专题04 复数-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

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专题04复数
一、考点预测
基础知识
方法技巧
二、基础考点
考点一：复数的概念
考点二：复数的分类
考点三：两个复数相等
考点四：复数与复平面内的点的关系
考点五：复数与复平面内向量的关系
考点六：复数的模与共轭复数
考点七：复数的加、减运算
考点八：复数加、减法的几何意义
考点九：复数加、减法及几何意义的应用
考点十：复数代数形式的乘法运算
考点十一：复数代数形式的除法运算
考点十二：复数范围内解方程
三、能力提升
提升一
提升二
提升三
提升四
四、考点检测
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【考点预测】
【基础知识】
一、复数的有关概念
1．定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
3．数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母C表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}.
二、复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)

2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

三、复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.
四、复数与复平面内点的关系
1．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义．
五、复数与复平面内向量的关系
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即z＝a＋bi平面向量.这是复数的另一种几何意义．
六、复数的模
1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|.
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝.
七、共轭复数
1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
八、复数的加、减法运算
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
九、复数加、减法的几何意义
如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝(c，d)，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝(a＋c，b＋d)与复数z1＋z2对应，向量＝(a－c，b－d)，与复数z1－z2对应．

因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义．
十、复数乘法的运算法则和运算律
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
十一、复数除法的运算法则
复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
【方法技巧】
1.判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
2.解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数b＝0；
②z为虚数b≠0；
③z为纯虚数a＝0且b≠0.
3.复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，解决复数相等问题的步骤是：利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
4.复数中比较大小问题：
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数(即两个复数的虚部均为0).
5.利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
6.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b).
7.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
8.复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝.
9. 共轭复数的求法及其关系
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi.
(2)互为共轭复数的模相等．
10.复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
11.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
12.利用代数法求复数模的最值，先根据复数的加减运算对复数进行运算，再结合其它数学知识求出最值．
13.复数的模的几何意义：
复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
14.两个复数代数形式乘法的一般方法：复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
15.常用结论
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
(4)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
(5)＝－i，＝i；
(6)＝－i.
16.两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
17.虚数单位i的周期性
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N).n也可以推广到整数集．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N).
二、【基础考点】
【考点一】复数的概念
【典例1】若复数x＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足x0
C．a≥0且b>0 D．a∈R且b0.故选B.
【典例2】复数i＋i2在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】因为i＋i2＝i－1，它在复平面内对应的点为(－1,1)，所以复数i＋i2在复平面内对应的点在第二象限.故选B.
【考点五】复数与复平面内向量的关系
【典例1】在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)
A．2 B．－2i
C．－3i D．3＋i
【解析】复数对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i.故选B.

【典例2】在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A.－2－i B.－2＋i
C.1＋2i D.－1＋2i
【解析】∵A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，
∴向量对应的复数为－2＋i.
故选B.
【考点六】复数的模与共轭复数
【典例1】已知z＝a＋i(a>0)，|z|＝3，则在复平面内对应的点在第________象限.
【解析】由|z|＝3，得a2＋3＝9，又a>0，所以a＝，所以＝－i，在复平面内对应的点是(，－)，所以在复平面内对应的点在第四象限内.
【典例2】求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小.
【解析】因为z1＝6＋8i，z2＝－－i，
所以|z1|＝＝10，
|z2|＝ ＝.
因为10>，所以|z1|>|z2|.
【考点七】复数的加、减运算
【典例1】已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．
【解析】方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，
解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
【典例2】已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
【解析】z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
故选B.
【考点八】复数加、减法的几何意义
【典例1】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
【解析】依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.
故选D.
【典例2】如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点A，B，O.对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为(　　)

A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i
【解析】因为＝＋ ，
所以对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，
所以点C对应的复数为－1＋3i.
故选D.
【考点九】复数加、减法及几何意义的应用
【典例1】已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A． B． C．6 D．
【解析】由题意，得|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤，故|z1－z2|的最大值为.
故选D.
【典例2】设z∈C，且|z－i|＝|z－1|，则复数z在复平面内的对应点Z(x，y)的轨迹方程是________，|z＋i|的最小值是________．
【解析】|z－i|＝|z－1|表示复数z在复平面内的对应点Z到点A(0，1)，B(1，0)的距离相等，是线段AB的垂直平分线，所以点Z轨迹方程是x－y＝0.
|z＋i|的最小值为点(0，－1)到直线x－y＝0的距离，
所以|z＋i|min＝.
【考点十】复数代数形式的乘法运算
【典例1】(1－i)4＝(　　)
A.－4 B.4
C.－4i D.4i
【解析】(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4.故选A.
【典例2】若z＝1＋i，则|z2－2z|＝________.
【解析】∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝2i－(2＋2i)＝－2，
故|z2－2z|＝|－2|＝2.
【考点十一】复数代数形式的除法运算
【典例1】设a是实数，若＋是实数，则a等于(　　)
A. B.1
C. D.2
【解析】由题意得＋＝＋＝＋i，
又∵∈R，
∴＝0，解得a＝1.
故选B.
【典例2】已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值.
【解析】z＝＝＝＝1－i，
又∵z2＋az＋b＝1＋i，
∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，
∴a＋b＝1.
【考点十二】复数范围内解方程
【典例1】已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.
【解析】设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的条件得x＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
所以方程的实根为x＝或x＝－，
相应的k的值为k＝－2或k＝2.
【典例2】二次方程x2＋(a＋bi)x＋c＝0(a，b，c∈R).
(1)求方程有相异两实根的条件；
(2)求方程有一实根一虚根的条件.
【解析】(1)设原方程的相异两个实根为α，β，
∵由根与系数的关系得
∴α＋β＝－a，b＝0.
当b＝0时，原方程化为x2＋ax＋c＝0，
有相异两个实根的条件为a2－4c>0，b＝0.
(2)设实根为m，虚根为z，
则由根与系数的关系得mz＝c，因此m＝c＝0，
方程化为x(x＋a＋bi)＝0，
要使方程有虚根－a－bi，只有b≠0，
综上，方程有一实根一虚根的条件是c＝0，b≠0.
三、【能力提升】
【提升一】如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求出自然数m，n的值.
【解析】因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，
所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，
所以有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n0，n为自然数，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n