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专题01 导数的基本概念和切线有关的问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试(人教A版2019)
展开专题01 导数的基本概念和切线有关的问题
【考点预测】
一、基本概念
1、导数的概念
设函数在附近有定义,如果时,与的比(也叫函数的平均变化率)有极限,即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值做函数在处的导数,记作或即
2、导数的几何意义
函数在处的导数,表示曲线在点处的切线的斜率,即,其中为切线的倾斜角,如图所示,过点的切线方程为
3、导数的物理意义:设时刻一车从某点出发,在时刻车走了一定的距离在时刻,车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时,该平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令,则可以认为,即就是时刻的瞬时速度.
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表
,为正整数 | |
为有理数 | |
注:
三、导数的运算法则(和、差、积、商)
设均可导,则
(1)(2)
(3)(4)
注:
四、复合函数的导数
复合函数的导数与函数的导数之间具有关系,该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”,也就是先把当作一个整体,把对求导,再把对求导,这两者的乘积就是复合函数对的导数,即.
五、函数在处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为.
【典型例题】
例1.(2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习)已知函数的图象如图所示.设函数从-1到1的平均变化率为,从1到2的平均变化率为,则与的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
例2.(2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习)已知函数在处的切线与函数的图象相切,则实数的值为( )
A. B. C. D.
例3.(2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习)已知函数,则( )
A. B. C. D.
例4.(2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习)函数在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
例5.(2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习)已知,,直线与曲线相切,则的最小值是( )
A.16 B.12 C.8 D.4
例6.(2023春·广东佛山·高二校考阶段练习)已知是函数图象上的任意一点,是直线上的动点,则之间的最短距离是( )
A. B. C. D.
例7.(2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习)若直线为曲线的一条切线,则实数k的值是( )
A.e B. C. D.
例8.(多选题)(2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习)过点有三条直线和曲线相切,则实数的可能取值是( )
A.0 B.3 C.6 D.4
例9.(多选题)(2023春·江苏南京·高二校考阶段练习)若两曲线与存在公切线,则正实数a的取值可以是( )
A.1 B.e C.e2 D.3e
例10.(2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试)已知直线是曲线与的公切线,则__________.
例11.(2023春·河北沧州·高二校联考阶段练习)已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴,轴分别交于点,求的面积(为坐标原点);
(2)求与曲线相切,并过点的直线方程.
【过关测试】
一、单选题
1.(2023·全国·高二专题练习)若直线是曲线与的公切线,则( )
A. B. C. D.
2.(2023·全国·高二专题练习)若曲线与曲线在它们的公共点处具有公切线,则实数a等于( )
A.2 B.1 C. D.
3.(2023春·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习)一质点做直线运动,其位移与时间的关系为,设其在内的平均速度为,在时的瞬时速度为,则( )
A. B. C. D.
4.(2023春·山东聊城·高二校考阶段练习)如图,函数在,,这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是( )
A. B. C. D.
5.(2023春·广东佛山·高二校考阶段练习)两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在,为此,洛必达在1696年提出洛必达法则,即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法,如,则( )
A. B. C.1 D.2
6.(2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习)设函数,则( )
A.5 B. C.2 D.
7.(2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习)已知函数可导,且,则曲线在点处的切线倾斜角为( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
8.(2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习)借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算,例如:求,我们先求得在处的切线方程为,再把代入切线方程,即得,类比上述方式,则( ).
A.1.00025 B.1.00005 C.1.0025 D.10005
二、多选题
9.(2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习)下列命题正确的有( )
A.已知函数在上可导,若,则
B.已知函数,若,则
C.若函数,则的极大值为1
D.设函数的导函数为,且,则
10.(2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习)曲线的一条切线平行于直线,则切点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
11.(2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习)若函数的图象上不存在互相垂直的切线,则实数的值可以是( )
A. B.1 C.2 D.3
12.(2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习)若存在过点的直线l与曲线和都相切,则a的值可以是( )
A.1 B. C. D.
三、填空题
13.(2023·全国·高二专题练习)已知直线是函数与函数的公切线,若是直线与函数相切的切点,则____________.
14.(2023·全国·高二专题练习)若曲线和曲线存在有公共切点的公切线,则该公切线的方程为__________.
15.(2023春·湖北·高二校联考阶段练习)若点是曲线上任意一点,点是直线上任意一点,则的最小距离为________.
16.(2023·全国·高二专题练习)已知函数与函数存在一条过原点的公共切线,则__________.
四、解答题
17.(2023春·江西南昌·高二校考阶段练习)(1)①求下列函数的导数②;
(2)已知直线和曲线相切于点.求的值以及切点坐标.
18.(2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习)已知函数为.
(1)函数在点P处的切线与直线互相垂直,求点P的坐标;
(2)过点作曲线的切线,求此切线的方程.
19.(2023春·河南·高二校联考阶段练习)已知函数的图象在点处的切线l过坐标原点.
(1)求实数a的值;
(2)若直线l与抛物线相切,求抛物线的对称轴方程.
20.(2023秋·陕西商洛·高二统考期末)已知函数.
(1)若在上单调递减,求实数的取值范围;
(2)若,试问过点向曲线可作几条切线?
21.(2023秋·湖南郴州·高二统考期末)已知函数和,其中a,b为常数且.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切,求的取值范围.
22.(2023·全国·高二专题练习)平面直角坐标系中,过坐标原点和点分别作曲线:的切线和,求直线、与轴所围成的封闭图形的面积.
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