期中考试预测卷01（考试范围：必修第二册第六-八章）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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2022-2023学年下学期期中考试预测卷01高一·数学（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：必修第二册第六-八章。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）已知复数与都是纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，（且），，由于 是纯虚数， ，得，故；故选：B.2．（2023春·河南·高一河南省实验中学校考阶段练习）若，，的夹角为120⁰，则等于（   ）.A． B．6 C． D．【答案】A【解析】.故选：A3．（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）已知，，，则（    ）A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线【答案】B【解析】，，，，，由平面向量共线定理可知，与为共线向量，又与有公共点，，，三点共线，故选：B．4．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体【答案】B【解析】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．故选：B．5．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）若向量，且，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知向量，因为，所以，得，所以，，又，所以，所以在上的投影向量为：，故选：A.6．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）冬奧会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理所以，解得由题意，因为为锐角，所以故选：D.7．（2023·高一课时练习）已知、，且，若，则的最大值是（    ）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】设，，故，，则，，，当时，有最大值为4.故选：C8．（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，过点做交于点，连接，即可得到截面，因为为中点，，所以，因为，则，且，，所以截面的周长为故选:D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，，的中点，则下列结论不正确的是（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】ABC【解析】A选项：如图1，若平面，则，又因为平面，平面，则，连接，又，所以平面，平面，则，只有当时，才成立，故A不正确；B选项：如图2，连接AC，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，所以，平面，平面，所以平面，若平面，则平面平面，又平面平面，平面平面，所以，显然不正确，故B不正确；C选项：如图3，若平面，平面，则，又易知平面，平面，则，又，所以平面，平面则，显然不正确，故C不正确；D选项：如图4，连接AC，CN，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，所以，平面，平面，所以平面，因为Q，N分别是BC，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，则，平面，平面，所以平面，且，因此平面平面，平面，所以平面，故D正确．故选:ABC.10．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）设z是非零复数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【解析】设，但不同时为0，则，可得，对于A：若，则，故，A正确；对于B：∵，若，则，解得：或（舍），B正确；对于C：若，即，解得，故，则，可得，C不正确；对于D：，则，解得，即z为纯虚数，此时，故，D不正确.故选：AB.11．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知点为所在平面内一点，满足，下列说法正确的有（    ）A．若，则为锐角三角形B．若，且，则C．若与的面积之比为D．若，且，则满足【答案】BCD【解析】对于A，由，则为钝角，故为钝角三角形，错误；对于，由于且时，，故为的外心和重心，故为等边三角形，则，由可得，故，故B正确；对于C，，则，记则在上，且，由知，到的距离与到的距离之比为，所以与的面积之比为，故C正确；对于D，因为，且，由得，，所以，即，故D正确．故选：BCD12．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】如图：①由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，①正确；②因为平面 平面，平面平面，平面，所以,因为平面 平面，平面平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，②正确；③在正方体中，有，，又，平面，所以平面，当分别为棱的中点时，有，则平面，又平面，所以平面平面，③错误；④设，正方体棱长为，，则，，，在中，由余弦定理可得，所以，由②得四边形一定是平行四边形，所以，所以当或时，取得最大值，④正确；综上①②④正确，故选：ABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____．【答案】40【解析】根据题意，原图形如图，根据直观图画法规则知,的底边OB的长为5，高为16，其面积.故答案为：4014．（2023·高一课时练习）已知，，，则______．【答案】【解析】设，，，，，，，解得：，，.故答案为：.15．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.【答案】【解析】取中点，连接，如图，由可得，即，所以三点共线且，即为的重心，所以，因为三点共线，所以，又，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：16．（2023春·上海松江·高一上海市松江一中校考阶段练习）在中，，则下列结论正确的是____________．①外接圆的面积为 ②若，则③当时，有一解  ④ 的面积有最大值【答案】①④【解析】由可知，，由正弦定理得：，所以，所以外接圆的面积，①正确；若，由正弦定理得：，解得：，所以或（均符合题意），②错误；由，得，解得：，当且仅当时取等号，所以，④正确；，得，当有一解时，关于方程只有一个正根此方程有唯一正解等价于或，又，解得：或，则③错误.故答案为：①④四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知复数，其中i为虚数单位.(1)若复数z为纯虚数，求m的值；(2)若，求m的值.【解析】（1）因为复数为纯虚数，所以满足，解得:或.（2）设，则，将其代入，则，整理得:，且，解得:，或，或，解得:18．（12分）（2023春·北京朝阳·高一校考阶段练习）如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为．(1)用，表示；(2)若点E是边的中点，直线交于F点，求．【解析】（1）；（2）E，F，B三点共线，存在实数使，设，，解得，，由，向量，的夹角为得，.19．（12分）（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，母线.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值【解析】（1）圆锥SO的底面圆半径，母线，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积圆锥的侧面展开图扇形的面积（2）在圆锥中，作，交于，则异面直线AM与PS所成角为，，，，所以，所以异面直线AM与PS所成角的余弦值为.20．（12分）（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时.(1)求两点间的距离；(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）【解析】（1）依题意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求两点间的距离为30海里.（2）依题意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到达C处需要的时间为小时，在中，由余弦定理得 ,因为，所以，所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒21．（12分）（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求B；(2)若，，点D在边AC上，且在和上的投影向量的模相等，求线段BD的长．【解析】（1）∵，∴由正弦定理可，由余弦定理可得， ∴即，∵，∴．（2）由（1）知，∴又，∴，解得．∵，∴，可得，由可得，解得．∵在和上的投影向量的模相等，∴BD为的平分线，由角平分线的性质知，即，解得，在中，由正弦定理可得，∴，在中，，由正弦定理可得，即，解得．22．（12分）（2023·高一课时练习）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．【解析】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因为，所以⊥AD，因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，如图，平面，AD，AC平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，因为，，由勾股定理得：，则∠ADB=30°，同理可得，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，故，，，在△BCP中，由余弦定理得：，则，，在△CDP中，由余弦定理得：，在△CDE中，，因为，所以DE⊥PC，所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，由余弦定理得：.