度；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）住宅楼的高为.（3）存在某个位置，使得，的长为.
【分析】
（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；
（2）在中，设为得出，在中，根据列出关于x的方程求解即可；
（3）因为在中，，，，所以；假设在移动过程中，存在某个位置使得，因为，所以CF=FE=，所以的长为.
【详解】
（1）如图，延长至点，使，连接.

在中，，，设，则.
∴，
∴
.
（2）如图，过点作，垂足为.

在中，，设为.
∴.
∴.
∵在中，，
∴，.
∵，
∴.
∴
.
答：住宅楼的高为.
（3）存在某个位置，使得，理由如下：
当时，∵，
∴∠ECF=∠CEF，
∴CF=EF，
∵，，，
∴，∴.
【点睛】
本题考查了学生综合运用数学知识的能力，解题的方法不唯一，可让学生采用不同的方法求解，培养学生的思维能力.
【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE=．
【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1，
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=．
【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式1-2】综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点.我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．

性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线．

证明：连接．
由作图可知，，
又．

，∴是半圆的切线．
问题解决：
（1）如图3，在图2的基础上，连接.请判断和的数量关系，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，请直接写出线段之间的数量关系；
（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；

（4）如图5，已知点为正方形的四个“奇妙点”．连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．

【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），理由见解析；（4）答案不唯一，如：的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等．
【分析】
（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出，再由边边边定理可证得，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；
（2）由（1）可知、，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；
（3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；
（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得
，即可提出猜想．
【详解】
解：（1）结论：
理由如下：
∵
∴，，
∴
∵
∴
在和中
∵，
∴
∴
∵
∴；
（2）∵由（1）可知，、
∴，
∵
∴
∴线段、、之间的数量关系是；
（3）结论：
理由：连接、，如图：

由（1）可知，
∵
∴
∵点为的中点
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∴；
（4）延长交于点，连接、，如图：

∵由前面的结论可知
∴
∵此图为赵爽弦图即
∴
同理可得、、
∵四边形是正方形
∴
∴
∴在和中，
∴
∴
∴
∴
∴答案不唯一，例如，的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等等．
【点睛】
本题属于新定义问题，涉及到的知识点有全等三角形的判定和性质、正方形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、邻补角的性质、对顶角的性质、线段的和差等知识点，考查了创新能力和知识的迁移能力，有一定的难度．
【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题
【例2】阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，an，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，期中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（______）d
（3）求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由．
【答案】（1）5，25；（2）n﹣1；（3）第2018项，理由见解析．
【分析】
（1）根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值；
（2）根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；
（3）根据题意和题目中的数据，利用（2）中的结论，可以得到等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的公差和通项公式，从而可以求得﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项.
【详解】
解：（1）由题意可得，
d＝15﹣10＝5，
第5项是：15+5+5＝25，
故答案为：5，25；
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以a2＝a1+d，
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d，
故答案为：n﹣1；
（3）﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项，
理由：等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…，
∴d＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2，
∴an＝﹣5+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n﹣3，
令﹣2n﹣3＝﹣4039，
解得，n＝2018，
即﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项.
【点睛】
此题考查数的计算规律，解题的关键是读懂题意，理解等差数列及等差数列公差的定义，由此正确计算各等差数列中的公差，得到数据的计算规律由此解决问题.
【变式2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+=45，则x=__________；
②若–=26，则y=__________；
③若+=，则t=__________；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．
【解析】（1）①∵=10m+n，
∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，
∴x=2，
故答案为：2．
②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，
解得y=4，
故答案为：4．
③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得
若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，
∴100t=700，
∴t=7，
故答案为：7．
（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），
∴则+一定能被11整除，
∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），
∴–一定能被9整除．
∵•–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）
∴•–mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，
972–279=693，
963–369=594，
954–459=495，
954–459=495，…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，
∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a–c≤9，
∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，
故都可以得到该黑洞数495．
【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
【变式2-2】阅读下列材料：小明为了计算的值 ，采用以下方法：
设 ①
则 ②
②-①得
∴
（1）= ;
（2） = ;
（3）求的和（ ，是正整数，请写出计算过程 ）.
【答案】（1）; （2） ; （3）n+1或 .
【解析】
【分析】
（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311   ，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
【详解】
（1）设S=1+2+22+…+29①
则2S=2+22+…+210   ②
②-①得2S-S=S=210-1
∴S=1+2+22+…+29=210-1；
故答案为210-1
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S=32+33+34+35+…+311   ②，
②-①得2S=311-1，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=；
故答案为；
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+..+an=.
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
【考点3】函数类新定义综合型问题
【例3】已知函数与函数定义新函数
（1）若则新函数 ；
（2）若新函数的解析式为则 ， ；
（3）设新函数顶点为．
①当为何值时，有最大值，并求出最大值；
②求与的函数解析式；
（4）请你探究：函数与新函数分别经过定点，函数的顶点为，新函数上存在一点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）①当时，；②；（4）或或
【分析】
（1）将k=2代入函数，然后用得到新函数；
（2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；
（3）①先用k表示新函数的定点，得出m、n和k的关系式，再利用配方法求得n最大时k的值；
②已求得m、n关于k的关系式，将代入n中，化简可得m、n的关系式；
（4）先求出定点A、B、C，如下图，存在3处D可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D的坐标，进而得出k的值．
【详解】
（1）当k=2时


（2）
∵新函数的解析式为：
∴b=，－2=(3－k)
解得：k=5，b=－12
（3）①新函数项点为.
.


当时，
新函数的顶点的绿坐标有最大值，最大值为
②
将代入得:

（4）∵点A是的定点坐标
，当x=时，y=0
∴A(，0)
∵点B是新函数上的定点

当x=时，y=
∴点B(，)
∵点C是的定点

∴C(1，2)
∵四边形ABCD是平行四边形，存在如下图3种情况：

根据平行四边形的性质，易知：
图1中，点D(1，)
图2中，点D(1，)
图3中，点D(-2，)
当点D(1，)时，代入新函数
解得：k=
同理可得或
∴或或
【点睛】
本题考查二次函数的综合，难点在第（4）问，解题关键是先确定定点A、B和顶点C的坐标，根据平行四边形的性质得出点D的坐标．
【变式3-1】特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_________；
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
形成概念
（2）把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在（2）中，如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，…，，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，，，…，，其横坐标分别为：，，，…，（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，，，…，，连接，，判断，是否平行？并说明理由.

【答案】（1）①②③
（2）①，．
②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为．
③不平行，直线的斜率（比例系数）为，与n取值有关(若两直线平行，则斜率会相等).
【解析】（1）①当x=0,，所以正确；
②的对称轴分别是直线，，，所以正确；
③与交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．
（2）①，所以顶点，
令顶点横坐标，纵坐标，，
即：顶点满足关系式.
②相邻两点之间的距离相等．
理由：根据题意得；，，
∴CnCn–1两点之间的铅直高度=．
CnCn–1两点之间的水平距离=．
∴由勾股定理得CnCn–12=k2+1，
∴CnCn–1=.
③与不平行．
理由：
根据题意得：，，
，．
过Cn，Cn–1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，

所以D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）.
在Rt△DAnCn中，
tan∠DAnCn=，
在Rt△EAn–1Cn–1中，
tan∠EAn–1Cn–1=，
∵≠，
∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1，
∴与不平行．
【变式3-1】（2019•山东威海）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n>1）．
小红通过观察反比例函数y=的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG=2CF，CF>DF，
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n>1，则__________．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．

【解析】（1）∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=，BG=，DF=，
∴+>．故答案为：+>．
（2）方法一：∵+﹣==，
∵n>1，∴n（n﹣1）（n+1）>0，
∴+﹣>0，∴+>．
方法二：∵=>1，∴+>．
【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3-2】定义一种新运算：a⊕b＝
（1）请写出函数y＝x⊕1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）观察（1）中图象，探究得到y的最小值是 ．

【答案】（1）y＝，图象见解析； （2）0．
【解析】
【分析】
（1）根据新运算可得到y= ，分别讨论x＜0和0≤x≤1时，去绝对值符号，即可得到函数y=x⊕1的解析式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，即可得到答案，
（2）观察（1）中图象，即可得到当x=0时，y有最小值，即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意得：
y＝，
当x＜0时，|x|＝﹣x，
当0≤x≤1时，|x|＝x，
即y＝，
该函数图象如下图所示：

（2）由图象可知：当x＝0时，y有最小值0．
故答案为：（1），图象见解析；（2）0．
【点睛】
本题考查函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是正确观察函数图象．
【考点4】变换操作类阅读型问题
【例4】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1） 概念理解：
如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．
（2） 问题探究：
如图2，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结、．小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？
（3） 应用拓展：
如图3，“等邻边四边形”中，，，、为对角线，．试探究、、的数量关系．

【答案】（1）DA=AB（答案不唯一）；（2）应平移2或或或的距离；（3）BC2+CD2=2BD2．
【解析】
试题分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；

（III）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，

∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，==1，
∴△ACF∽△ABD，
∴==，∴BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．
【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ；
(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；
(3)如图2，将DABC（ BC > AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转60°，得到DDBE ，连接 AD 、DC ，四边形 ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求ÐDCB 的度数.
【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）∠DCB=30°.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形与正方形的性质可得答案；
（2）利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；
（3）连接CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB的度数.
【详解】
解：（1）矩形；正方形（答案不唯一）；
（2） ，
则C点坐标如图为：（3,4），（4,3）；

（3）连接CE，
由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，则BC=BE，AC=BD，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵四边形ABCD为勾股四边形，其中DC、BC为勾股边，
∴，
∴ ，
∴∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠DCE﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.

【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.
【变式4-2】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）
③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，==．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．

【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
（2）如图1中，连接BD，B1D1．

∵∠BCD=∠B1C1D1，且=，
∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，
∵==，∴=，
∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，
∴=，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，
∴===，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2中，

∵四边形ABCD与四边形EFCD相似，∴=，
∵EF=OE+OF，∴=，
∵EF∥AB∥CD，∴=，，
∴+=+，∴=，
∵AD=DE+AE，∴=，
∴2AE=DE+AE，∴AE=DE，
∴=1．
【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

1．阅读理解：已知两点，则线段的中点的坐标公式为：，．如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有满足等式：．设，则满足的等式是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式求得点的坐标，然后代入满足的等式进行求解即可.
【详解】
∵点，点，点为弦的中点，
∴，，
∴，
又满足等式：，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．
2．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据绝对值的定义当x≥1时方程为x2-x+1-1=0，求出方程的解；当x＜1时方程为x2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案．
【详解】
当x≥1时，方程为x2-x+1-1=0，
∴x1=0（舍去），x2=1；
当x＜1时，方程为x2+x-1-1=0，
∴x1=-2，x2=1（舍去），
∴方程的解是x1=-2，x2=1．
故选：B．
【点睛】
此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．
3．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B． C． D．方程组的解为
【答案】C
【解析】
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【详解】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
4．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【分析】
根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】
解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65．
故答案为：65．
【点睛】
本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
5．观察下列各式：
，
，
，

请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【分析】
根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】



，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．

【答案】20110
【分析】
根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【详解】
由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，
∴．
故答案为20110．
【点睛】
本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
7．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵（）2≥0，∴a-2，∴a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立．
结论：在a+b（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b，
当且仅当a=b时，a+b有最小值．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x= 时，4x+有最小值为 ．
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=取到最大值，最大值为多少？

【答案】（1），12；（2）最小值为12，四边形ABCD是菱形；（3）．
【解析】
试题分析：（1）直接利用a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立；求解即可求得答案；
（2）首先设P（x，），则C（x，0），D（0，），可得S四边形ABCD=AC•BD=（x+2）（+3），然后利用a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立求解即可求得答案；
（3）首先将原式变形为y==，继而求得答案．
试题解析：（1）∵4x+≥2×=12，当且仅当4x=时，等号成立，
∵x＞0，
∴x=，
∴若x＞0，只有当x=时，4x+有最小值为12；
（2）设P（x，），则C（x，0），D（0，），
∴BD=+3，AC=x+2，
∴S四边形ABCD=AC•BD=（x+2）（+3）=6+x+≥6+2=12，
当且仅当x=，即x=2时，四边形ABCD面积的最小值为12，
∴OB=OD=3，OA=OC=2，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）∵x＞0，
∴y==≤，
当且仅当x=，即x=4时，函数y=取到最大值，最大值为：．
考点：反比例函数综合题．
8．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.
（1）二次项系数；
（2）常数项验算：“交叉相乘之和”；


（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： ．
【答案】（x+3）（3x﹣4）．
【解析】
试题分析：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
考点：因式分解﹣十字相乘法．
9．阅读理解题．
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．
如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形”．
问题：
（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中是“美妙四边形”的有 个；
（2）四边形ABCD是“美妙四边形”，AB=∠BAD=60°，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．（画出图形并写出解答过程）

【答案】（1）2 ；（2）或．
【分析】
（1）由四边形的性质可知：菱形和正方形的每条对角线平分一组对角结合“美妙四边形”的定义即可确定；
（2）分AC或BD是美妙线两种情况，先证明△ABC≌△ADC，则S四边形ABCD=2S△ABC,最后代入即可．
【详解】
解：（1）∵菱形和正方形的每一条对角线平分一组对角，
∴菱形和正方形是“美妙四边形”.
故答案为2；
(2) ① 当AC为“美妙线”时，如图：

易得，即
②若BD为“美妙线”，如图：作DE⊥AB于点E
设AE=x，则DE=x，BE=x
∴
∴
∴，即


综上，四边形的面积为或．
【点睛】
本题考查四边形综合题，主要考查了菱形、正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及新定义：“美妙四边形”“美妙线”等知识；运用分类讨论思想解决数学问题是解答本题的关键．
10．（阅读）如图1，若，且点在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形．
（理解）（1）如图2，和是等边三角形，点在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形．
（应用）（2）如图3，与是旋转相似三角形，．求证：．
（拓展）（3）如图4，是四边形的对角线，，，，，．试在边上确定一点，使得四边形是矩形，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据和是等边三角形，可得，，即有，利用点在同一直线，可判断和是旋转相似三角形；
（2）根据与是旋转相似三角形，得，即有，，，易证，得，，有，根据，得，．利用，易证，可得；
（3）过点作，垂足为，连接，易得，即有，，可证，可求得，．设，则，，可得方程，解得，则有，根据，，利用勾股定理可得是直角三角形，，可证四边形是矩形．
【详解】
（1）证明：和是等边三角形，
∴，，，
∴， ，
∴，
又∵点在同一直线，
∴和是旋转相似三角形．
（2）证明：∵与是旋转相似三角形，
∴
∴， ，，
∴，
∴，
∴，，
∴ ．
∵，
∴，
∴ ．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作，垂足为，连接．

∵，，
∴
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，则，，
在中，，
解得，
∴．
又，，
∴是直角三角形，．
又，
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等的判定与性质，矩形的判定，勾股定理的应用，解方程等知识点，熟悉相关性质是解题得关键
11．（阅读理解）
对于任意正实数、，∵，
∴
∴，只有当时，等号成立．

（数学认识）
在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．
（解决问题）
（1）若时，当_____________时，有最小值为_____________；
（2）如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，轴，过点作轴于点，过点作轴于点．求四边形周长的最小值．
【答案】（1）1,2；（2）8.
【解析】
【分析】
(1)根据题意，利用完全平方式即可求解；
(2)根据反比例函数的解析式，设出A和B的坐标，然后表示出周长，再根据上面的知识求解即可；
【详解】
解：（1）1，2．
（2）解：设，则，
∴四边形周长
．
∴四边形周长的最小值为8．
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用，理解在 (a, b均为正实数)中，若ab为定值k，则只有当a=b时，a+b有最小值是关键.
12．（阅读）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．
（理解）
若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；
（尝试）
（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）θ =30°；（2）当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．
【分析】
（1）先根据ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，由折叠可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD为等边三角形，∠COD=60°，根据等边三角形三线合一的性质可得出结论；（2）根据点E四边形0ABC的边AB上可知AB⊥直线l，根据由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45°，AB⊥直线l，得出△ADE为等腰直角三角形，故可得出OA的长，由此可得出结论．
【详解】
（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F．
在△BCD与△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，
∴OD=CF=CD．
又由折叠可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°，
∴θ=∠COD=30°；
（2）∵点E四边形OABC的边AB上，
∴AB⊥直线l
由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．
∵θ=45°，AB⊥直线l，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5；
由图可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．

【点睛】
本题考查的是几何变换综合题，熟知全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识是解答此题的关键．
13．（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点是等边三角形内一点，，，.求的度数.
为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为________，综上可得的度数为_______；

（2）类比迁移
如图，点是等腰内的一点，，，，.求的度数；

（3）拓展应用
如图，在四边形中，，，，，请直接写出的长.

【答案】（1）2, 30°，90°；（2）90°；（3）2.
【解析】
【分析】
（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是等腰直角三角形，所以∠APC=90°；
（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．
【详解】
（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．

由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，
在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；
∴△AP′P是直角三角形；
∴∠P′AP=90°．
∵PA=PC，
∴∠AP′P=30°；
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．

由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；
∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，
在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=4=AP2；
∴△AP′P是等腰直角三角形；
∴∠AP′P=90°．
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
（3）如图3，

∵AB=AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=2AB，
∴DG=2BC=10，
过A作AE⊥BC于E，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
∴∠GDC=90°，
∴CG=，
∴BD=CG=2．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，
14．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为______；
证明：
（2）如图1，是的直径，点在上，，相交于点D．
求证：四边形是对余四边形；

探究：
（3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
【答案】（1）90°或270°；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，两种情况求解；
（2）连接BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圆周角定理证明∠C+∠A=90°即可；
（3）作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，先证明GF是圆O的直径，得到，再证明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF，可得，，从而得出，根据△ABC为等边三角形可得AB=AC=BC，从而得到.
【详解】
解：（1）∵四边形是对余四边形，
当∠A和∠C互余时，
∠A+∠C=90°，
当∠B与∠D互余时，
∠B+∠D=90°，
则∠A+∠C=360°-90°=270°，
故答案为：90°或270°；
（2）如图，连接BO，
可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A，
而∠BON+∠BOM=180°，
∴2∠C+2∠A=180°，
∴∠C+∠A=90°，
∴四边形是对余四边形；

（3）∵四边形ABCD为对于四边形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=30°，
如图，作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，
则∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°，
∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°，
∴GF是圆O的直径，
∵AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF，
∴△ABC∽△FEC，得：，则，
同理，△ACD∽△GCE，得：，则，
△BCD∽△GCF，得：，
可得：，
而，
∴，
∴，
∴，
∵AB=BC=AC，
∴.

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.
15．阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．

简单应用：
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；
（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′= °；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有 个（包含四边形ABCD）．
拓展提升：
（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．
【答案】（1）正方形；（2）80；（3）5；（4）45°．
【解析】
试题分析：（1）结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义可以得出结论；
（2）先证∠AEB′=∠BCB′，再算出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出结果；
（3）由折叠的性质得出BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”，由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90°，CD′=CB′，由菱形的性质得出AE=AF，CE=CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，证出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得到，由圆周角定理即可得到∠AB′E的度数．
试题解析：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；
②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”；
③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；
④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”；
∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为80；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；
根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD′E=∠OB′F，∠EOD′=∠FOB′，D′E=B′F，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；
∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为5；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠A+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴，∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．

考点：1．四边形综合题；2．新定义；3．阅读型；4．探究型；5．压轴题．
16．阅读理解：如图，在四边形的边上任取一点（点不与、重合），分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”．解决问题：
如图，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形的边上的强相似点；
如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系．

【答案】点是四边形的边上的相似点；; 见解析； ．
【解析】
【分析】
（1）根据∠ADF=∠BEC和∠A=∠B，求出△ADE∽△BEC，得出点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；
（2）因为△ADE是直角三角形，所以△ECD是直角三角形，所以点E为以CD为直径的圆与边AB的交点；
（3）因为点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，得出三个三角形相似，根据相似三角线对应线段成比例，判断BE和AB的关系，通过相似三角形和全等三角形得出∠BCE= ∠BCD=30°，利用特殊角的三角函数得到BE和BC的关系，从而得到AB与BC的关系．
【详解】
∵
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴点是四边形的边上的相似点；
;
如图中所示的点和点为上的强相似点；;
∵点是四边形的边上的一个强相似点，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查相似三角形的应用和全等三角形的应用，掌握知识点是解题的关键．
17．（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解
【分析】
（1）根据旋转的性质可证明，，在中根据三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵
∴
∴
在中根据三角形三边关系可得出：
，即
∴
故答案为：；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，

同（1）可得出，
∵
∴
在中，
∴；
（3），理由如下：
延长AB至N，使BN=DF，连接CN，

∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴（SAS）
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
18．阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形. 如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料，完成下列问题：
（1） 下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
（2）在四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，请直接写出∠BCD的度数.
【答案】（1）C.(2) 135°，90°或45°
【解析】
试题分析：(1)根据和谐四边形的定义可知：菱形是和谐四边形；
（2）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
试题解析：∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图1，当AD=AC时，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图2，当AD=CD时，

∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°；
如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
综上：∠BCD的度数可能是：135°，90°或45°
考点：等腰三角形的性质．
19．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
概念理解：
如图，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件，你添加的条件是________．
问题探究：
如图，在“等邻边四边形”中，，，，求对角线的长．
拓展应用：
如图，“等邻边四边形”中，，，，为对角线，试探究，，的数量关系．

【答案】（1）．（2）；（3）
【分析】
（1）根据定义可知：只需要一组邻边相等即可．
（2）由AB=AD，∠BAD=60°，可知△ABD是等边三角形，再由∠ABC=∠ADC=90°，可知CB=CD，所以AC垂直平分BD，然后利用直角三角形的相关性质分别计算出AO和OC的长度．
（3）由于∠BAD+∠BCD=90°，所以考虑构造直角三角形使得该直角三角形的三边长度分别是AC、BC、CD的长度，然后利用勾股定理即可得出AC2=BC2+CD2
【详解】
（1）根据定义：AB=BC．
（2）连接AC、BD交于点O，如图，

∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∴，
∴，
在Rt△BOC中，
，
∴OC=，
∴AC=AO+OC=4；
（3）过点C作CE⊥BC于点C，且使得CE=CD，

∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，∠EDC=60°，
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC=BE，
∵∠BCE=90°，
∴BE2=BC2+CE2，
即AC2=BC2+CD2
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查新定义等邻边四边形，理解这个新定义，主要利用到构造直角三角形，然后利用等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质即可得出结论．新定义的理解是解本题的关键．
20．阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：

（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形　 　．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是　 　 命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
【答案】（1） C ；（2）假；（3）∠ABC的度数为60°或90°或150°.
【分析】
（1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形；
（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，举出反例即可；
（3）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质，即可求出∠ABC的度数．
【详解】
（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．
故选C.
（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，如图所示：

∠C=45°，直角梯形ABCD是和谐四边形，但不是轴对称图形，
故答案为：假；
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在等腰Rt△ABD中，AB=AD，
∴AB=AD=BC，
①如图1，当AD=AC时，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°；
②如图2，当DA=DC时，

∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°； 
③如图3，当CA=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=ED，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠BAC=∠BCF=15°，
∴∠ABC=150°．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及菱形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
21．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？

分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点处，即，据以上操作，易证明≌，所以，又因为>∠B，所以∠C>∠B．
感悟与应用：
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，
① 求证：∠B+∠D=180°；
② 求AB的长．

【答案】（1）BC-AC=AD；（2）①见解析；②14；
【解析】
【分析】
（1）在CB上截取CE=CA，连接DE．可证△ACD≌△ECD，得到DE=AD，∠A=∠CED=60°，进一步得到∠CED=2∠CBA，由外角的性质得到∠CBA=∠BDE，由等角对等边得到DE=BE，即可得到结论．
（2）①在AB上截取AE=AD，连接EC．易证△CDA≌△CEA，从而得到∠CEA=∠D，CE=CD．由等量代换得到BC=CE，由等边对等角得到∠B=∠CEB．再由邻补角的性质即可得到结论；
②过C作CF⊥AB于F．设FB=x，CF=h．由等腰三角形三线合一得到FE=BF=x．在Rt△BFC和Rt△FCA中，分别利用勾股定理列方程，求解即可．
【详解】
（1）BC-AC=AD．理由如下：
如图，在CB上截取CE=CA，连接DE．
∵CD平分∠ACB，同理可证△ACD≌△ECD，∴DE=AD，∠A=∠CED=60°．
∵∠ACB=90°，∴∠CBA=30°，∴∠CED=2∠CBA．
∵∠CED=∠CBA+∠BDE，∴∠CBA=∠BDE，∴DE=BE，∴AD=BE．
∵BE=BC-CE=BC-AC，∴BC-AC=AD．

（2）①在AB上截取AE=AD，连接EC．
∵AC平分∠DAB，∴∠EAC=∠DAC．在△CDA和△CEA中，∵EA=DA，∠EAC=∠DAC，AC=AC，∴△CEA≌△CDA，∴∠CEA=∠D，CE=CD．
∵DC=BC，∴BC=CE，∴∠B=∠CEB．
∵∠CEA+∠CEB=180°，∴∠B+∠D=180°；
②过C作CF⊥AB于F．设FB=x，CF=h．
∵CB=CE，CF⊥BE，∴FE=BF=x．在Rt△BFC中，∵BF2+CF2=BC2，∴①；在Rt△FCA中，②；解方程组①②得：x=3．∴AB=BF+FE+EA=2×3+8=14．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，难度适中．在证明线段和差关系等式时，往往采用截长补短法，截长就是将长的那条线段一分为二，并让其中一条等于两条短线段当中的一条，这样就只需证明剩下的两条线段对应相等即可；补短就是将两条短线段拼接在一起形一条长线段，然后只需证明两条长线段相等即可．截长补短体现的是“分”与“合”的不同思维，但最终的效果是一致的．
22．如图①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于点E．
阅读理解：
在图①中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，得到图②；四边形BCDF的面积为，△ADF的面积，△PDC的面积．

（1）在图②中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S= ，S1=______，S2= ；
（2）在图②中，若，，，则=__________，并写出理由；
（3）如图③，□DEFC的四个顶点在△PAB的三边上，若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5，试利用（2）中的结论求△PAB的面积．

【答案】（1），S1=9，S2=1;（2）4;（3）18
【分析】
（1）先判定四边形BCDF是平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式即可求出S，根据平行四边形对边相等先求出BF的长度，从而可以求出AF的长度，然后再利用三角形的面积公式即可求出S1，先利用相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高，然后再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）把（1）中的数字换成字母，可以先求出S与S1，然后根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高，再利用三角形的面积公式表示出S2，最后代入代数式进行计算即可；
（3）把图③的△ADE与△BCF的面积合并成S1，然后再代入（2）中的结论计算即可．
【详解】
（1）∵DC∥AB，DF∥BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴BF=DC=2，
∴S=DC•DE=2×3=6，
S1=AF•DE=（AB-BF）•DE=×（8-2）×3=9，
设△PDC的DC边上的高为x，
∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∴，
解得x=，
∴S2=×DC×x=×2×1=1；
（2）4
理由：∵DF∥CB，DC∥AB，
∴四边形BCDF为平行四边形，，．
∴△PDC∽△ADF，BF=DC=b，
∴．
∵，∴．
∴
∵，∴=4
（3）
∴，，．
∵四边形DEFC为平行四边形，
∴． ∴．
∴． ∴△DBF≌△HDE．
∴△ADH的面积为．
由（2）得，□BCDH的面积为．
∴△ABC的面积为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形，平行四边形的面积的求法，获取题目信息并灵活运用信息是解题的关键，本题对学生的能力要求比较高．
23．阅读理解，并回答问题：
若 是方程的两个实数根，则有．即，于是，，由此可得一元二次方程的根与系数关系：，，这就是我们众所周知的韦达定理．
(1)已知 m ， n 是方程的两个实数根，不解方程求的值；
(2)若是关于 x 的方程的三个实数根，且．
① 的值；
②求的最大值．
【答案】（1）201；（2）①4；②
【分析】
(1)根据根与系数的关系即可求解；
(2)①根据是关于 x 的方程的三个实数根得到，划开得，可得得到，即可求解；
②由①得，用x2表示出和，利用得到关于x2的二次函数，即可求出最值，故可得到的最大值．
【详解】
解：（1）由已知得

（2）①由题意得



故的值为4；
②由①得，



故当时，有最大值，
当时，得
∴的最大值为．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系及拓展，解题的关键是熟知根与系数的关系、整式的运算法则及二次函数的性质．
24．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；

（2）问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析
【分析】
（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
【详解】
（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，

∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴10-6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示
同（1）得，，

，，
，

在中，由三角形的三边关系得，


（3）
证明如下：
延长至点，使，连接，如图所示
，

在和中，，

，
，
，
在和中，
，．
，

【点睛】
本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
25．阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∴．

（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.
【答案】（1）（2）.
【分析】
（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r.
（2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值.
【详解】
解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD.
∵
∴

（2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴
∴
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，∴DE=12，
∴
∵AB∥DC，∴.
又∵，
∴.即.

26．阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以，从而（当a＝b时取等号）．
阅读2：函数（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知： ，所以当即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当x＝__________时，周长的最小值为__________．
问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），当x＝__________时， 的最小值为__________．
问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）
【答案】问题1： 2 8 问题2： 3 8 问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得： ，因为x＞0，所以，当即x=800时，y取最小值26．答：当学校学生人数为800人时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元.
【解析】试题分析：
问题1：当 时，周长有最小值，求x的值和周长最小值；
问题2：变形，由当x+1= 时， 的最小值，求出x值和的最小值；
问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出关系式，根据前两题解法，从而求解．
试题解析：
问题1：∵当 ( x>0)时，周长有最小值，
∴x=2，
∴当x=2时，有最小值为=4．即当x=2时，周长的最小值为2×4=8；
问题2：∵y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），
∴，
∵当x+1= （x＞－1）时， 的最小值，
∴x=3，
∴x=3时， 有最小值为4+4＝8，即当x=3时， 的最小值为8；
问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入y元，依题意得
，因为x＞0，所以，当即x=800时，y取最小值26.
答：当学校学生人数为800时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元．
27．（阅读材料）己知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切⊙O的半径为r.连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC＋S△OAC＋S△OAB=BC·r＋AC·r＋AB·r=a·r＋b·r＋c·r=（a＋b＋c）r
∴
（1）（类比推理）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）（理解应用）如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC分别相切于D、E和F，己知AD=3，BD=2，求r的值.

【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
（２）连接OE、OD、OF，按示例易求出r.
【详解】
（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．
∵S=S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD
∴．
（2）连接OE、OF，则四边形OECF是正方形
OE=EC=CF=FO=r
在Rt△ABC中，AC2＋BC2=AB2
（3＋r）2＋（2＋r）2=52
r2＋5r-6=0解得：r=1（负根舍去）．

考点：圆的综合题
28．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．
（1）概念理解：
在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有__________ ；
（2）性质探究：
①如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，求证：CA平分∠BCD；
②如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，∠BCD=2α，试说明：cosα=；
（3）性质应用：
如图3，四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC=CD，且四边形ABCD的周长为6+2，∠BAC=45°，AC=3，求奇异四边形ABCD的面积．

【答案】（1）正方形；（2）①见解析，②见解析；（3）9.
【解析】
【分析】
（1）利用奇异四边形的定义直接判断即可；
（2）①如图1，过点A作AM⊥CB于M，AN⊥CD于N．证明△AMB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AM=AN，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明.
②由①可知：∠ACD=∠BCD=α，根据CN=CD–DN=CD–BM=CD–（CM–BC）=CD–（CN–BC），得到CN=，在Rt△ACN中，根据余弦的定义即可证明.
（3）连接BD．由（2）可知：cos45°=，得到AD+AB=2AC×=6，根据四边形ABCD的周长为6+2，得到BC=CD=，得到∠DAB=90°，根据奇异四边形的性质，有∠BCD=90°，根据S四边形ABCD=S△ADB+S△BDC即可求解.
【详解】
（1）根据奇异四边形的定义可知：正方形是奇异四边形，故答案为正方形．
（2）①如图1，过点A作AM⊥CB于M，AN⊥CD于N．

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABM+∠ABC=180°，
∴∠ABM=∠D，
∵∠AMB=∠AND=90°，AB=AD，
∴△AMB≌△AND，
∴AM=AN，∵AM⊥CB于M，AN⊥CD于N，∴CA平分∠BCD．
②由①可知：∠ACD=∠BCD=α，
∵CN=CD–DN=CD–BM=CD–（CM–BC）=CD–（CN–BC），
∴CN=，
在Rt△ACN中，cosα==．
（3）如图3，连接BD．

由（2）可知：cos45°=，∴AD+AB=2AC×=6，
∵四边形ABCD的周长为6+2，∴BC=CD=，
∵∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠DAB=90°，
∵四边形是奇异四边形，∴∠BCD=90°，
∵AD+AB=6，∴（AD+AB）2=AD2+2AD•AB+AB2=36，
∵AD2+AB2=BD2=BC2+CD2=20，
∴AD•AB=8，∴S四边形ABCD=S△ADB+S△BDC=•AD•AB+•CD•BC=9．
29．阅读材料：
材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；．
材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问：据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．也可以这样理解：令①，则②，①+②：，即．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知，且，求的值；
（2）对于正数，有，求的值．
【答案】（1）10；（2）19800
【分析】
（1）由得，代入公式求解即可．

（2）根据代入公式求解出m的值，将m的值代入原式中，利用公式求解即可．
【详解】
（1）



（2）

，
又为正数，

则原式





【点睛】
本题考查了新定义的运算，掌握新定义的运算规则是解题的关键．
30．阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：
凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等．
例如，在图1中，凸四边形的对角线，相交于点，且，，，，的面积分别为，则有，证明过程如下：
任务：

（1）请将材料中的证明过程补充完整；
（2）如图2，任意凸四边形的对角线相交于点，分别记，，，的面积为，求证；

（3）如图3，在四边形中，对角线相交于点，，，，则四边形的面积为________________．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据三角形的高相同，面积比等于底的比求解即可；
（2）分别过点作于点于点，再根据三角形的高相同，面积比等于底的比计算即可；
（3）设，，根据“任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等”求解即可．
【详解】
解：（1）∵，，

；
（2）如答图，分别过点作于点于点．




；

（3）由，，，
设，，
根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，
可得：3x²=4×6=24,则x=2,即，，
∴四边形的面积=+++=4+6++=10+8．
【点睛】
本题考查了面积及等积变换，掌握三角形的高相同，面积比等于底的比、任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等是解题的关键．