专题08 立体几何中的范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08立体几何中的范围与最值问题

【考点预测】

动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．

【典型例题】

例1．（2023·高一课时练习）已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

例2．（2023·高一课时练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2023·全国·高一专题练习）过圆锥顶点的截面三角形面积的取值范围是，该圆锥的母线长为，则该圆锥的顶角的最大值是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（    ）

A．线段长度最大值为，无最小值

B．线段长度最小值为，无最大值

C．线段长度最大值为，最小值为

D．线段长度无最大值，无最小值

例5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（    ）

A．当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为

B．当点P为棱的中点时，CN∥平面

C．当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为

D．当点时，满足平面的点P共有2个

例6．（2023·全国·高一专题练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　）

A． B．4 C．8 D．

例7．（2023·全国·高一专题练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例8．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·高一课时练习）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高一专题练习）如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）

A． B． C． D．1

3．（2023春·全国·高一专题练习）在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，P是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为3，则AP长度的最大值､最小值分别为（    ）

A．4，1 B．，1.5 C．4.5， D．，2

5．（2023·全国·高一专题练习）已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2023春·全国·高一专题练习）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．（2023春·全国·高一专题练习）在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有

（    ）

A．当时，到底面的距离为

B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有

C．当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为

D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大

8．（2023·全国·高一专题练习）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（    ）

A．时，截面一定为等腰梯形 B．时，截面一定为矩形且面积最大值为

C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使与截面平行

三、填空题

9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____．

10．（2023·高一课时练习）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为________

11．（2023·高一课时练习）已知二面角的平面角是120°，在面内，于，，在面内，于，，，是棱上的一个动点，则的最小值是______.

12．（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是_______．

13．（2023春·全国·高一专题练习）三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为______________

14．（2023春·全国·高一专题练习）有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为40cm，则圆柱侧面积的最大值为___________．

15．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________.

16．（2023春·全国·高一专题练习）若直线l与平面所成角为，直线a在平面上，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是___________.

17．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．

①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；

②M的面积最大值为；

③M的周长为定值．

18．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.

19．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是线段的中点，点M在正方形内（含边界），记过E，F，G的平面为，若，则的取值范围是______.

20．（2023春·全国·高一专题练习）已知球是正三棱锥的外接球，，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.

21．（2023春·全国·高一专题练习）已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.