专题03 活用正余弦定理玩转三角形-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题03 活用正余弦定理玩转三角形  【考点预测】1、正弦定理（其中为外接圆的半径）．常用变形：（1）；（2）；（3）；（4），，．2、余弦定理，，，，，3、三角形中的常见结论（1）．（2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：．（3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边．（4）的面积公式①（ 表示边上的高）；②；③（为内切圆半径）；④，其中．4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．5、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（4）坡度＝，即坡角的正切值．【典型例题】例1．（2023·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.    例2．（2023·高一单元测试）记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.    例3．（2023·高一单元测试）设内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面积．    例4．（2023·高一单元测试）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船    例5．（2023·高一单元测试）已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.(1)求；(2)若，的面积为，且，求线段的长.    例6．（2023·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的大小；(2)若，，求c的长．    例7．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．已知中，内角所对的边分别为，且________．(1)求的值;(2)若，求的周长与面积．    例8．（2023春·高一单元测试）在中，内角所对的边分别为，且.(1)证明：；(2)若，求.    例9．（2023·高一单元测试）在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.    【过关测试】一、单选题1．（2023·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个2．（2023·高一单元测试）在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（    ）A． B． C． D．3．（2023·高一单元测试）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（    ）A． B． C． D．4．（2023·高一单元测试）的内角所对的边分别为，且，则的值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．35．（2023·高一单元测试）在中，已知，，，则（    ）A．1 B． C．2 D．6．（2023·高一单元测试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则c的值为（    ）A． B．7 C．37 D．67．（2023春·高一单元测试）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（    ）A． B． C． D．8．（2023·高一单元测试）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形二、多选题9．（2023·高一单元测试）在中，若，下列结论中正确的有（    ）A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆的半径为10．（2023·高一单元测试）在中，角A，，所对的边分别为，，，下列叙述正确的是(    )A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则为等腰三角形11．（2023·高一单元测试）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，若满足条件的三角形有两个，则x的值可能为（    ）A．1 B．1.5 C．1.8 D．212．（2023·高一单元测试）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， ，且，则A． B． C． D．三、填空题13．（2023·高一单元测试）已知的内角所对的边分别为，，则角______.14．（2023·高一单元测试）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.15．（2023春·河南漯河·高一漯河高中校考开学考试）△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为_______．16．（2023·高一单元测试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______．17．（2023·高一单元测试）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为__.四、解答题18．（2023·高一单元测试）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记为，为，求的值.    19．（2023·高一单元测试）在中，角A，，所对的边分别是，，，且，(1)若，求，(2)若，且，求的面积.    20．（2023·高一单元测试）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.(1)求；(2)若的面积为，求的值.    21．（2023·高一单元测试）在中，角所对的边分别为．已知且．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．    22．（2023·高一单元测试）在中，角所对边分别为，，，且，，.(1)求边及的值；(2)求的值.    23．（2023·高一单元测试）在中，角所对的边分别为，现有下列四个条件：①；②；③；④．(1)条件①和条件②可以同时成立吗？请说明理由；(2)请从上述四个条件中选择三个条件作为已知，使得存在且唯一，并求的面积．    24．（2023·高一单元测试）在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．    25．（2023·高一单元测试）在①；②；③这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．(1)求角A；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，，若已知，，求的值．